《选修45不等式选讲》知识点详解 例题 习题含详细答案解析Word下载.docx

《选修45不等式选讲》知识点详解 例题 习题含详细答案解析Word下载.docx

《《选修45不等式选讲》知识点详解 例题 习题含详细答案解析Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《选修45不等式选讲》知识点详解 例题 习题含详细答案解析Word下载.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

|β|≥|α·

β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．

1．判断正误（在括号内打“√”或“×

”）

（1）对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>

b>

0时等号成立．（　　）

（2）对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．（　　）

（3）|ax＋b|≤c（c>

0）的解等价于－c≤ax＋b≤c.（　　）

（4）不等式|x－1|＋|x＋2|<

2的解集为Ø

.（　　）

（5）若实数x、y适合不等式xy>

1，x＋y>

－2，则x>

0，y>

0.（　　）

[答案]　

（1）×

（2）√　（3）√　（4）√　（5）√

2．不等式|2x－1|－x<

1的解集是（　　）

A．{x|0<

x<

2}B．{x|1<

2}

C．{x|0<

1}D．{x|1<

3}

[解析]　解法一：

x＝1时，满足不等关系，排除C、D、B，故选A.

解法二：

令f（x）＝则f（x）<

1的解集为{x|0<

2}．

[答案]　A

3．设|a|<

1，|b|<

1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是

（　　）

A．|a＋b|＋|a－b|>

2B．|a＋b|＋|a－b|<

2

C．|a＋b|＋|a－b|＝2D．不能比较大小

[解析]　|a＋b|＋|a－b|≤|2a|<

2.

[答案]　B

4．若a，b，c∈（0，＋∞），且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为（　　）

A．1B．

C.D．2

[解析]　（＋＋）2＝（1×

＋1×

）2≤（12＋12＋12）（a＋b＋c）＝3.

当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．

∴（＋＋）2≤3.

故＋＋的最大值为.故应选C.

[答案]　C

5．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．

[解析]　利用数轴及不等式的几何意义可得x到a与到1的距离和小于3，所以a的取值范围为－2≤a≤4.

[答案]　－2≤a≤4

考点一　含绝对值的不等式的解法

解|x－a|＋|x－b|≥c（或≤c）型不等式，其一般步骤是：

（1）令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根．

（2）把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间．

（3）在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集．

（4）这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．

解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号．

（1）（2015·

山东卷）不等式|x－1|－|x－5|<

2的解集是（　　）

A．（－∞，4）B．（－∞，1）

C．（1,4）D．（1,5）

（2）（2014·

湖南卷）若关于x的不等式|ax－2|<

3的解集为，则a＝________.

[解题指导]　切入点：

“脱掉”绝对值符号；

关键点：

利用绝对值的性质进行分类讨论．

[解析]　

（1）当x<

1时，不等式可化为－（x－1）＋（x－5）<

2，即－4<

2，显然成立，所以此时不等式的解集为（－∞，1）；

当1≤x≤5时，不等式可化为x－1＋（x－5）<

2，即2x－6<

2，解得x<

4，又1≤x≤5，所以此时不等式的解集为[1,4）；

当x>

5时，不等式可化为（x－1）－（x－5）<

2，即4<

2，显然不成立，所以此时不等式无解．

综上，不等式的解集为（－∞，4）．故选A.

（2）∵|ax－2|<

3，∴－1<

ax<

5.

当a>

0时，－<

，与已知条件不符；

当a＝0时，x∈R，与已知条件不符；

当a<

0时，<

－，又不等式的解集为，故a＝－3.

[答案]　

（1）A　

（2）－3

用零点分段法解绝对值不等式的步骤：

（1）求零点；

（2）划区间、去绝对值号；

（3）分别解去掉绝对值的不等式；

（4）取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．

对点训练

已知函数f（x）＝|x＋a|＋|x－2|.

