初等几何定理延伸导论Word文件下载.docx
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四种命题的真假关系：
互为逆否的两命题，真则同真，假则同假。
3充分条件，必要条件，充要条件
一般而言，在定理
中，条件P称为性质Q的充分条件，有了P便保证有Q；
Q称为P的必要条件，没有Q,P就不成立。
如果原命题和逆命题同时成立：
P是Q的充分和必要条件，简称充要条件。
关于必要和充分的意义，可以概括如下：
必要：
无它必不行，有它未必行。
充分：
有它必行，无它未必不行。
充要：
有它必行，无它必不行。
例“对角线互相垂直”是菱形的必要而不充分的条件；
“对角线互相垂直平分”是菱形的充要条件。
4逆命题证法
证明逆命题，常用下列方法之一。
（一）直接证明逆命题，即将原命题的证明过程，反其道而行之，举例说明。
定理：
线段的中垂线上人任一点，距线段两端等远。
逆定理凡距两点A,B等远的点必在线段AB的中垂线上。
证明：
设M为满足MA=MB的任一点，作MO
AB,则由于斜线MA与MB等长，斜线足应距垂足O等远，即OA=OB，所以M在AB的中垂线上。
（二）证明与逆命题等效的否命题
否定理不在中垂线上的任一点，距线段两段不等远。
证：
设
不在线段AB中垂线上的点（上图），比方说，它和B在中垂线的同侧。
于是从
向直线AB所引的垂线足
也和B在中垂线的同侧（否则两垂线将相交，而过此交点将有两直线垂直与AB了）。
所以
于是按斜线比较长短定理，
。
（三）利用原命题本身证明逆命题
大家可以自己举个例试一下。
5直接证法与间接证法
直接证法：
由命题的假设出发，根据定义，公里，定理进行一系列正面的逻辑推理，最后得出命题的结论。
间接证法：
有的问题，往往不易甚至不能直接证明，这时，不妨证明它的等效命题成立，因而也能间接的达到目的。
间接证法也可以分成以下几类：
直接
证法
间接
同一法
反证法
归谬法
穷举法
证题方法
间接证法举例
例一（归谬法）圆内不是直径的两弦，不能互相平分。
假设：
AB,CD是圆内非直径的两弦。
求证：
AB,CD不能互相平分。
假设结论的反面成立，即设弦AB与CD的中点P既是AB的又是CD的中点。
我们知道，弦的中点跟圆心O的连线是垂直于弦的。
那么通过P点就有两条直线AB和CD与OP垂直的，这是不可能的，所以定理得到反证。
A
B
C
D
E
1
2
F
3
4
5
6
7
在⊿ABC中，∠B与∠C的平分线分别为BD与CE，且BD=CE．
求证：
AB=AC．
证明假设AB≠AC，不妨设AB>
AC．则∠C>
∠B，因此∠2>
∠1，由此又可得BE>
CD，平移BE到DF，则EF=BD=CE，所以∠ECF=∠EFC，但是，DF=BE>
CD，所以∠4>
∠3,于是∠5<
∠6=∠7，从而得∠C=2∠5<
2∠7=∠B，这与∠C>
∠B矛盾．
该定理称作斯坦纳-莱莫斯定理，
有60余种证法．
同一法——用证明逆命题成立来证明原命题为真的方法．前提是该命题的条件和结论中的对象都满足惟一性，则原命题与某逆命题等价．
将任意三角形各角三等分，则每两个角的相邻三等分线的交点构成正三角形．（同一法）
证明设⊿ABC的∠A=3α，∠B=3β，∠C=3γ，三等分线交点构成⊿PQR．
作正⊿EFG，作∠1=60o+β，∠2=60o+γ，∠3=60o+α．
∵α+β+γ=60o，∴∠EA’G=180o－∠1－∠2=α．
同理∠EB’F=β，∠FC’G=γ．
过E作直线HI，使∠A’EH=β，
则∠HEG=60o，∠IEF=60o，
从而∠B’EI=α．
G
A’
C’
B’
6综合法与分析法
由于思维过程的顺逆，证明法可以分为“综合法“与”分析法“。
综合法：
综合法是命题的假设入手，由因导果，通过一系列的正确推理，逐步靠近目标，最终证出结论。
分析法：
分析法是由命题的结论人手，承认它是正确的话，执果索因，寻求在什么情况下结论才是正确的。
