概率论基础讲义全Word文档下载推荐.docx
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例2.随机地将15名新生平均分配到三个班级中去,观察15名新生分配的情况。
此试验的
样本空间所有样本点的个数为
Na=『平°
『]或者吒=—
555515151
I八八丿第一种方法用组合+乘法原理;
第
二种方法用排列
事件间的关系与运算
1、包含:
若事件A的发生必导致事件B发生,则称事件B包含事件A,记为A_B或B
_A。
例如,在曰中,令A表示掷出2点”的事件,即A={2}
B表示掷出偶数”的事件,即B={2,4,6}则二-1
2、相等:
若A_B且B_A,则称事件A等于事件B,记为A=B
例如,从一付52张的扑克牌中任取4张,令A表示取得到少有3张红桃”的事件;
B表示取得至多有一张不是红桃”的事件。
显然A=B
3、和:
称事件A与事件B至少有一个发生的事件为A与B的和事件简称为和,记为A」
件,B表示乙击中目标”的事件,则AUB表示目标被击中”的事件。
推广:
IJ4-4U4U……UA■尚,……儿至少有一个发蠻
有限个.-一
无穷可列个
(Ja=AU虫2U:
A至少有一个发生}
X-1
4、积:
称事件A与事件B同时发生的事件为A与B的积事件,简称为积,记为A_|B
或AB。
例如,在E3中,即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中,令A={接到偶数次呼
唤},B={接到奇数次呼唤},则A_|B={接到6的倍数次呼唤}
||……丄Lq.--:
丄任意有限个
j_l
04=4A……wUbA同时发生}
5、差:
称事件A发生但事件B不发生的事件为A减B的差事件简称为差,记为A-B。
例如,测量晶体管的3参数值,令A={测得@直不超过50},B=
{测得3值不超过100},贝U,A-B=0,B-A={测得3值为50<
3
<
100}
6、互不相容:
若事件A与事件B不能同时发生,即AB=0,则称A与B是互不相容的
例如,观察某定义通路口在某时刻的红绿灯
B={绿灯亮},则A与B便是互不相容的。
A
7、对立:
称事件A不发生的事件为A的对立事件,记为」显然上.』门,AA=0
例如,从有3个次品,7个正品的10个产品中任取3个,若令
A={取得的3个产品中至少有一个次品},则一={取得的3个产品
均为正品}。
3事件的运算规律
1、交换律AUB=BUA;
AAB=BnA
2、结合律(AUB)UC=AU(BUC);
(AAB)nC=An(BAC)
3、分配律AA(BUC)=(AnB)U(AnC),AU(BnC)=(AUB)n(AUC)
4、对偶律
此外,还有一些常用性质,如
AUB_A,AUB_B(越求和越大);
AnB_A,AnB_B(越求积越小)。
若A_B,则AUB=B,AnB=AA-B=A-AB=A等等。
例3,从一批产品中每次取一件进行检验,令Ai={第i次取得合格品},i=1,2,3,试用事件的运算符号表示下列事件。
A={三次都取得合格品}B={三次中至少有一次取得合格品}C=
{三次中恰有两次取得合格品}D={三次中最多有一次取得合格品}
解:
A=A1A2A3门一上.[二一、…-:
二&
H丄上…一.
表示方法常常不唯一,如事件B又可表为
B=A石AUUU44忑U如仏
例4,一名射手连续向某一目标射击三次,令Ai={第i次射击击中目标},i=1,2,3,试用文字
叙述下列事件:
f「I.「」■:
.■-!
.1■-…匚
&
珂第一次射击耒击申目标J
.-|.-I.-〔Jt"
-中一「'
IAlA2A3={三次射击都击中目标}
A3-A2={第三次击中目标但第二次未击中目标}
4U4={前两次均未击中目标怡主;
石□兀=44)
4UA={前两次射击至少有-次耒击中目标}
例5,下图所示的电路中,以A表示信号灯亮”这一事件,以B,C,D分别表示继电器接点i,n,m,闭合,试写出事件A,B,C,D之间的关系。
二事件的概率
概率的定义
所谓事件A的概率是指事件A发生可能性程度的数值度量,记为P(A)。
规定P(A)X),P(Q)=1。
1、古典概型中概率的定义
古典概型:
满足下列两条件的试验模型称为古典概型
(1)所有基本事件是有限个;
(2)各基本事件发生的可能性相同
掷一匀称的骰子,令A={掷出2点}={2},B={掷出偶数总}={2,4,6}。
此试验样本空间为
1
Q={1,2,3,4,5,6},于是,应有仁P(Q)=6P(A),即P(A)=一。
6
定义1:
在古典概型中,设其样本空间Q所含的样本点总数,即试验的基本事件总数为Nq
而事件A所含的样本数,即有利于事件A发生的基本事件数为Na,则事件A的概率便定义
为:
卄叽丄包含基本事件数
⑷瓦基本事件总数
例1,将一枚质地均匀的硬币一抛三次,求恰有一次正面向上的概率
用H表示正面,T表示反面,则该试验的样本空间
Q={(H,H,H)(H,H,T)(H,T,H)(T,H,H)(H,T,T)(T,H,T)(T,T,H)(T,
T,T)}。
可见N沪8令A={恰有一次出现正面},则A={(H,T,T)(T,H,T)(T,T,H)}
可见,令Na=3
例2,(取球问题)袋中有5个白球,3个黑球,分别按下列三种取法在袋中取球。
(1)有放回地取球:
从袋中取三次球,每次取一个,看后放回袋中,再取下一个球;
(2)无放回地取球:
从袋中取三次球,每次取一个,看后不再放回袋中,再取下一个球;
(3)一次取球:
从袋中任取3个球。
在以上三种取法中均求A={恰好取得2个白球}的概率。
(1)有放回取球Nq=8X8X8=83=512(袋中八个球,不论什么颜色,取到每个球的
概率相等)
%=8x?
