典型例题分析第5章 位移法文档格式.docx

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●两端固定梁的转角位移方程

其中：

、

为A、B两端的角位移，

为杆端的相对线位移，

为在荷载等作用下的杆端弯矩（固端弯矩），

为杆的单位长度刚度（线刚度）。

●一端固定另一端铰支梁的转角位移方程

●一端固定另一端为定向支承梁的转角位移方程

5-1-3位移法典型方程

●位移法解题思路

首先对结构进行分析，确定独立的结点角位移和线位移的数量。

然后在每个独立的角位移上加上附加刚臂，每个独立的线位移上加上附加支座链杆，得到位移法的基本体系；

再由基本体系与原体系等价，根据平衡条件得到位移法典型方程，解位移法方程得到结点位移；

最后利用叠加原理得到结构的弯矩图。

位移法和力法相反，它是通过施加附加约束使结构变成会计算的新结构，如何施加约束是非常的关键步骤，首先要搞清楚能够施加的约束的性质，约束的装置有结点和支座，结点是连接杆件之间的联系，支座是杆件和地基之间的联系，杆件之间的相对位置是不能改变的，因此无法施加结点类型的约束，故只能施加支座约束。

基本体系与原结构完全等价，而基本体系与原结构从结构组成上完全不同，基本体系为了能够会求解（作弯矩图），比原结构多余联系个数多，增加的多余联系为附加刚臂和附加链杆支座。

两个结构上面的荷载相同，差别在附加约束，为保证基本体系与原结构等价，附加约束应该不起作用，如何使附加约束不起作用？

若附加约束上的反力为零，则附加约束就失去作用了，因此为了消除附加约束的作用，必须设法使附加约束的反力为零。

因此基本体系与原结构协调的条件是使基本体系上的附加约束反力等于零，基本体系上附加约束反力由基本体系上的所有外力、附加约束上的位移共同引起，利用叠加原理可以分别计算各个因素引起的支座反力。

基本体系确定原则：

施加最少的附加约束，只要每个杆件都会作弯矩图即可。

尤其注意静定结构部分，不必施加新的约束。

●附加支座约束的特性

当全部附加约束施加完成得到基本体系时，应检查附加约束合理与否，分析附加约束是否可以产生位移，即附加支座要能够产生独立的支座位移，刚臂必须能够转动，链杆支座必须能够移动，对不能产生位移的附加支座，必须去掉，重新考虑施加附加约束。

●位移法典型方程

以图5-2a所示超静定刚架为例讲述建立位移法典型方程的过程，该结构有两个独立的结点位移（D点的角位移和C、D点的水平线位移），基本体系为图5-2b所示,在附加约束处应满足平衡条件：

