北京中考数学平行四边形综合题Word文档格式.docx
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.•.AD=BE,
.•.AC=AD+AB.
AD+AB=&
AC理由如下：
过点C作CE!
AC交AB的延长线于点E,/ZD+ZB=180°
ZDAB=90,
邺飞
DCB=90；
•••/ACE=90,°
又「AC平分/DAB,
/CAB=45,°
/E=45.°
.•.AC=CE
又/D+/ABC=180,/D=/CBE
••.△CDA^ACBE^
，AD=BE,
，AD+AB=AE
在RtMCE中，/CAB=45,
AC
•.AE==J2AC
cos45
ADAB=2AC.
2.在图1中，正方形ABCD的边长为a,等腰直角三角形FAE的斜边AE=2b,且边AD和AE在同一直线上.
操作示例
当2bva时，如图1,在BA上选取点G,使BG=b,连结FG和CG,裁掉4FAG和4CGB并分别拼接到4FEH和4CHD的位置构成四边形FGCH
思考发现
小明在操作后发现：
该剪拼方法就是先将4FAG绕点F逆时针旋转90。
到4FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上.连结CH,由剪拼方法可得DH=BG,故△CHg^CGB,从而又
可将4CGB绕点C顺时针旋转90°
到4CHD的位置.这样，对于剪拼得到的四边形FGCH
（如图1）,过点F作FMLAE于点M（图略），利用SAS公理可判断△HFM^^CHD,易得FH=HC=GC=FG/FHC=90.进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正
方形.
实践探究
（1）正方形FGCH的面积是;
（用含a,b的式子表示）
（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2—图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图.
联想拓展
小明通过探究后发现：
当bWa时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在
BA方向上随着b的增大不断上移.当b>
a时（如图5）,能否剪拼成一个正方形？
若
能，请你在图5中画出剪拼成的正方形的示意图；
若不能，简要说明理由.
图5
（1）a2+b2;
（2）见解析；
联想拓展：
能剪拼成正方形.见解析.
【解析】分析：
实践探究：
根据正方形FGCH的面积=BG2+BC2进而得出答案；
应采用类比的方法，注意无论等腰直角三角形的大小如何变化，BG永远等于等腰直角三角
形斜边的一半.注意当b=a时，也可直接沿正方形的对角线分割.
详解：
正方形的面积是：
BG2+BC2=a2+b2;
剪拼方法如图2-图4;
郅
点睛：
本题考查了几何变换综合，培养学生的推理论证能力和动手操作能力；
运用类比方法作图时，应根据范例抓住作图的关键：
作的线段的长度与某条线段的比值永远相等，旋转的三角形，连接的点都应是相同的.
3.操作：
如图，边长为2的正方形ABCD,点P在射线BC上，将4ABP沿AP向右翻折，得到^AEP,DE所在直线与AP所在直线交于点F.
探究：
（1）如图1,当点P在线段BC上时，①若/BAP=30,求/AFE的度数；
②若点E恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置？
并求出此时/AFD
F
囱］图二
（1）①45°
;
②BC的中点，45°
;
（2）不会发生变化，证明参见解析；
（3）不
会发生变化，作图参见解析.
试题分析：
（1）当点P在线段BC上时，①由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求出/DAE度数，在三角形AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可；
②由E为DF中
点，得到P为BC中点，如图1,连接BE交AF于点O,作EG//AD,彳导EG//BC,得到AF垂直平分BE,进而得到三角形BOP与三角形EOG全等，利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1得到P为BC中点，进而求出所求角度数即可；
（2）若点P是线段BC上任意一
点时（不与B,C重合），/AFD的度数不会发生变化，作AG±
DF于点G,如图1（a）所示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出/1+/2的度数，即为/FAG
度数，即可求出/F度数；
（3）作出相应图形，如图2所示，若点P在BC边的延长线上时，/AFD的度数不会发生变化，理由为：
作AGLDE于G,得/DAG=/EAG,设
/DAG=ZEAG=q根据/FAE为/BAE一半求出所求角度数即可.