这样一部一部逆而推之，直到与假设会合，于是就发现由假设通往结论的思维过程。
7演绎法与归纳法
演绎法：
由一般规律推导特殊事项的称为演绎法。
归纳法：
由特殊事项加以抽象提高，以得出一般规律的，则称为归纳法。
命题总是由观察归纳得来的，观察的对象有遗漏，归纳的结果就可能错误或带有片面性。
凡是用普通归纳法证的命题，一定要多加小心。
例1设
为同一直线上n点，则就有向线段言，恒有
当n=3时，上式即
，这是两有向线段之和的定义。
现在假设上式对于n成立，证其对于n+1也成立：
由数学归纳法可以得到定理成立。
例2正⊿ABC所在平面上任一点P到三边距离的代数和等于该三角形的高．
证明点P可能在⊿ABC内、边上或其外，分三种情况来证明（完全归纳）：
当P在⊿ABC内或边上，由三角形面积公式易证；
当P在⊿ABC之外时，由三角形面积关系易得：
S⊿PAB+S⊿PAC=S⊿ABC+S⊿PBC．由此得：
h1+h2－h3=h．（h1、h2、h3≥0）
❑不完全归纳法所得结论不一定成立，但它对于研究数学、发现定理、提出猜想是十分有效的
下面我们介绍一些所谓证题技巧或证题术，无非是将证题的通用方法处理分门别类的问题
二、几何证明的通用方法
（一）化归法
由未知向已知、由不熟悉向熟悉转化，即
把一个证明题归结为已解决的问题的方法．
例1延长∠B、∠C的平分线BD、CE，分别交⊿ABC外接圆于B1，C1，若B1D=C1E，则AB=AC．
由斯坦纳-莱莫斯定理可知：
此题可化归为证明BD=CE的问题．
B1
C1
O
证明假设BD≠CE，不妨设BD<
CE，
则由相交弦定理知：
AD·
DC<
AE·
EB．
对等腰⊿B1AC，由斯特瓦特定理（下页补证）得：
B1C2﹣B1D2=AD·
DC．
同理C1B2﹣C1E2=AE·
EB，
则B1C2﹣B1D2<
C1B2﹣C1E2，即B1C<
C1B．
由⊿C1BO～⊿B1CO，得BO:
OC=C1B:
B1C>
1，
则∠1>
∠2，从而∠ACB>
∠ABC．
∵三角形中，小角的平分线比大角的平分线长（引理P154），∴BD>
CE．这与BD<
CE的假设矛盾，由此得证
斯特瓦特定理⊿ABC中，D是BC上任一点，则AB2·
DC+AC2·
BD–AD2·
BC=BC·
BD·
证明作AH⊥BC，不妨设H在D、C之间．
由余弦定理：
AC2=AD2+DC2–2DC·
DH，
AB2=AD2+BD2+2BD·
两式分别乘以BD、DC并相加，得：
AC2·
BD+AB2·
DC
=AD2（BD+DC）+DC2·
BD+BD2·
=AD2·
BC+BC·
事实上BC，BD，DC表成有向线段，D在直线BC上任意处都成立
（二）类比法
运用类比推理将证明题与类似问题进行对比，
由此获得启发使问题获得解决的方法．
例1试证周长为2L的封闭曲线一定可以用一个半径是（1/2）L的圆覆盖．
分析找一点O，证明曲线上任一点到O的距离
≤（1/2）L，先考虑特殊情形——平行四边形：
P是ABCD边上任意一点，则OP≤（1/2）（AP+PC）注≤（1/2）（AP+PD+DC）≤（1/2）L
对一般曲线，可与平行四边形类比：
A、C两点恰好平分曲线，O是AC中点，则
OP≤（1/2）（AP+PC）≤
注：
上述不等式由命题“三角形一边上的中线小于另两边之和的一半”来保证，其证法见右图即可获知．
（三）构造法
为使证题过程简化，把条件中的关系构造出来，或使关系在某个模型中实现，或把条件适当组合而构成一个新的形式，从而解决问题的方法称为构造法．
三式相乘即得证．
证明考虑⊿AYZ与⊿BZX的面积（正弦定理）：
S⊿AYZ=（1/2）AZ·
Zysinα，S⊿BZX=（1/2）ZB·
Xzsinβ．
（梅内劳斯定理p193）
X
Y
例8已知直线截⊿ABC三边或其延长线依次于点X、Y、Z，则有：
即．
同理有：
，
．
α
Z
β
（四）数形结合法
即用数与式的知识研究几何问题，如代数法、