，

图5-2

原结构

根据叠加原理，如图5-2b基本体系分解为如图5-2c、5-2d、5-2e三种情况单独作用，在附加约束上产生的反力为：

由平衡条件得到位移法典型方程：

式中：

为

在

处产生的反力

第1个下标表示反力的地点和方向

第2个下标表示产生该反力的原因

主系数

：

恒大于零

副系数

=

满足反力互等定理

自由项

单独由荷载在

最终弯矩计算公式可由叠加原理得到：

●具有n个结点位移的结构的位移法典型方程

平衡条件：

位移法典型方程：

物理意义：

第i个方程代表第i个附加约束处的反力为零；

处产生的反力，第1个下标表示反力的地点和方向，第2个下标表示产生该反力的原因；

恒大于零,副系数

满足反力互等定理；

为荷载作用下在附加约束i处产生的反力。

叠加原理：

5-1-3位移法解题步骤

●结点位移分析：

对结构进行分析，确定独立的角位移和线位移的数量，即确定位移法的基本未知量。

●确定基本体系：

在每个独立的角位移上加上附加刚臂，每个独立的线位移上加上附加支座链杆，得到位移法基本体系。

●列位移法方程：

根据基本体系与原体系等价，由平衡条件，列出位移法方程。

●作弯矩图：

为计算附加约束上的反力，分别作出位移法基本结构在荷载、单位位移作用下的弯矩图。

●计算反力与反力系数：

根据平衡条件，求出单位位移作用下附加约束上的反力（系数）及单位位移作用下附加约束上的反力（自由项）。

●求结点位移：

解位移法方程，得到结点位移。

●作最终弯矩图：

利用基本结构的荷载弯矩图和单位位移弯矩图，根据叠加原理求出杆端弯矩，然后用简支梁法作每个杆段弯矩图。

●作剪力图和轴力图：

由杆件平衡，利用杆端弯矩可计算出杆端剪力并作图；

再根据结点平衡计算出各杆的轴力并作图。

5-1-4直接利用平衡条件建立位移法方程

图5-3

除了上述利用位移法基本体系在附加约束处的平衡条件来建立位移法的典型方程的方法，还可以直接由原结构的结点和截面平衡来建立位移法的方程。

具体步骤为：

如图5-3a基本未知量为D点的角位移和C、D点的水平线位移。

●写出杆端内力表达式：

利用等截面直杆的转角位移方程，写出各杆端的弯矩表达式；

根据杆件平衡写出杆端剪力表达式。

根据结点平衡（图5-3b）和截面平衡（图5-3c）列出位移法方程。

将计算出的结点位移代入杆端弯矩表达式中，求出杆端弯矩并作弯矩图。

例题5—1图

【例题5-1】用位移法计算图示结构，并作M图。

已知EI=常数。

l

【解】

位移法方程：

求系数和自由项：

由作最终弯矩图如图（h）示。

【分析】

刚架不计轴向变形，E刚结点水平、竖向线位移等于零，只有转角位移，在E点加1个刚臂限制转动位移，且使刚臂产生实际转角，E点可以当成固定端，每个杆件都看成单跨梁，得到会算结构，基本体系如图b。

基本体系多了一个刚臂支座，基本体系与原结构应该完全等价，为此刚臂反力应等于零，荷载、刚臂支座转动都在刚臂处产生反力，总反力等于零，由此得到关于转角位移的方程，即位移法典型方程。

●作荷载、单位位移产生的弯矩图：

基本体系的的每个杆件都可以看成一根单跨梁，利用已知的形、载常数就可以得到图，图。

●求系数、自由项：

系数和自由项都是刚臂支座反力，弯矩图已作出，取恰当的隔离体即可求得支座反力，本题取连接刚臂的刚结点作隔离体，列刚结点力矩平衡条件，求得、。

对基本体系利用图、图由叠加原理求出杆端弯矩，利用简支梁法作M。

●注意：

原体系为4次超静定，基本体系5为次超静定，刚臂相当一个约束。

例题5—2图

平衡条件：

代入方程求解：

由作最终弯矩图如图（e）示。

梁或刚架都不计轴向变形，B点水平、竖向线位移都等于零，在B点施加1个限制转动的刚臂约束，B点可当作固定端，B点的实际转角位移由刚臂支座产生，每个杆件都可当成超静定的单跨梁，得到会算结构，即位移法的基本体系如图（b）。

基本体系与原体系完全等价，但基本体系比原体系多了一个刚臂支座，要保证等价，基本体系的刚臂支座不起作用（附加支座反力等于零），这是基本体系应该满足的力的条件，若B处刚臂反力不等于零，B点将不满足实际的平衡条件，因此称作平衡条件。