（1）当a＝－3时，求不等式f（x）≥3的解集；

（2）若f（x）≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．

[解]　

（1）当a＝－3时，f（x）＝

当x≤2时，由f（x）≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；

当2<

3时，f（x）≥3无解；

当x≥3时，由f（x）≥3得2x－5≥3，解得x≥4；

所以f（x）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．

（2）f（x）≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.

当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|

⇔4－x－（2－x）≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a.

由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.

故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．

考点二　利用绝对值的几何意义或图象解不等式

对于形如|x－a|＋|x－b|>

c或|x－a|＋|x－b|<

c的不等式，利用绝对值的几何意义或者画出左、右两边函数的图象去解不等式，更为直观、简捷，它体现了数形结合思想方法的优越性．

|x－a|＋|x－b|的几何意义是数轴上表示x的点与点a和点b的距离之和，应注意x的系数为1.

（1）（2014·

重庆卷）若不等式|x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．

（2）不等式|x＋1|－|x－2|>

k的解集为R，则实数k的取值范围是__________．

绝对值的几何意义；

把恒成立问题转化为最值问题．

[解析]　

（1）∵|x－1|＋|x＋2|≥|（x－1）－（x－2）|＝3，

∴a2＋a＋2≤3，解得≤a≤.

即实数a的取值范围是.

（2）解法一：

根据绝对值的几何意义，设数x，－1,2在数轴上对应的点分别为P，A，B，则原不等式等价于PA－PB>

k恒成立．∵AB＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3.故当k<

－3时，原不等式恒成立．

令y＝|x＋1|－|x－2|，

则y＝

要使|x＋1|－|x－2|>

k恒成立，从图象中可以看出，只要k<

－3即可．故k<

－3满足题意．

[答案]　

（1）　

（2）（－∞，－3）

解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x即可；

不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f（x）<

a恒成立⇔a>

f（x）max，f（x）>

a恒成立⇔a<

f（x）min.

（2015·

唐山一模）已知函数f（x）＝|2x－a|＋a，a∈R，g（x）＝|2x－1|.

（1）若当g（x）≤5时，恒有f（x）≤6，求a的最大值；

（2）若当x∈R时，恒有f（x）＋g（x）≥3，求a的取值范围．

[解]　

（1）g（x）≤5⇔|2x－1|≤5⇔－5≤2x－1≤5⇔－2≤x≤3；

f（x）≤6⇔|2x－a|≤6－a⇔a－6≤2x－a≤6－a⇔a－3≤x≤3.

依题意有，a－3≤－2，a≤1.

故a的最大值为1.

（2）f（x）＋g（x）＝|2x－a|＋|2x－1|＋a≥|2x－a－2x＋1|＋a＝|a－1|＋a，

当且仅当（2x－a）（2x－1）≤0时等号成立．

解不等式|a－1|＋a≥3，得a的取值范围是[2，＋∞）．

考点三　不等式的证明与应用

不等式的证明方法很多，解题时既要充分利用已知条件，又要时刻瞄准解题目标，既不仅要搞清是什么，还要搞清干什么，只有兼顾条件与结论，才能找到正确的解题途径．

应用基本不等式时要注意不等式中等号成立的条件．

新课标全国卷Ⅱ）设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：

（1）若ab>

cd，则＋>

＋；

（2）＋>

＋是|a－b|<

|c－d|的充要条件．

不等式的性质；

不等式的恒等变形．

[证明]　

（1）因为（＋）2＝a＋b＋2，（＋）2＝c＋d＋2，

由题设a＋b＝c＋d，ab>

cd得（＋）2>

（＋）2.

因此＋>

＋.

（2）①若|a－b|<

|c－d|，则（a－b）2<

（c－d）2，即（a＋b）2－4ab<

（c＋d）2－4cd.

因为a＋b＝c＋d，所以ab>

cd.

由

（1）得＋>

②若＋>

＋，则（＋）2>

（＋）2，即

a＋b＋2>

c＋d＋2.

cd.于是（a－b）2＝（a＋b）2－4ab<

（c＋d）2－4cd＝（c－d）2.

因此|a－b|<

|c－d|.

