北京市海淀区届高三上学期期中考试数学理试题附答案723838.docx

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北京市海淀区届高三上学期期中考试数学理试题附答案723838

海淀区高三年级第一学期期中练习

数学（理科）

本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合，，则

A.B.C.D.或

2.已知向量，则与

A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向

3.函数的最小值为

A.1B.2C.D.4

4.已知命题，方程有解，则为

A.，方程无解

B.≤0，方程有解

C.，方程无解

D.≤0，方程有解

5.已知函数的图象如图所示，则

A.B.　C.D.

6.设是两个向量，则“”是“”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知函数，下列结论中错误的是

A.是偶函数B.函数最小值为

C.是函数的一个周期D.函数在内是减函数

8．如图所示，是函数的图象上的动点，过点作直线平行于轴，交函数的图象于点，若函数的图象上存在点使得为等边三角形，则称为函数上的好位置点.函数上的好位置点的个数为

A.0B.1C.2D.大于2

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.已知数列的前项和，则_____.

10.若角的终边过点，则____.

11.已知正方形边长为1，是线段的中点，则____.

12.去年某地的月平均气温（℃）与月份（月）近似地满足函数（为常数）.若6月份的月平均气温约为℃，12月份的月平均气温约为℃，则该地8月份的月平均气温约为℃.

13.设函数，且.

①若，则函数的值域为______；

②若在上是增函数，则a的取值范围是_____.

14.已知函数的定义域为.，若此函数同时满足：

①当时，有；

②当时，有，

则称函数为函数.

在下列函数中：

①；②；③.

是函数的为____.（填出所有符合要求的函数序号）

三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15.（本小题满分13分）

已知数列是公差为2的等差数列，数列满足，且.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求取得最小值时的值.

16.（本小题满分13分）

已知函数.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数的最小正周期和单调递增区间.

17.（本小题满分13分）

已知函数，函数.

（Ⅰ）已知直线是曲线在点处的切线，且与曲线相切，求的值；

（Ⅱ）若方程有三个不同实数解，求实数的取值范围.

18.（本小题满分13分）

如图，是等边三角形，点在边的延长线上，且,.

（Ⅰ）求的长；

（Ⅱ）求的值.

19.（本小题满分14分）

已知函数.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）求证：

当时，函数存在最小值.

20.（本小题满分14分）

已知数列是无穷数列，满足（）.

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）求证：

“数列中存在使得”是“数列中有无数多项是1”的充要条件；

（Ⅲ）求证：

在数列中,使得.

海淀区高三年级第一学期期中练习

数学（理科）答案解析

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合，，则

A.B.C.D.或

【考点】集合的运算，一元二次不等式。

解析：

集合B＝{x|1＜x＜3}，所以，，故选B。

2.已知向量，则与

A.垂直B.不垂直也不平行　C.平行且同向D.平行且反向

【考点】平面向量的定义，考查向量平行的判定。

解析：

因为，所以，两个向量平行，且方向相反。

选D。

3.函数的最小值为

A.1B.2C.D.4

【考点】基本不等式，指数函数的性质。

解析：

因为＞0，所以，有，当且仅当，即时取得最小值。

选C。

4.已知命题，方程有解，则为

A.，方程无解　B.≤0，方程有解

C.，方程无解　D.≤0，方程有解

【考点】命题的否定。

解析：

命题的否定，把“存在”改为“任意“，并否定结论，所以，选A。

5.已知函数的图象如图所示，则

A.B.　　C.D.

【考点】指数函数、幂函数、对数函数的图象。

解析：

根据幂函数的性质，由图可知：

0＜b＜1，由指数函数图象的性质，知：

，又当x＝1时，＜2，所以，；由对数函数图象的性质，知，又x＝2时，由图象可知：

，

所以，c＞2，所以，选C。

6.设是两个向量，则“”是“”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【考点】平面向量，充分必要条件。

解析：

若，则，化简，可得：

，反过来也成立，故选C。

7.已知函数，下列结论中错误的是

A.是偶函数B.函数最小值为

C.是函数的一个周期D.函数在内是减函数

【考点】三角函数的图象及其性质。

解析：

由，知函数是偶函数，故A正确。

所以，C也正确，选D。

8．如图所示，是函数的图象上的动点，过点作直线平行于轴，交函数的图象于点，若函数的图象上存在点使得为等边三角形，则称为函数上的好位置点.函数上的好位置点的个数为

A.0B.1C.2D.大于2

【考点】指数函数的图象及其性质，应用知识解决问题的能力。

解析：

设A（），B（），若为等边三角形，则C（），

且AC＝AB＝2，即＝2，即＝3，又因为y＝单调递增，所以，方程有唯一解。

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.已知数列的前项和，则_____.

【考点】数列的前n项和。

解析：

＝（27＋1）－（3＋1）＝24。

故填空24。

10.若角的终边过点，则____.

【考点】三角函数的定义。

解析：

角的终边过点，所以，，，答案：

11.已知正方形边长为1，是线段的中点，则____.

【考点】平面向量。

解析：

以B为原点，BC向右方向为x轴正方向，BA向上方向为y轴正方向，建立直角坐标系，则各点坐标为：

A（0,1），B（0,0），D（1,1），E（1，），

所以，＝（1，－）（1,1）＝，答案：

12.去年某地的月平均气温（℃）与月份（月）近似地满足函数（为常数）.若6月份的月平均气温约为℃，12月份的月平均气温约为℃，则该地8月份的月平均气温约为℃.

【考点】：

三角函数的图象，三函数的运算。

解析：

将（6,22），（12,4）代入函数，解得，所以，，

当x＝8时，＝31。

填31。

13.设函数，且.

①若，则函数的值域为______；

②若在上是增函数，则a的取值范围是_____.

【考点】分段函数，指数函数、对数函数的性质及运算。

解析：

答案：

14.已知函数的定义域为.，若此函数同时满足：

（i）当时，有；

（ii）当时，有，

则称函数为函数.

在下列函数中：

①；②；③.

是函数的为____.（填出所有符合要求的函数序号）

【考点】分函数的性质。

解析：

由（i），得：

，，即：

，所以，函数是奇函数；由（ii），得：

，，所以，函数是增函数。

对于①函数为奇函数，且0，原函数是增函数，符合；

对于②，与都是增函数，且是奇函数，符合；

对于③是奇函数，但在R上不单调，不符合。

答案：

①②

三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15.（本小题满分13分）

已知数列是公差为2的等差数列，数列满足，且.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求取得最小值时的值.

【考点】等差数列的通项公式

解析：

（I）

（II）

16.（本小题满分13分）

已知函数.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数的最小正周期和单调递增区间.

【考点】三角函数的求值，图象及其性质。

解析：

＝1

17.（本小题满分13分）

已知函数，函数.

（Ⅰ）已知直线是曲线在点处的切线，且与曲线相切，求的值；

（Ⅱ）若方程有三个不同实数解，求实数的取值范围.

【考点】函数的导数及其应用。

解析：

18.（本小题满分13分）

如图，是等边三角形，点在边的延长线上，且,.

（Ⅰ）求的长；

（Ⅱ）求的值.

【考点】三角函数的应用。

解析：

（I）

（II）

19.（本小题满分14分）

已知函数.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）求证：

当时，函数存在最小值.

【考点】函数的导数及其应用。

解析：

（II）

20.（本小题满分14分）

已知数列是无穷数列，满足（）.

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）求证：

“数列中存在使得”是“数列中有无数多项是1”的充要条件；

（Ⅲ）求证：

在数列中,使得.

【考点】对数运算、数列、充分必要条件，应用知识解决问题的能力。

解析：

（III）