x6=4=336
(2)无放回取球„
叫=
5x4x3=
\J
-180
属于取球问题的一个实例
设有100件产品,其中有5%的次品,今从中随机抽取15件,则其中恰有2件次品的
概率便为
例3(分球问题)将n个球放入N个盒子中去,试求恰有n个盒子各有一球的概率(n<
N)。
令A={恰有n个盒子各有一球},先考虑基本事件的总数
叽=
.——
先从N个盒子里选n个盒子,然后在n个盒子里n个球
N蠱=
n
17
全排列
属于分球问题的一个实例
全班有40名同学,向他们的生日皆不相同的概率为多少?
令A={40个同学生日皆不相同},则有
(365}
=365*°
^=401故
I丿(可以认为有365个盒子,40个球)
Eb
P(A)=一*0.109
36540
例4(取数问题)
从0,1,••…;
9共十个数字中随机的不放回的接连取四个数字,并按其出现的先后排成
一列,求下列事件的概率:
(1)四个数排成一个偶数;
(2)四个数排成一个四位数
(3)四个数排成一个四位偶数;
令A={四个数排成一个偶数},B={四个数排成一个四位数},C={四个数排成一个四位
偶数}
=5x9xgx7;
叽=4=10x9x8x7;
丄,10x9x8x7-9x8x7
^=4*-^=10x9x8x7-9x8x7,5—=0.9
=5x9xgx?
-4x8x7
例5(分组问题)将一幅52张的朴克牌平均地分给四个人,分别求有人手里分得13张黑桃
及有人手里有4张A牌的概率各为多少?
解:
令A={有人手里有13张黑桃},B={有人手里有4张A牌}
4lf43¥
39l(26K13)
Jb加加加J
不难证明,古典概型中所定义的概率有以下三条基本性质:
1°
P(A)>
2°
P(Q)=1
3°
若Al,A2,……,An两两互不相容,则
j4i4
2、概率的统计定义
频率:
在n次重复试验中,设事件A出现了nA次,则称:
—为事件A的频率。
频率具有一定的稳定性。
示例见下例表
试验者
抛硬币次数n
正面(A)出现次数nA
正面(A)出现的
频率M)=—
22
德摩尔根
2048
1061
0.5180
浦丰
4040
2148
0.5069
皮尔逊
12000
6019
0.5016
24000
12012
0.5005
维尼
30000
14994
0.4998
定义2:
在相同条件下,将试验重复n次,如果随着重复试验次数n的增大,事件A的频
率fn(A)越来越稳定地在某一常数p附近摆动,则称常数p为事件A的概率,即P(A)=p
不难证明频率有以下基本性质:
—•2°
丄
3若Ai,A,,两两互不相容,则
鼻13
3、概率的公理化定义(数学定义)
定义3:
设某试验的样本空间为
Q,对其中每个事件A定义一个实数P(A),如果它满足
F列三条公理
1°
P(A)X)(非负性)2°
P(Q)=1(规范性)
3°
若Ai,A2,……,An••…两两互不相容,则(可列可加性,简称
可加性)
则称P(A)为A的概率
4、几何定义
定义4:
假设Q是Rn(n=1,2,3)中任何一个可度量的区域,从Q中随机地选择一点,即Q中任何一点都有同样的机会被选到,则相应随机试验的样本空间就是Q,假设事件A是Q中任何一个可度量的子集,则
P(A)==u(A)/u(Q)
概率的性质
差的概率等于概率之差
性质1:
若A_B,则P(B-A)=P(B)-P(A)
证:
因为:
A_B
所以:
B=AU(B-A)且AA(B-A)=札由概率可加性得P(B)=P[AU(B-A)]=P(A)+P(B-A)即P(B-A)=P(B)-P(A)性质2:
若A_B,则P(A)<
P(B)――概率的单调性
由性质1及概率的非负性得0<
P(B-A)=P(B)-P(A),即P(A)WP(B)
性质3:
P(A)<
1证明:
由于A_Q,由性质2及概率的规范性可得P(A)<
性质4:
对任意事件A,P(.-|)=1-P(A)
证明:
在性质1中令B=Q便有P()=P(Q-A)=P(Q)-P(A)=1-P(A)
性质5:
P(0)=0证:
在性质4中,令A=Q,便有P(^)=P