解析法、三角法、面积法、向量法、复数法等，其特点都是将几何证明转化为代数计算，后面有一节专门讨论几何的计算证明法．
（五）变换法
在解决数学问题时利用数学变换往往能达到迂回的目的．常用的几何变换有合同变换、位似变换、仿射变换、射影变换、反演变换等．
后面有一节专门讨论几何变换法，故不在此举例．
三几何变换证明法
把一种几何图形按照某种法则或规律变成另一种图形的过程，称作几何变换．
在几何变换中，图形的某些数量关系和几何性质未发生变化，则称其为几何不变量和不变性．
一、合同变换
定义把图形F的点一一对应到图形F’，称为从F到F’的变换．若该变换还具有保距性，则称为从F到F’的合同变换
合同变换的不变量：
两点间距离、两射线所夹角度、平面图形面积等．
合同变换的不变性：
结合性、同素性、两直线的平行性等．
合同变换包括平移、旋转、轴对称变换以及它们的乘积
旋转变换
例费马点问题——在⊿ABC所在平面上求一点P，使P到三角形的三个顶点距离之和最小．
解如图所示，将⊿PAC绕点C转60o至⊿P’A’C，则PA=P’A’，PC=P’C，∠PCP’=60o．
由此得PC=PP’，即当B，P，P’，A’共线时，有PA+PB+PC最小．
此时∠BPC=∠CPA=120o=∠APB，设⊿ABC的最大角是∠A，则当∠A<
120o时，P点位置由上式确定；
当∠A≥120o时，⊿ABC内部没有满足上式的点，适当研究后容易得知，
P’
A’
相似变换
定义把图形F的点一一对应到图形F’，使F中任意两点A、B与其对应点A’、B’满足AB=kA’B’，则称该变换为从F到F’的相似变换．其中常数k称作相似系数或相似比．
v相似变换的不变量：
对应线段之比、两直线所夹角度、平面图形面积之比等．
v相似变换的不变性：
结合性、同素性、两直线的平行性等
例4设⊿ABC中∠A的平分线是PA，则PA2=AB·
AC－BP·
PC．（斯库顿定理）
P
证明（用分析法证明）
作PD使⊿ABP∽⊿APD，则
即PA2=AB·
AD，则欲证原式为：
AB·
AD=AB·
PC，即只需证：
AC－AB·
AD=BP·
PC，或AB·
CD=BP·
PC．
，则只需证：
由角平分线定理知：
∠1=∠2
⊿PCD∽⊿APC
∠2=∠3，∠B=∠4，∠B+∠3=∠1+∠4．
后面三式分别是已知、
已证的和外角定理．
四、反演变换
定义在平面上给定半径为r的⊙O，对于点P，在OP上取一点P’使OP·
OP’=r2，则称P’是P的反演点，O称为反演中心，r2称为反演幂
图形F中每个点的反演点组成的图形F’称为F的反演图形；
从F到F’的一一对应称作反演变换．
v反演变换的不变量：
对应线段之交比、两条直线、两个圆或一条直线与一个圆所夹角度等．
v反演变换的不变性：
结合性、同素性（把点、直线和圆统一看作广义圆）等．
v关于反演变换，有以下几条结论：
（1）反演圆上的点是反演变换下的不动点；
（2）过反演中心的直线，其反演图形是该直线本身
（3）不过反演中心的直线，其反形是过反演中心的圆，反之亦然．
证明设直线m不过反演中心O,作OA⊥m，垂足是A，其反演点是A’，m上任一点P的反演点是P’，显然P’在以OA’为直径的圆上；
反之，除O外，该圆上任一点的反演点在直线m上
（4）不过反演中心的圆，其反演图形也是不过反演中心的圆．其中包括自对应圆，其圆心在反演圆上且两者正交．（由割线定理、切割线定理易证）
（5）两个相切的圆，其反演图形也相切，且切点对应切点．（若切点是反演中心，则反形是两条平行直线．）
例9（托勒密定理）圆内接四边形的对角线乘积等于它的两组对边乘积之和．
证明以A为反演中心，任取r2（r≥外接圆直径）为反演幂，作反演变换，则外接圆变成直线l．
∵AB·
AB’=AC·
AC’=AD·
AD’=r2
D’
l
∴⊿ABC～⊿AC’B’，
即
且
故
同理可得
∵B’C’+C’D’=B’D’，
4.4有关度量的证法
几何证明题主要有两大类：