（1）①当点P在线段BC上时，.一/EAP=ZBAP=30,，/DAE=90-
30°
X2=30,°
在△ADE中，AD=AE,/DAE=30°
../ADE=/AED=（180-30°
）+2=75,°
在△AFD中，ZFAD=30+30=60°
/ADF=75；
ZAFE=180-60-75=45°
②点E为DF的中点时，P也为BC的中点，理由如下：
图1如图1,连接BE交AF于点O,作EG//AD,彳导EG//BC,=EG//AD,
DE=EF.•.EG='
AD=1,■「AB=AE,.••点A在线段BE的垂直平分线上，同理可得点P在线段
BE的垂直平分线上，，AF垂直平分线段BE,••.OB=OE）/GE//BP,/OBP=/OEG,/OPB=/OGE,.-.ABOP^AEOG,•.BP=EG=1即P为BC的中点，・./DAF=90,
/BAF,/ADF=45+2BAF,/AFD=180-/DAF-/ADF=45;
°
（2）/AFD的度数不会
发生变化，作AGLDF于点G,如图1（a）所示,
富1R）在4ADE中，AD=AE,AG±
DE,「AG平分/DAE,即/2=/DAG,且
1
/1=/BAP,../1+/2二>
<
9=45；
即/FAG=45,°
贝U/AFD=90，45=45；
（3）如图2
所示，/AFE的大小不会发生变化，/AFE=45,
作AG±
DE于G,得/DAG=ZEAG,设/DAG=ZEAG通,
ZAFE=90-45=45:
考点：
1.正方形的性质；
2.折叠性质；
3.全等三角形的判定与性质
4.操作与证明：
如图1,把一个含45°
角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CRCD上,连接AF.取AF中点M,EF的中点N,连接MD、MN.
（1）连接AE,求证：
4AEF是等腰三角形；
猜想与发现：
（2）在
（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论.
结论1:
DM、MN的数量关系是二
结论2:
DM、MN的位置关系是
拓展与探究：
（3）如图2,将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°
其他条件不变，则
（2）中的两个结论还成立吗？
若成立，请加以证明；
若不成立，请说明理由.
（1）证明参见解析；
（2）相等，垂直；
（3）成立，理由参见解析.【解析】
（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF继而证明出
△ABE0^ADF,得到AE=AF从而证明出4AEF是等腰三角形；
（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置
关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；
（3）成立，连接AE,交MD于点G,标记出各个角，首先证明出
11
MN//AE,MN=*AE,利用三角形全等证出AE=AF,而DM=，AF,从而得到DM,MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到/DMN=/DGE=90,从而得到DM、MN的位置关系是垂直.
（1）二.四边形ABCD是正方形，，AB=AD=BC=CD/B=/ADF=90,=△CEF是等腰直角三角形，/C=90,.-.CE=CF-BC-CE=C>
CF,即BE=DF
・•.△ABE^AADF,AE=AFAAEF是等腰三角形；
（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；
二,在Rt^ADF中DM是斜边AF的中线，，AF=2DM,/MN
是4AEF的中位线，AE=2MN,-.AE=AF,..DM=MN;
-/DMF=/DAF+/ADM,
AM=MD,•••/FMN=ZFAE/DAF=ZBAE,/ADM=/DAF=ZBAE,
・./DMN=/FMN+/DMF=/DAF+/BAE+/FAE之BAD=90.DM,MN;
（3）
（2）中的
两个结论还成立，连接AE,交MD于点G,二•点M为AF的中点，点N为EF的中点，
II
・.MN//AE,MN=r'
AE,由已知得，AB=AD=BC=CD/B=/ADF,CE=CF又
.・BC+CE=CD+CF即BE=DF/.AABE^AADF,，AE=AF,在Rt^ADF中，••点M为AF的111
中点，DM=^AF,DM=MN,/AABE^AADF,，/1=/2,-.AB//DF,，/1=/3,同
理可证：
Z2=Z4,.l.Z3=Z4,1••DM=AM,，/MAD=/5,
ZDGE=Z5+Z4=ZMAD+Z3=90,°
/MN//AE,../DMN=/DGE=90.DM，MN.所以
（2）中的两个结论还成立.
2.全等三角形的判定与性质；
3.三角形中位线定理；
4.旋转的性
质.
5.已知：
如图，在平行四边形ABCD中，。
为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交
AD,BC于E,F两点，连结BE,DF.
（1）求证：
ADO三△BOF.
（2）当/DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？
请说明理由.
（1）证明见解析；
（2）当/DOE=90。
时，四边形BFED为菱形，理由见解析
（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOm^BOF
（ASA）；
（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边
形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED即可得出答案.