(二)=1-P(Q)
=1-1=0
性质6(加法公式)对任意事件A,B,有P(AUB)
由于AUB=AU(B-AB)且AA(B-AB)=$(见图)
由概率的可加性及性质1便得
P(AUB)=P[AU(B-AB)]=P(A)+P(B-AB)
=P
(A)+P(B)-P(AB)
P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P
(ABC)
例6设10个产品中有3个是次品,今从中任取3个,试求取出产品中至少有一个是次品的概率。
令C={取出产品中至少有一个是次品},则]={取出产品中皆为正品},于是由性质4得
例7,甲,乙两城市在某季节内下雨的概率分别为0.4和0.35,而同时下雨的概率为0.15,
问在此季节内甲、乙两城市中至少有一个城市下雨的概率。
令A={甲城下雨},B={乙城下雨},按题意所要求的是
P(AUB)=P(A)+P(B)—P(AB)=0.4+0.35-0.15=0.6
例8.设A,B,C为三个事件,已知P(A)=P(B)=P(C)=0.25,P(AB)=0,P(AC)=0,P(BC)=0.125,求
A,B,C至少有一个发生的概率
解;
由于ABCcAB故
0<
P(ABC)<
P(AB)=O从而P(ABC)=0
于是所求的概率为
p(Ai]Bm=p(a)+p⑻+p©
-pm--p㈣+p(abc)
44488
三条件概率
条件概率的概念及计算
在已知事件B发生条件下,事件A发生的概率称为事件A的条件概率,记为P(AB)。
条件概率P(A/B)与无条件概率P(A)通常是不相等的。
例1:
某一工厂有职工500人,男女各一半,男女职工中非熟练工人分别为40人和10人,
即该工厂职工人员结构如下:
人数
男
女
总和
非熟练工人
40
10
50
其他职工
210
240
450
250
500
现从该厂中任选一职工,令A={选出的职工为非熟练工人},B={选出的职工为女职工}
定义1
设A、B为两事件,如果P(B)>0,则称丄二.-1为在事件B发生的条件
下,事件A的条件概率|。
同样,如果P(A)>0,则称尸场卜聲#为在事件A发生条
件下,事件B的条件概率
条件概率的计算通常有两种办法
(1)由条件概率的含义计算(通常适用于古典概型),
(2)由条件概率的.定义计算。
例2:
一盒子内有10只晶体管,其中4只是坏的,6只是好的,从中无放回地取二次晶管每次取一只,当发现第一次取得的是好的晶体管时,向第二次取的也是好的晶体管的概率为多少?
令A={第一次取的是好的晶体管},B={第二次取的是好的晶体管}
按条件概率的定义需先计算m;
于是
10510x93
S丿旳乡9
例3:
某种集成电路使用到2000小时还能正常工作的概率为0.94,使用到3000小时还能正常工作的概率为0.87.有一块集成电路已工作了2000小时,向它还能再工作1000小时的概率为多大?
令A={集成电路能正常工作到2000小时},B={集成电路能正常工作到3000小时}
已知:
:
P(A)=0.94,P(B)=0.87且匚厂彳,既有AB=B于是P(AB)=P(B)=0.87
按题意所要求的概率为:
丨-亠■—…-…匸
尸⑻0.94
关于条件概率的三个重要公式
1.乘法公式
定理1:
』工小:
H'
如杲p(A)>
o,则有P⑷)=
例4:
已知某产品的不合格品率为4%,而合格品中有75%的一级品,今从这批产品中任取一件
求取得的为一级的概率•
解:
令A={任取一件产品为一级品},B={任取一件产品为合格品},显然J-:
:
1,即有AB=A故P(AB)=P(A)。
于是,所要求的概率便为
P^A)=P(AB)=P卜96%x75%二72%
例5:
为了防止意外,在矿内安装两个报警系统a和b,每个报警系统单独使用时,系统a有效的概率为0.92,系统b的有效概率为0.93,而在系统a失灵情况下,系统b有效的概率为0.85,试求:
⑴当发生意外时,两个报警系统至少有一个有效的概率;
(2)在系统b失灵情况下,系统a有效的概率.
