人B版数学必修2讲义第2章 221 直线方程的概念与直线的斜率Word文档格式.docx

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3.斜率的几何意义

用实数反映了平面直角坐标系内的直线相对于x轴正方向的倾斜程度.

判断（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法.（　　）

（2）任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.（　　）

（3）一个倾斜角α不能确定一条直线.（　　）

（4）斜率公式与两点的顺序无关.（　　）

【解析】　

（1）错误.除了倾斜角，还可以用斜率描述直线的倾斜程度.

（2）错误.倾斜角不是90°

的直线有且只有一个斜率和它对应.

（3）正确.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：

一个点P和一个倾斜角α.

（4）正确.斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换.

【答案】　

（1）×

（2）×

　（3）√　（4）√

教材整理3　直线的倾斜角

阅读教材P75“第15行”以下内容，完成下列问题.

1.倾斜角的定义

（1）当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.

（2）当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°

.

2.倾斜角的范围

直线的倾斜角α的取值范围为0°

≤α<

180°

3.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：

直线上的一个定点及它的倾斜角.

如图221所示，直线l的倾斜角为（　　）

图221

A.30°

B.60°

C.120°

D.以上都不对

【解析】　根据倾斜角的定义知，直线l的倾斜角为30°

＋90°

＝120°

【答案】　C

[小组合作型]

直线的倾斜角

　已知直线l过原点，l绕原点按顺时针方向转动α角（0°

<

α<

）后，恰好与y轴重合，求直线l转动前的倾斜角是多少？

【精彩点拨】　

―→

【自主解答】　由题意画出如下草图

由图可知：

当α为钝角时，倾斜角为α－90°

，

当α为锐角时，倾斜角为α＋90°

当α为直角时，倾斜角为0°

综上，直线l转动前的倾斜角为

1.解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答.

2.求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.

[再练一题]

1.设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°

，得到直线l1，那么l1的倾斜角为（　　）

A.α＋45°

B.α－135°

C.135°

－α

D.当0°

135°

时，倾斜角为α＋45°

；

当135°

时，倾斜角为α－135°

【解析】　根据题意，画出图形，如图所示：

因为0°

，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，

不合题意.通过画图（如图所示）可知：

当0°

时，l1的倾斜角为α＋45°

时，l1的倾斜角为45°

＋α－180°

＝α－135°

.故选D.

【答案】　D

直线的斜率

　已知坐标平面内三点A（－1,1），B（1,1），C（2，

＋1）.

（1）求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角；

（2）若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围.

【精彩点拨】　

（1）利用k＝

及k＝tanα求解；

（2）先求出AC、BC的斜率，进而求出k的范围.

【自主解答】　

（1）由斜率公式得

kAB＝

＝0，kBC＝

＝

kAC＝

倾斜角的取值范围是0°

又∵tan0°

＝0，

∴AB的倾斜角为0°

tan60°

∴BC的倾斜角为60°

tan30°

∴AC的倾斜角为30°

（2）如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为

1.由倾斜角（或范围）求斜率（或范围）利用定义式k＝tanα（α≠90°

）解决.

2.由两点坐标求斜率运用两点斜率公式

k＝

（x1≠x2）求解.

3.涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用斜率公式求解.

2.已知两点A（－3,4），B（3,2），过点P（1,0）的直线l与线段AB有公共点.

（1）求直线l的斜率k的取值范围；

（2）求直线l的倾斜角α的取值范围.

【导学号：

45722077】

【解】　如图所示，由题意可知kPA＝

＝－1，kPB＝

＝1.

（1）要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1，或k≥1.

（2）由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°

，PA的倾斜角是135°

，所以α的取值范围是45°

≤α≤135°

[探究共研型]

斜率公式的应用

探究1　斜率公式k＝

中，分子与分母的顺序是否可以互换？

y1与y2，x1与x2的顺序呢？

【提示】　斜率公式中分子与分母的顺序不可互换，但y1与y2和x1与x2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k＝

探究2　你能证明A（－3，－5），B（1,3），C（5,11）三点在同一条直线上吗？

【提示】　能.因为A（－3，－5），B（1,3），C（5,11），

所以kAB＝

＝2，kBC＝

＝2，

所以kAB＝kBC，且直线AB，BC有公共点B，

所以A，B，C这三点在同一条直线上.

　已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2（－1≤x≤1），试求

的最大值和最小值.

的最大值和最小值可以看做过两点（－2，－3）和（x，y）的直线的斜率的最大值和最小值.

【自主解答】　由

的几何意义可知，它表示经过定点P（－2，－3）与曲线段AB上任一点（x，y）的直线的斜率k，由图可知kPA≤k≤kPB，由已知可得A（1,1），B（－1,5）.

则kPA＝

，kPB＝

＝8.

∴

≤k≤8，∴

的最大值为8，最小值为

证明三点共线：

只需证此三点中任意两点确定的斜率相等（斜率存在）.

求代数式

的最值或范围问题：

由斜率公式k＝

的形式，可知

的几何意义是过P（x，y）与P′（a，b）两点的直线的斜率，故可以利用数形结合来求解.

3.已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求

【解】　如图所示，由于点（x，y）满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P（x，y）在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为（2,4），（3,2）.

由于

的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝

所以可求得

的最大值为2，最小值为

1.斜率不存在的直线一定是（　　）

A.过原点的直线

B.垂直于x轴的直线

C.垂直于y轴的直线

D.垂直于坐标轴的直线

【解析】　只有直线垂直于x轴时，其倾斜角为90°

，斜率不存在.

【答案】　B

2.若过两点A（4，y），B（2，－3）的直线的倾斜角为45°

，则y等于（　　）

A.－

B.

C.－1D.1

【解析】　kAB＝

＝tan45°

＝1，即

＝1，∴y＝－1.

3.光线从点A（－2，

）射到x轴上的B点后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点C（1,2

），则光线BC所在直线的倾斜角为________.

【解析】　A（－2，

）关于x轴的对称点为A′（－2，－

），

由物理知识知kBC＝kA′C＝

所以所求倾斜角为60°

【答案】　60°

4.如图222所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3之间的大小关系为________.

图222

【解析】　设l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图可知0<

α3<

α2<

90°

α1<

所以tanα2>

tanα3>

0，tanα1<

0，故k1<

k3<

k2.

【答案】　k1<

k2

5.已知A（1,1），B（3,5），C（a,7），D（－1，b）四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值.

45722078】

【解】　由题意可知kAB＝

＝2，kAC＝

，kAD＝

所以k＝2＝

，解得a＝4，b＝－3，

所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3.