初等几何定理延伸导论Word文件下载.docx
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四种命题的真假关系:
互为逆否的两命题,真则同真,假则同假。
3充分条件,必要条件,充要条件
一般而言,在定理
中,条件P称为性质Q的充分条件,有了P便保证有Q;
Q称为P的必要条件,没有Q,P就不成立。
如果原命题和逆命题同时成立:
P是Q的充分和必要条件,简称充要条件。
关于必要和充分的意义,可以概括如下:
必要:
无它必不行,有它未必行。
充分:
有它必行,无它未必不行。
充要:
有它必行,无它必不行。
例“对角线互相垂直”是菱形的必要而不充分的条件;
“对角线互相垂直平分”是菱形的充要条件。
4逆命题证法
证明逆命题,常用下列方法之一。
(一)直接证明逆命题,即将原命题的证明过程,反其道而行之,举例说明。
定理:
线段的中垂线上人任一点,距线段两端等远。
逆定理凡距两点A,B等远的点必在线段AB的中垂线上。
证明:
设M为满足MA=MB的任一点,作MO
AB,则由于斜线MA与MB等长,斜线足应距垂足O等远,即OA=OB,所以M在AB的中垂线上。
(二)证明与逆命题等效的否命题
否定理不在中垂线上的任一点,距线段两段不等远。
证:
设
不在线段AB中垂线上的点(上图),比方说,它和B在中垂线的同侧。
于是从
向直线AB所引的垂线足
也和B在中垂线的同侧(否则两垂线将相交,而过此交点将有两直线垂直与AB了)。
所以
于是按斜线比较长短定理,
。
(三)利用原命题本身证明逆命题
大家可以自己举个例试一下。
5直接证法与间接证法
直接证法:
由命题的假设出发,根据定义,公里,定理进行一系列正面的逻辑推理,最后得出命题的结论。
间接证法:
有的问题,往往不易甚至不能直接证明,这时,不妨证明它的等效命题成立,因而也能间接的达到目的。
间接证法也可以分成以下几类:
直接
证法
间接
同一法
反证法
归谬法
穷举法
证题方法
间接证法举例
例一(归谬法)圆内不是直径的两弦,不能互相平分。
假设:
AB,CD是圆内非直径的两弦。
求证:
AB,CD不能互相平分。
假设结论的反面成立,即设弦AB与CD的中点P既是AB的又是CD的中点。
我们知道,弦的中点跟圆心O的连线是垂直于弦的。
那么通过P点就有两条直线AB和CD与OP垂直的,这是不可能的,所以定理得到反证。
A
B
C
D
E
1
2
F
3
4
5
6
7
在⊿ABC中,∠B与∠C的平分线分别为BD与CE,且BD=CE.
求证:
AB=AC.
证明假设AB≠AC,不妨设AB>
AC.则∠C>
∠B,因此∠2>
∠1,由此又可得BE>
CD,平移BE到DF,则EF=BD=CE,所以∠ECF=∠EFC,但是,DF=BE>
CD,所以∠4>
∠3,于是∠5<
∠6=∠7,从而得∠C=2∠5<
2∠7=∠B,这与∠C>
∠B矛盾.
该定理称作斯坦纳-莱莫斯定理,
有60余种证法.
同一法——用证明逆命题成立来证明原命题为真的方法.前提是该命题的条件和结论中的对象都满足惟一性,则原命题与某逆命题等价.
将任意三角形各角三等分,则每两个角的相邻三等分线的交点构成正三角形.(同一法)
证明设⊿ABC的∠A=3α,∠B=3β,∠C=3γ,三等分线交点构成⊿PQR.
作正⊿EFG,作∠1=60o+β,∠2=60o+γ,∠3=60o+α.
∵α+β+γ=60o,∴∠EA’G=180o-∠1-∠2=α.
同理∠EB’F=β,∠FC’G=γ.
过E作直线HI,使∠A’EH=β,
则∠HEG=60o,∠IEF=60o,
从而∠B’EI=α.