令A={系统a有效}B={系统b有效}
已知].一,/:
Il:
对问题
(1),所要求的概率为
51:
.-:
-十.■-,其中:
"
-A./:
(见图)
=二丁_Ui=,i.'
-.I/'
)'
'
ii:
-ii-jII■■;
于是'
■:
■■■.…厂
对问题
(2),所要求的概率为'
L'
=
证:
由于心_上]__心二,.枚
1/別P[B)1-P⑻1-093
孔4】)2讪)2…⑷&
…心0
所以上面等式右边的诸条件概率均存在,且由乘法公式可得
丹也…箱卜A4A■■■心疋%&
…■仏
=心&
…胡&
沧…也用%分如)
例6:
10个考签中有4个难签,三个人参加抽签(无放回)甲先,乙次,丙最后试问⑴甲、乙、
丙均抽得难签的概率为多少?
(2)甲、乙、丙抽得难签的概率各为多少
令A,B,C分别表示甲、乙、丙抽得难签的事件
乙抽得难签的概率为
戸⑻=p[abuab}~p(ab}+p[ab)=户⑺归仅;
卜(号)
=2x2+fg上淼碗uABCuABCljABC]=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC]
To9109
431
x_x_=——
9810
631
X-X-=—
2.全概率公式
完备事件组:
如果一组事件订匕总旳在每次试验中必发生且仅发生一个
则称此事件组为该试验的一个完备事件组
j-i
[J--*且对于任意
1=1
于是A二AQ二A(U"
i)=且对于任意2j/比帖也=曹,于是由概
i-ii-i
例7,某届世界女排锦标赛半决赛的对阵如下
令H={日本胜美国},匚={美国胜日本},A={中国得冠军}
由全概率公式便得所求的概率为
例8,盒中放有12个乒乓球,其中9个是新的,第一次比赛时,从盒中任取3个使用,用
后放会盒中,第二次比赛时,再取3个使用,求第二次取出都是新球的概率
令H•={第一次比赛时取出的3个球中有i个新球}i=0,1,2,3,A={第二次比赛
取出的3个球均为新球}
由全概率公式便可得所求的概率
=0.146
3贝叶斯公式
定理3:
设H|,H],
.H为一完备事件组,
且丄:
又设A为任意事件,且P(A)>
0,则有
由乘法公式和全概率公式即可得到P
昭轧
吃)左丽%
例9:
某种诊断癌症的实验有如下效果:
患有癌症者做此实验反映为阳性的概率为0.95,
不患有癌症者做此实验反映为阴的概率也为「0•先佥概率假定就诊者中有0.005的人患有癌
症。
已知某人做此实验反应为阳性,问他是一个癌症患者的概率是多少?
令H={做实验的人为癌症患者},/■'
={做实验的人不为癌症患者},A={实验结果反
应为阳性},{实验结果反应为阴性},由贝叶斯公式可求得所要求的概率:
例10:
两信息分别编码为X和Y传送出去,接收站接收时,X被误收作为Y的概率0.02,
而Y被误作为X的概率为0.01.信息X与Y传送的频繁程度之比为2:
1,若接收站收到的信息
为X,问原发信息也是X的概率为多少?
设H={原发信息为冯〒mm
又设A珂收到信息为X)4攸刖信息为『}
2—]
P(H}=-
由题意可知
P(AH)=\-=1-002=0.93
0984+0014
例11:
设有一箱产品是由三家工厂生产的,已知其中..的产品是由甲厂生产的,乙、丙
两厂的产品各占
.,已知甲,乙两厂的次品率为2%,丙厂的次品率为4%,现从箱中任
取一产品
(1)
求所取得产品是甲厂生产的次品的概率;
(2)求所取得产品是次
品的概率;
(3)
已知所取得产品是次品,问他是由甲厂生产的概率是多少?
令分别表示所取得的产品是属于甲、乙、丙厂的事件,A={所取得的产品
为次品}
对问题
(1),由乘法公式可得所要求的概率
巩%4)=丹禺)#%卜%冥2%"
%
对问题(3),由贝叶斯公式可得所要求的概率
四独立性
事件的独立性
B独立。
事件A独立。
不难证明,当「丄.IIII时,上述两个式子是等价的。
事实上,如果卜M,则有P[AB}=P⑻卜P〔A)F⑻
即,...1.:
同样可证,「「十|二「也-..-I—1
总之,可见事件独
立性是相互的。
H%)=尸⑷<
=>
丹曲)=列曲巩?
)OP%讥)
定义1设A,B为两个事件,如果J-l..-./I-LI,则称事件A与事件B相互独
立。
例1,袋中有