（1）:
在？
ABCD中，。
为对角线BD的中点，
BO=DO,/EDB=ZFBQ在AEOD和AFOB中
“口口=
DO=BO
QeOD=.,.△DOE^ABOF（ASA）；
（2）当/DOE=90时，四边形BFDE为菱形，
理由：
.「△DO三△BOF,OE=OF,又.「OB=OD,二.四边形EBFD是平行四边形,
・./EOD=90；
.,.EF±
BD,四边形BFDE为菱形.
平行四边形的性质；
全等三角形的判定与性质；
菱形的判定.
6.如图，四边形ABCD中，/BCD=/D=90°
E是边AB的中点.已知AD=1,AB=2.
（1）设BC=x,CD=y,求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）当/B=70°
时，求/AEC的度数；
（3）当4ACE为直角三角形时，求边BC的长.
/\
/\
/》
CB
（1）yJx22x30x3；
（2）/AEC=105°
（3）边BC的长为
2或？
.
（1）过A作AH,BC于H,得到四边形ADCH为矩形.在4BAH中，由勾股定理即可得出结论.
（2）取CD中点T,连接TE,则TE是梯形中位线，得ET//AD,ET±
CD,
ZAET=ZB=70:
又AD=AE=1,得到ZAED=ZADE=ZDET=35°
.由ET垂直平分CD,得/CET=/DET=35°
即可得到结论.
（3）分两种情况讨论：
①当/AEO90°
时，易知△CBE^△CAE^△CAD,得/BCE=30°
解4ABH即可得到结论.
②当/CAE=90°
时，易知△CDA^^BCA,由相似三角形对应边成比例即可得到结论.
（1）过A作AHLBC于H.由/D=/BCD=90°
得四边形ADCH为矩形.
在4BAH中，AB=2,ZBHA=90°
AH=y,HB=x1,22y2x12,
则yx22x30x3
（2）取CD中点T,联结TE,则TE是梯形中位线，得ET//AD,ET±
/AET=ZB=70:
又AD=AE=1,ZAED=ZADE=ZDET=35°
.由ET垂直平分CD,得/CET=/DET=35°
/AEC=70+35=105:
则在4ABH中，/B=60°
/AHB=90°
AB=2,得BH=1,于是BC=2.
②当/CAE=90°
时，易知△CDA^^BCA,又ACJBC_AB2&
_4
皿ADCA1x24117,i、
则————「X---（舍负）
ACCB,x24x2
易知/ACM90。
，所以边BC的长为1折.
2
综上所述：
边BC的长为2或1而.
本题是四边形综合题.考查了梯形中位线，相似三角形的判定与性质.解题的关键是掌握梯形中常见的辅助线作法.
7.如图，在菱形ABCD中，AB=4,ZBAD=120°
AAEF为正三角形，E、F在菱形的边
BC,CD上.
（1）证明：
BE=CF
（2）当点E,F分别在边BC,CD上移动时（4AEF保持为正三角形），请探究四边形
AECF的面积是否发生变化？
若不变,求出这个定值；
如果变化，求出其最大值.
（3）在
（2）的情况下，请探究4CEF的面积是否发生变化？
若不变，求出这个定值；
如
（1）先求证AB=AC,进而求证^ABC4ACD为等边三角形，得/4=60°
AC=AB进而求证△ABE^^ACF,即可求得BE=CF
（2）根据△AB®
4ACF可得Saabe=S\acf,故卞||据S四边形
AECfESjA.aec+Saacf=Saaec+Saabe=SaABC即可解题；
（3）当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短.4AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S/xce产S四边形aecfSxaef,则△CEF的面积就会最大.
连接AC,
Z1+Z2=60,Z3+72=60,
Z1=Z3,
•••ZBAD=120,
ZABC=ZADC=60°
••・四边形ABCD是菱形，
.•.AB=BC=CD=AQ
.•.△ABGAACD为等边三角形
Z4=60,AC=AB,
在AABE和AACF中，
rZl=Z3
'
AB=AC,
ZABC=Z4
..△AB/MCF.（ASA）
.•.BE=CE
（2）解：
由
（1）得△ABE^^ACF,
则Saab^Saacf.
故S四边形AECF=SLAE>
SAACF=SAAEC*"
SlABfSLABC,
是定值.