一是有关度量性质的，如线段、角、面积等大小关系问题；
二是有关位置性质的，如平行、垂直、点共线、
线共点、点共圆、圆共点等．
在某些条件下两者也可以互相转化，因此有关度量的问题也是基本的几何问题．
一、线段或角的相等
这一类问题的常见证法，教材上已经列出，故不在此重复（以下同．自行阅读教材上的常用定理或常见证明思路）．以下主要举例说明
例1已知P为正方形ABCD内一点，若∠PAB=∠PBA=15o，则⊿PCD是等边三角形．
证明（同一法）在正方形内取一点P’与CD构成正三角形．
连接AP’、BP’，则⊿ACP’与⊿BDP’为等腰三角形．
∵∠1=∠2=30o，∴∠3=∠4=75o．
即∠ABP’=∠BAP’，即P’点就是P点．
得证．
证法1（加倍法）将⊿ABF沿AB对折，得对称⊿ABG．
∵BF∥AC，∴∠ABG=135o．即D、B、G三点共线．
又∵AG=AF=AC，∴AO:
AG=AO:
AC=1:
2，即∠AGO=30o，从而得
∠FAB=∠BAG=60o－45o=15o=（1/2）∠CAF．
例5已知正方形ABCD，BF∥AC，AF=AC．
二、线段或角的和、差、倍、分
三、线段的积与比
例8设⊿ABC中∠A的平分线是PA，则PA2=AB·
PC．（斯库顿定理）
（本题在相似变换一节中介绍过．）
证法1延长AP，与外接圆交于E点．
∵PA2=PA·
AE－PA·
PE，且PA·
PE=BP·
PC，
∴只证PA·
AE=AB·
AC，或证⊿ABE～⊿APC即可．
这由∠1=∠2，∠3=∠4即可得证．
§
4.5有关位置的证法
一、平行与垂直
例1（一题多解）在⊿ABC的中线AD上任取一点M，BM、CM与AC、AB分别交于E、F，则EF∥BC．（1978，CMO）
证法1（相似法）过M作HG∥BC，则HM=MG，
M
，∴
，且
由分比定理得：
∵
则⊿MEF～
塞瓦定理设X、Y、Z分别是⊿ABC三边BC、CA、AB或延长线上的点，则AX、BY、CZ共点（包括平行）的充要条件是：
因此EF∥BC．
证完．
又∵BD=DC，∴由上式可得：
即∠FEB=∠EBC，因此EF∥BC．
得：
∵AD、BE、CF共点，∴由塞瓦定理
现在给出第2种证法：
二、共线点与共点线
❑解决此类问题，除过一般方法外，这里主要介绍梅内劳斯定理和塞瓦定理（p193），其它如笛沙格定理、巴普士定理、巴斯卡定理、布利安香定理等不再介绍（教材第三章射影几何有部分介绍）．
梅内劳斯定理（p126）设X、Y、Z分别是⊿ABC三边BC、CA、AB或延长线上的点，则X、Y、Z三点共线的充要条件
塞瓦定理（上节例1用过）设X、Y、Z分别是⊿ABC三边BC、CA、AB或延长线上的点，则AX、BY、CZ三线共点的充要条件是：
三、共圆点与共点圆
．
于是A、B、C、P四点共圆．
例9任一点在三角形三边（或所在直线）上的射影共线，则该点在三角形外接圆周上．这是西摩松定理的逆定理（原定理未讲，但易证）．
已知P点和⊿ABC，P在三边的垂足分别是Q、R、S，且Q、R、S共线．
A、B、C、P共圆．
Q
R
S
证明∵B，Q
证明∵B，Q，P，S共圆，∴∠BPQ=∠BSQ，
同理得∠QPC=∠ARQ；
∠BAC+∠BPC
=∠BAC+∠BPQ+∠QPC
=∠BAC+∠BSQ+∠ARQ
=180．
例11在⊿ABC的三边BC、CA、AB上任取三点D、E、F，则⊙AEF、⊙BFD、⊙CDE共点．该命题为麦克定理．
证明设⊙BFD、⊙CDE另一交点为O，
只证A，E，O，F四点共圆即可．
⊙COE的另一交点D与B、C共线．
⊙AEF、⊙BFO、⊙COE共点O，则⊙BFO与
下例将用到麦克逆定理，现叙述并略证如下：
∴A，E，O，F四点共圆．
∵∠AEO=∠ODC=∠OFB，
证明∠1=∠2=∠3，∠1+∠4=180o，∴∠3+∠4=180o
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