福建省高中数学竞赛预赛试题.docx

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福建省高中数学竞赛预赛试题

2017年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛

暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考答案

（考试时间：

2017年5月21日上午9：

00－11：

30，满分160分）

一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。

请直接将答案写在题中的横线上）

1．已知集合，，若，则实数的取值范围为。

【答案】

【解答】由，得，，。

由，得，，。

若，则或，或。

∴时，的取值范围为。

2．已知是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，则。

【答案】

【解答】由函数为偶函数，知。

又为奇函数，

∴，。

∴。

3．已知为等比数列，且，若，则。

【答案】

【解答】由知，。

∵为等比数列，且，

∴。

∴。

∴

。

∴。

4．将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额，则甲班恰好分到2个名额的概率为。

【答案】

【解答】将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额的不同分配方案有种。

（用隔板法：

将8个名额排成一排，在它们形成的7个空挡中插入3块隔板，则每种插入隔板的方式对应一种名额分配方式，反之亦然。

）

其中，甲班恰好分到2个名额的分配方案有种。

（相当于将6个名额分配个3个班级，每班至少1个名额。

）

所以，所求的概率为。

5．三棱锥中，是边长为的等边三角形，，且二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为。

【答案】

【解答】如图，取中点，连，。

由是边长为的等边三角形，知，

，，。

∴为二面角的平面角，，，。

作于，则。

∴，，为的外心，三棱锥为正三棱锥。

设三棱锥外接球的球心为，半径为。

则在直线上，且。

∴，，三棱锥的外接球的表面积为。

6．已知为双曲线：

上一点，、为双曲线的左、右焦点，、分别为的重心、内心，若轴，则内切圆的半径为。

【答案】

【解答】如图，不妨设点在第一象限，、、分别为与三边相切的切点。

则由切线长定理以及双曲线定义，得

∴，。

设，由为重心，知，。

∴，

。

设内切圆半径为，则

。

另一方面，

。

∴，。

7．在中，内角、、所对的边分别是、、，且，，，则的面积为。

【答案】

【解答】由，知。

∴，。

∴，。

∴，即。

又，。

∴，即，解得或。

∴，或。

∴的面积。

8．若关于的方程（，）在区间上有实根，则的最小值为。

【答案】

【解答】由知，。

∴

。

∵，

∴，当，，时，等号成立。

∴的最小值为2。

9．函数的最大值为。

【答案】

【解答】由柯西不等式知，

。

当且仅当，即，时等号成立。

∴的最大值为11。

10.、、为圆上不同的三点，且，点在劣弧内（点与、不重合），若（，），则的取值范围为。

【答案】

【解答】如图，连结交于点。

设，则由，得

。

∵、、三点共线，

∴，。

不妨设圆的半径为1，作于，由，知。

∵，且点在劣弧内（点与、不重合），

∴。

于是，。

∴的取值范围为。

另解：

如图，以为原点，线段的垂直平分线所在直线为轴建立直角坐标系。

不妨设圆半径为2，则由，知，。

设。

则由，得

。

∴。

∵点在劣弧内（点与、不重合），

∴。

∴，。

∴的取值范围为。

二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。

要求写出解题过程）

11．若数列中的相邻两项、是关于的方程（1，2，3，…）的两个实根，且。

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的通项公式及的前项的和。

（必要时，可以利用：

）

【解答】

（1）依题意，由韦达定理，得，。

∴，即。

………………5分

∴，，，…；和，，，…，都是公差为1的等差数列。

又，。

∴对，，。

即。

………………………10分

（2）由

（1）知，。

………………………………15分

∴

。

………………………………20分

12．已知椭圆：

（）过点，且离心率为。

过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于、两点（、与点不重合）。

求证：

直线过定点，并求该定点的坐标。

【解答】依题意，有，且。

解得，。

∴椭圆的方程为。

……………………………5分

易知直线斜率存在，设方程为。

由，得

………①

设，，

则，。

……………………………10分

由知，。

∴，

即。

∴。

∴。

……………………………15分

∴。

由直线不过点，知。

∴，，直线方程化为。

∴直线过定点。

……………………………20分

13．如图，、分别是圆的切线和割线，其中为切点，为切线的中点，弦、相交于点，弦延长线上的点，满足。

求证：

、、三点共线的充分必要条件是、、三点共线。

【解答一】由为圆的切线知，。

又，

∴。

∴。

…………………5分

（1）若、、三点共线。

（第13题）

设直线，交于点。

则由塞瓦定理知，。

……………………………10分

∵，

∴，。

又点、均在直线上，因此、重合。

∴、、三点共线。

………………………………15分

（2）若、、三点共线。

设直线、相交于点。

则由塞瓦定理知，。

∵，，

∴，，为的中点、重合。

∴、、三点共线。

由

（1）、

（2）可得，、、三点共线的充分必要条件是、、三点共线。

…………………………………………………20分

【解答二】由知，、、、四点共圆。

∴。

由为圆的切线知，。

∴。

∴。

…………………5分

（1）若、、三点共线。

连结、、。

由为切线的中点知，

，即。

…………………10分

∴。

∴。

又由、、、四点共圆以及知，

。

∴。

∴、、三点共线。

…………………15分

（2）若、、三点共线。

设直线、相交于点，则。

又，

∴。

∴。

又，

∴，。

因此，为的中点，、重合。

∴、、三点共线。

由

（1）、

（2）可得，、、三点共线的充分必要条件是、、三点共线。

…………………………………20分

14．已知，。

（1）当时，求的最大值；

（2）判断函数零点的个数，并说明理由。

【解答】

（1）当时，，。

∵时，，

∴在上为减函数。

又，

∴时，；时，。

∴在区间上为增函数，在上为减函数。

∴时，的最大值为。

………………………………5分

（2），

当，且时，。

∴在上为减函数。

∵时，；时，。

∴存在唯一实根，设此根为。

则时，；时，。

∴在区间上为增函数，在上为减函数。

有最大值。

………………………………………10分

①当时，由

（1）知，有唯一零点。

②当时，由知，。

∴。

又时，；时，。

∴在区间，内各有一个零点。

∴当时，有两个零点。

……………………15分

③当时，由，知。

由，知。

∴

，（）。

设。

∵时，，

∴在区间上为增函数。

∴时，。

于是，。

∴时，不存在零点。

综合得，当时，有两个零点；当时，只有1个零点；当时，不存在零点。

……………………………20分

15．设，，，，是5个正实数（可以相等）。

证明：

一定存在4个互不相同的下标，，，，使得。

【解答】不妨设，考虑以下5个分数：

，，，，，………………………①

它们都属于区间。

……………………………………5分

把区间分成两个区间：

和，由抽屉原理知，区间或中一定有一个区间至少包含①中的3个数（记这3个数依次为，，）。

…………………………………………10分

将①中的5个数依次围成一个圆圈，则①中任意三个数中都有两个数是相邻的（与是相邻的）。

即，，中至少有两个数是相邻的。

…………………………………………15分

假设与相邻，则。

另一方面，由①中5个分数的分子、分母的下标特征知，围成的圆圈中，任意相邻两个分数的分子、分母的4个下标互不相同。

于是，、对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求。

因此，结论成立。

…………………………………20分