作AHLBC于H点，
贝UBH=2,
S四边用AECkSlABC
得既Wab,Wh?
=W3；
（3）解：
由垂线段最短”可知，
当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短.
故4AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，
正三角形AEF的面积会最小，
又SacefS四边形aeclSaaef,则Z\CEF的面积就会最大.
由
（2）得，SacefSrawaecf-Saaef
=4V3-yX2Vsx卜2a）2T炳f/
本题考查了菱形每一条对角线平分一组对角的性质，考查了全等三角形的证明和全
等三角形对应边相等的性质，考查了三角形面积的计算，本题中求证△ABE^^ACF是解题
的关键.
8.如图，在平行四边形ABCD中，AD±
DB,垂足为点D,将平行四边形ABCD折叠，使点B落在点D的位置，点C落在点G的位置，折痕为EF,EF交对角线BD于点P.
（1）连结CG,请判断四边形DBCG的形状，并说明理由；
（2）若AE=BD,求/EDF的度数.
AEB
（1）四边形BCGD是矩形，理由详见解析；
（2）ZEDF=120°
【分析】
（1）根据平行四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可；
（2）根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可.
【详解】
（1）四边形BCGD是矩形，理由如下，
••・四边形ABCD是平行四边形，
，四边形BCGD是平行四边形,
•.ADXBD,
•••/CBD^90；
••・四边形BCGD是矩形；
（2）由折叠可知：
EF垂直平分BD,
•••BDXEF,DP=BP,
•.ADXBD）,
••.EF//AD//BC,
AEPD/
•••————1
BEBP
•.AE=BE,
・•.DE是RtAADB斜边上的中线，
-.de=ae=be,
•.AE=BD,
.•.DE=BD=BE,
・•.△DBE是等边三角形，
/EDB=/DBE=60°
1.AB//DC,
/DBC=ZDBE=60；
/EDF=120:
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，折叠性质，等边三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度
PRPC,
9.已知AD是4ABC的中线P是线段AD上的一点（不与点A、D重合），连接
E、F、G、H分别是AB、AC、PRPC的中点，AD与EF交于点M；
△BPE面
推出
即可得出
（1）如图1,当AB=AC时，求证：
四边形EGHF是矩形；
（2）如图2,当点P与点M重合时，在不添加任何辅助线的条件下，写出所有与
积相等的三角形（不包括4BPE本身）.
（1）见解析；
（2）AAPE.△APF、△CPF△PGH.
11
（1）由二角形中位线定理得出EG//AP,EF//BC,EF~BC,GH//BC,GH=-B'
22
EF//GH,EF=GH证得四边形EGHF是平行四边形，证得EF±
AP,推出EF±
EG,
结论；
（2）由4APE与4BPE的底AE=BE又等高，得出国apefSabpe,由4APE与4APF的底
EP=FP又等高，得出SaapefSaapf：
由4APF与4CPF的底AF=CF又等高，得出
Saapf=S\cpf^,证得4PGH底边GH上的高等于4AEF底边EF上高的一半，推出
SapghFS\ae产Szxapf,即可得出结果.
•••BF、G、H分别是AB、ACPRPC的中点，
••.EG//AP,EF//BC,EF=1BC,GH//BC,GH=1BC,
••.EF//GH,EF=GH,
••・四边形EGHF是平行四边形，
•.AB=AC,
•••ADXBC,
EF±
AP,
1）EG//AP,
・•・平行四边形EGHF是矩形；
2））•••PE是^APB的中线，
・•.△APE与4BPE的底AE=BE,又等高，
Saape=Sabpe,
••.AP是AAEF的中线，
・•.△APE与△APF的底.EP=FP,又等高，
Saape=Saapf,
Saapf=Sabpe,
.「PF是^APC的中线，
・•.△APF与^CPF的底AF='
CF,又等高，
•S/\APF=S/XCPF,
Sacpf=Sabpe,
•••EF//GH//BC,E、F、G、H分别是ABACPB、PC的中点，
・•.△AEF底边EF上的高等于^ABC底边BC上高的一半，△PGH底边GH上的高等于△PBC
底边BC上高的一半，
「.△PGH底边GH上的高等于4AEF底边EF上高的一半，
•.GH=EF,
•~1c
••Sapgh=—Saaef=Saapf,
综上所述，与ABPE面积相等的三角形为：
^APE、AAPRACPF^△PGH.
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位
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