综上，＋>

分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．

（2014·

新课标全国卷Ⅱ）设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：

（1）ab＋bc＋ac≤；

（2）＋＋≥1.

[证明]　

（1）由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

由题设得（a＋b＋c）2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.

所以3（ab＋bc＋ca）≤1，即ab＋bc＋ca≤.

（2）因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，

故＋＋＋（a＋b＋c）≥2（a＋b＋c），

即＋＋≥a＋b＋c.

所以＋＋≥1.

———————方法规律总结————————

[方法技巧]

1．绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号．

2．绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时需灵活运用，同时还要注意等号成立的条件．

3．在证明不等式时，应根据命题提供的信息选择合适的方法与技巧．如在使用柯西不等式时，要注意右边为常数．

[易错点睛]

1．对含有参数的不等式求解时，分类要完整．

2．应用基本不等式和柯西不等式证明时要注意等号成立的条件．

　　　　　　　　　　课时跟踪训练（七十）

一、填空题

1．不等式|2x－1|<

3的解集为__________．

[解析]　|2x－1|<

3⇔－3<

2x－1<

3⇔－1<

[答案]　（－1,2）

2．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝__________.

[解析]　∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.

∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.

[答案]　2

3．不等式|2x＋1|＋|x－1|<

2的解集为________．

[解析]　当x≤－时，原不等式等价为－（2x＋1）－（x－1）<

2，即－3x<

2，x>

－，此时－<

x≤－.当－<

1时，原不等式等价为（2x＋1）－（x－1）<

2，即x<

0，此时－<

0.当x≥1时，原不等式等价为（2x＋1）＋（x－1）<

2，即3x<

2，x<

，此时不等式无解，综上，原不等式的解为－<

0，即原不等式的解集为.

[答案]　

4．已知关于x的不等式|x－1|＋|x|≤k无解，则实数k的取值范围是__________．

[解析]　∵|x－1|＋|x|≥|x－1－x|＝1，∴当k<

1时，不等式|x－1|＋|x|≤k无解，故k<

1.

[答案]　（－∞，1）

5．（2015·

西安统考）若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|<

a无解，则实数a的取值范围是________．

[解析]　|x－5|＋|x＋3|≥|（x－5）－（x＋3）|＝8，

故a≤8.

[答案]　（－∞，8]

6．（2015·

重庆卷）若函数f（x）＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝__________.

[解析]　当a＝－1时，f（x）＝3|x＋1|≥0，不满足题意；

－1时，f（x）＝f（x）min＝f（a）＝－3a－1＋2a＝5，解得a＝－6；

－1时，f（x）＝f（x）min＝f（a）＝－a＋1＋2a＝5，解得a＝4.

[答案]　－6或4

7．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是__________．

[解析]　∵f（x）＝|x＋1|＋|x－2|＝

∴f（x）≥3.要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，

∴|a|≥3，即a≤－3或a≥3.

[答案]　（－∞，－3]∪[3，＋∞）

8．已知关于x的不等式|x－a|＋1－x>

0的解集为R，则实数a的取值范围是__________．

[解析]　若x－1<

0，则a∈R；

若x－1≥0，则（x－a）2>

（x－1）2对任意的x∈[1，＋∞）恒成立，即（a－1）[（a＋1）－2x]>

0对任意的x∈[1，＋∞）恒成立，所以（舍去）或对任意的x∈[1，＋∞]恒成立，解得a<

1.综上，a<

9．设a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值为__________．

[解析]　∵（a＋b＋c）

＝[（）2＋（）2＋（）2]

≥2＝18，

∴＋＋≥2，∴＋＋的最小值为2.

10．（2014·

陕西卷）设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值为________．

[解析]　由柯西不等式，得（a2＋b2）（m2＋n2）≥（am＋bn）2，

即5（m2＋n2）≥25，

∴m2＋n2≥5，当且仅当an＝bm时，等号成立．∴的最小值为.