基本体系在B处刚臂附加反力矩由荷载和支座转动两者产生，根据叠加原理分别计算，得到关于的位移法典型方程。

●作荷载、单位力弯矩图：

利用载常数作由外荷载产生的MP图（如图c）；

利用形常数作单位支座转角产生的图（如图d）。

系数和自由项都是刚臂支座反力，弯矩图已作出，取B刚结点作隔离体，列刚结点（如图f、g）的力矩平衡条件，求得、。

对基本体系利用图、图由叠加原理求出杆端弯矩，利用简支梁法、微分关系（静定结构作弯矩图的方法）作M（如图e）。

基本体系在作弯矩图时，每个杆件是单独进行的，如果某个杆件无荷载也无支座位移，这样的杆件没有弯矩和剪力，但有轴力。

【例题5-2】用位移法计算图示结构，并作M图。

例题5—3图

【例题5-3】用位移法计算图示结构，并作M图。

`

由作最终弯矩图如图（g）示。

在E点加1个刚臂限制转动位移，得到基本体系如图b。

FDEG为静定部分，弯矩图会作。

由基本体系刚臂支座反力为零的条件，得到关于转角位移的位移法典型方程。

作基本体系的MP图，图。

静定部分利用静定结构方法作弯矩图。

系数和自由项都是刚臂支座反力，取E刚结点作隔离体，列E刚结点（如图e、f）的力矩平衡条件，求得、。

对基本体系利用图、图由叠加原理求出杆端弯矩，利用简支梁法、微分关系（静定结构作弯矩图的方法）作M（如图g）。

确定基本体系的目的是将原结构变成一个利用简单方法会算的结构，静定部分可以利用平衡条件确定全部的内力，因此就不需要对静定部分再施加附加约束。

理论上对静定部分施加附加约束变成超静定单跨梁没有错误，但是在实际上完全没有必要。

例题5—4图

●基本体系确定：

在不计轴向变形情况下，C、D结点仅有转角位移，而无线位移，施加刚臂约束使C、D结点变成固定端，位移法基本体系图b所示。

由基本体系刚臂支座反力为零的条件，得到关于两个转角位移、的位移法典型方程。

作基本体系的MP图、、图。

系数和自由项都是刚臂支座反力矩，分别取C、D刚结点作隔离体（如图g），列刚结点力矩平衡条件即得。

对基本体系利用图、、图由叠加原理求出杆端弯矩，利用简支梁法、微分关系作M（如图f）。

隔离体上剪力和轴力都省略未画出，因为取结点隔离体，求反力矩仅需要列力矩平衡条件，剪力对应的力臂无限小，对力矩平衡条件不影响，轴力对结点无力矩，因此隔离体上仅标出了弯矩项。

【例题5-4】试用位移法计算图示结构，并作弯矩图。

【解】

平衡条件：

由作最终弯矩图。

例题5—5图

【例题5-5】用位移法作图示结构M图。

2m

在不计轴向变形情况下，D结点仅有转角位移，而无线位移，施加刚臂约束使D结点变成固定端，每个杆件弯矩图都会作，得到图b所示的位移法基本体系。

作基本体系的MP图、图。

CD、EF、EB利用悬臂和简支梁法作弯矩图。

系数和自由项是刚臂支座反力矩，分别取D刚结点作隔离体（如图e、f），列力矩平衡条件即得。

对基本体系利用图、图由叠加原理求出杆端弯矩，利用简支梁法、微分关系作M（如图g）。

CD、EF、EB弯矩图不需要经过超静定位移法计算，就可以直接利用静定结构作弯矩图的方法求出。

例题5—6图

【例题5-6】用位移法作图示结构M图。

在不计轴向变形，且DEF为无穷刚梁的情况下，D、E、F结点的转角位移为零，只有水平线位移，施加水平链杆约束使D、F结点变成固定端，E刚结点变成固定端，EB杆件为一端固定一端铰接单跨梁，其它均为两端固定单跨梁，得到图b所示基本体系。