11．对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为__________．

[解析]　∵|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|

＝（|1－x|＋|x|）＋（|1－y|＋|1＋y|）

≥|（1－x）＋x|＋|（1－y）＋（1＋y）|＝1＋2＝3，

当且仅当（1－x）·

x≥0，（1－y）·

（1＋y）≥0，即0≤x≤1，－1≤y≤1时等号成立，

∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.

[答案]　3

12．若不等式|x＋1|－|x－4|≥a＋，对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．

[解析]　只要函数f（x）＝|x＋1|－|x－4|的最小值不小于a＋即可．由于||x＋1|－|x－4||≤|（x＋1）－（x－4）|＝5，所以－5≤|x＋1|－|x－4|≤5，故只要－5≥a＋即可．当a>

0时，将不等式－5≥a＋整理，得a2＋5a＋4≤0，无解；

0时，将不等式－5≥a＋整理，得a2＋5a＋4≥0，则有a≤－4或－1≤a<

0.综上可知，实数a的取值范围是（－∞，－4]∪[－1,0）．

[答案]　（－∞，－4]∪[－1,0）

二、解答题

13．已知不等式2|x－3|＋|x－4|<

2a.

（1）若a＝1，求不等式的解集；

（2）若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范围．

[解]　

（1）当a＝1时，不等式即为2|x－3|＋|x－4|<

2，

若x≥4，则3x－10<

4，∴舍去；

若3<

4，则x－2<

2，∴3<

4；

若x≤3，则10－3x<

2，∴<

x≤3.

综上，不等式的解集为.

（2）设f（x）＝2|x－3|＋|x－4|，则

f（x）＝

作出函数f（x）的图象，如图所示．

由图象可知，f（x）≥1，

∴2a>

1，a>

，即a的取值范围为.

14．（2015·

新课标全国卷Ⅰ）已知函数f（x）＝|x＋1|－2|x－a|，a>

0.

（1）当a＝1时，求不等式f（x）>

1的解集；

（2）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．

[解]　

（1）当a＝1时，f（x）>

1化为|x＋1|－2|x－1|－1>

当x≤－1时，不等式化为x－4>

0，无解；

当－1<

1时，不等式化为3x－2>

0，解得<

1；

当x≥1时，不等式化为－x＋2>

0，解得1≤x<

所以f（x）>

1的解集为.

（2）由题设可得，f（x）＝所以函数f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B（2a＋1,0），C（a，a＋1），△ABC的面积为（a＋1）2.

由题设得（a＋1）2>

6，故a>

所以a的取值范围为（2，＋∞）．

15．设函数f（x）＝|x－1|＋|x－a|.

（1）若a＝－1，解不等式f（x）≥3；

（2）如果∀x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．

[解]　

（1）当a＝－1时，f（x）＝|x－1|＋|x＋1|，

作出函数f（x）＝|x－1|＋|x＋1|的图象．

由图象可知，不等式f（x）≥3的解集为

.

（2）若a＝1，f（x）＝2|x－1|，

不满足题设条件；

若a<

1，f（x）＝

f（x）的最小值为1－a；

若a>

f（x）的最小值为a－1.

∴对于∀x∈R，f（x）≥2的充要条件是|a－1|≥2，

∴a的取值范围是（－∞，－1]∪[3，＋∞）．

16．（2015·

福建卷）已知a>

0，b>

0，c>

0，函数f（x）＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.

（1）求a＋b＋c的值；

（2）求a2＋b2＋c2的最小值．

[解]　

（1）因为f（x）＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|（x＋a）－（x－b）|＋c＝|a＋b|＋c，

当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．

又a>

0，所以|a＋b|＝a＋b，

所以f（x）的最小值为a＋b＋c.

又已知f（x）的最小值为4，

所以a＋b＋c＝4.

（2）由

（1）知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得

（4＋9＋1）≥

2＝（a＋b＋c）2＝16，

即a2＋b2＋c2≥.

当且仅当＝＝，

即a＝，b＝，c＝时等号成立．

故a2＋b2＋c2的最小值为.