由基本体系刚臂支座反力为零的条件，得到关于水平位移的位移法典型方程。

●作图、图：

先作AD、BE、CF杆件弯矩图，最后利用平衡条件和微分关系DE、EF杆件作弯矩图。

系数和自由项是链杆支座反力，不知道杆件轴力情况下，直接取F结点作隔离体无法求出链杆支座反力。

利用弯矩图可以求出各柱子的剪力，各柱端轴力弯矩水平投影为零，在隔离体图e、图f上未标出，列投影平衡条件即得、。

有无穷刚梁情况下，结点若施加刚臂约束，则会出现矛盾，无法使刚臂产生单位转角位移，即不能作出相应的单位弯矩图。

例题5—7图

【例题5-7】图示结构的用位移法作弯矩图。

E刚结点施加刚臂约束；

E、D点竖向线位移施加链杆支座约束，位移法基本体系图b所示。

由基本体系附加支座反力为零的条件，得到、的位移法典型方程。

作基本体系的MP图、、图（如图c、d、e）。

刚臂支座反力矩取E结点作隔离体（如图g、h、i）；

链杆支座反力取部分作隔离体列投影平衡条件（如图j、k）。

取结点隔离体求较简单，求要取DE部分隔离体，比结点隔离体计算复杂。

例题5—8图

【例题5-8】用位移法作图示结构M图。

在C刚结点施加刚臂约束，D刚结点不施加刚臂约束也可以，CD杆件为一端固定一端铰支、DE杆件相当于悬臂梁，因此可取图b所示的位移法基本体系。

由基本体系附加支座反力为零的条件，得到关于C结点转角位移的位移法典型方程。

DE杆件弯矩图利用悬臂梁法得到，CD杆件的弯矩图用叠加原理得到（如图h所示）。

附加刚臂支座反力矩取C结点作隔离体（如图e、f），利用力矩平衡条件求得。

本题也可以在D结点处再施加一个刚臂支座，D结点变成固定端，CD杆件为两端固定单跨梁，DE杆件相当于悬臂梁，这样的基本体系有两个位移未知数，将比一个未知数的计算复杂。

选取一个未知数的基本体系，CD杆件的弯矩图不容易作出，容易出错，但非常简单。

例题5—9图

【例题5-9】用位移法作图示排架结构M图。

由作最终弯矩图如图（g）示。

【思考】如下图（h）排架结构，利用位移法计算与力法计算哪个较简单？

●几何组成分析：

本题为一次超静定结构，利用力法求解有一个多余未知力，此处要求利用位移法求解。

C、D铰结点有水平线位移且两点的水平线位移相等，施加一个水平链杆支座约束，C、D铰结点就变成固定铰支座，得位移法基本体系图b所示。

由基本体系附加支座反力为零的条件，得到关于位移的位移法典型方程。

利用形常数、载常数可以得到单位弯矩图、荷载弯矩图。

（如图c、d所示）。

附加链杆支座的反力取一部分作隔离体（如图e、f），利用水平投影平衡条件求得。

本题CD杆件若轴向刚度不为无穷大（无轴向变形），而是有限轴向刚度（有轴向变形），则C、D两点间将有相对水平线位移。

需要在C、D两点都施加水平链杆支座，才能得到位移法计算的基本体系，在此情况下可能比力法计算就要复杂一些。

●注解：

如图（h）排架结构，柱AC是变截面杆件，在截面变化处要施加两个约束，位移法求解共需要施加三个附加约束，即位移未知数为三个；

杆件截面变化，而超静定次数并没有改变，仍为一次超静定结构，用力法计算时，未知数为一个。

图（h）结构用力法将比位移法计算简单。

例题5—10图

【例题5-10】用位移法作图示结构M图。

本题为两次超静定结构。

B结点施加刚臂支座；

C铰结点有竖向位移，需要附加一个竖向链杆支座，C铰结点就变成固定铰支座，得位移法基本体系图b所示。

●单位弯矩图：

利用形常数可以得到单位支座位移的弯矩图（如图d、e所示）。

●求附加链杆反力：

附加链杆支座的反力，取C结点作隔离体（如图j、k），利用投影平衡条件求得。

支座不产生位移时弹性支座反力为零；

支座产生位移时，弹性支座有反力。

C点竖向虽然有弹性支座约束，但C点在力作用下可以产生竖向位移，并不是固定铰支座。

必须附加竖向链杆支座，BC杆件的弯矩图才会作。

例题5—11图

【例题5-11】用位移法作图示结构M图。

并求D铰右侧截面转角。

由作最终弯矩图如图（h）示。

本题为四次超静定的对称结构，在对称荷载作用下，利用对称性可知D铰结点水平、竖向线位移都为零，D铰相当于固定铰支座，得等代结构如图b。

C刚结点的线位移为零，只有转角位移，在C刚结点处施加一个刚臂约束，C刚结点就变成固定支座，得基本体系图c所示。

由基本体系附加刚臂支座反力为零的条件，得到关于C结点转角位移的位移法典型方程。

（如图d、e所示）。

系数和自由项为附加刚臂支座的反力矩，取C刚结点作隔离体（如图f、g），利用力矩平衡条件求得、。

对基本体系利用图、图由叠加原理求出杆端弯矩，利用简支梁法、微分关系作等代结构的M图（如图g所示）。

右半部分结构的弯矩图利用对称关系得到，中间柱子弯矩图为零（剪力也为零），但有轴力。

本题DB杆件为B端固定支座、D端固定铰支座，杆件中间没有荷载作用，支座也没有支座位移产生，中间DB杆件弯矩图为零，在取等代结构时，中间柱子就不用考虑。

例题5—12图

【例题5-12】用位移法作图示结构M图。

由作弯矩图如图（g）示。

B刚结点的线位移为零，只有转角位移，在B刚结点处施加一个刚臂约束，B刚结点就变成固定支座，得基本体系图b所示。

由基本体系附加刚臂支座反力为零的条件，得到关于B结点转角位移的位移法典型方程。

已知支座移动产生的弯矩图和刚臂支座单位位移产生弯矩图，都是利用形常数得到。

系数和自由项为附加刚臂支座的反力矩，取B刚结点作隔离体（如图e、f），利用力矩平衡条件求得、。

对基本体系利用图、图由叠加原理求出杆端弯矩，利用微分关系作M图（如图g所示）。

本题的产生内力的因素是已知支座位移，若本题还有外荷载作用，可利用叠加原理，再作出荷载弯矩图，自由项将再多一项荷载引起的附加刚臂反力矩。

例题5—13图

【例题5-13】用位移法作图示结构M图。

D、E、F铰结点有水平线位移，在F结点处施加一个链杆支座，F结点就变成固定铰支座，E、F铰结点线位移也为零，得基本体系图b所示。

荷载作用在不动点上不产生弯矩图，附加支座单位位移产生弯矩图利用形常数得到（如图c、d所示）。

系数和自由项为附加链杆支座的反力，取DEF部分作隔离体（如图e、f），利用水平方向投影平衡条件求得、。

本题桁架杆件轴向刚度若不是无穷大，在D、E处都要附加链杆支座，此情况位移未知数将为3个！

例题5—14图

【例题5-14】用位移法计算图示结构，并作M图。

各杆EI=常数。

由作最终弯矩图（g）示。

本题为六次超静定的有双对称轴对称结构，在对称荷载作用下，A点三个位移为零，D点两个位移为零，取四分之一部分作为等代结构如图b。

对于等代结构，C刚结点的线位移为零，只有转角位移，在C刚结点处施加一个刚臂约束，C刚结点就变成固定支座，得基本体系图c所示。

系数和自由项为附加刚臂支座的反力矩，取C结点作隔离体，利用力矩平衡条件求得、。

对基本体系利用图、图由叠加原理求出杆端弯矩，利用简支梁法、微分关系作等代结构的M图（如图f所示）。

其它部分结构的弯矩图利用对称关系得到，中间水平的AF杆件弯矩图为零（剪力也为零），但有轴力。

在取等代结构时，由于中间水平杆件弯矩为零，未考虑中间水平杆件的部分