G
A’
C’
B’
6综合法与分析法
由于思维过程的顺逆,证明法可以分为“综合法“与”分析法“。
综合法:
综合法是命题的假设入手,由因导果,通过一系列的正确推理,逐步靠近目标,最终证出结论。
分析法:
分析法是由命题的结论人手,承认它是正确的话,执果索因,寻求在什么情况下结论才是正确的。
这样一部一部逆而推之,直到与假设会合,于是就发现由假设通往结论的思维过程。
7演绎法与归纳法
演绎法:
由一般规律推导特殊事项的称为演绎法。
归纳法:
由特殊事项加以抽象提高,以得出一般规律的,则称为归纳法。
命题总是由观察归纳得来的,观察的对象有遗漏,归纳的结果就可能错误或带有片面性。
凡是用普通归纳法证的命题,一定要多加小心。
例1设
为同一直线上n点,则就有向线段言,恒有
当n=3时,上式即
,这是两有向线段之和的定义。
现在假设上式对于n成立,证其对于n+1也成立:
由数学归纳法可以得到定理成立。
例2正⊿ABC所在平面上任一点P到三边距离的代数和等于该三角形的高.
证明点P可能在⊿ABC内、边上或其外,分三种情况来证明(完全归纳):
当P在⊿ABC内或边上,由三角形面积公式易证;
当P在⊿ABC之外时,由三角形面积关系易得:
S⊿PAB+S⊿PAC=S⊿ABC+S⊿PBC.由此得:
h1+h2-h3=h.(h1、h2、h3≥0)
❑不完全归纳法所得结论不一定成立,但它对于研究数学、发现定理、提出猜想是十分有效的
下面我们介绍一些所谓证题技巧或证题术,无非是将证题的通用方法处理分门别类的问题
二、几何证明的通用方法
(一)化归法
由未知向已知、由不熟悉向熟悉转化,即
把一个证明题归结为已解决的问题的方法.
例1延长∠B、∠C的平分线BD、CE,分别交⊿ABC外接圆于B1,C1,若B1D=C1E,则AB=AC.
由斯坦纳-莱莫斯定理可知:
此题可化归为证明BD=CE的问题.
B1
C1
O
证明假设BD≠CE,不妨设BD<
CE,
则由相交弦定理知:
AD·
DC<
AE·
EB.
对等腰⊿B1AC,由斯特瓦特定理(下页补证)得:
B1C2﹣B1D2=AD·
DC.
同理C1B2﹣C1E2=AE·
EB,
则B1C2﹣B1D2<
C1B2﹣C1E2,即B1C<
C1B.
由⊿C1BO~⊿B1CO,得BO:
OC=C1B:
B1C>
1,
则∠1>
∠2,从而∠ACB>
∠ABC.
∵三角形中,小角的平分线比大角的平分线长(引理P154),∴BD>
CE.这与BD<
CE的假设矛盾,由此得证
斯特瓦特定理⊿ABC中,D是BC上任一点,则AB2·
DC+AC2·
BD–AD2·
BC=BC·
BD·
证明作AH⊥BC,不妨设H在D、C之间.
由余弦定理:
AC2=AD2+DC2–2DC·
DH,
AB2=AD2+BD2+2BD·
两式分别乘以BD、DC并相加,得:
AC2·
BD+AB2·
DC
=AD2(BD+DC)+DC2·
BD+BD2·
=AD2·
BC+BC·
事实上BC,BD,DC表成有向线段,D在直线BC上任意处都成立
(二)类比法
运用类比推理将证明题与类似问题进行对比,
由此获得启发使问题获得解决的方法.
例1试证周长为2L的封闭曲线一定可以用一个半径是(1/2)L的圆覆盖.
分析找一点O,证明曲线上任一点到O的距离
≤(1/2)L,先考虑特殊情形——平行四边形:
P是ABCD边上任意一点,则OP≤(1/2)(AP+PC)注≤(1/2)(AP+PD+DC)≤(1/2)L
对一般曲线,可与平行四边形类比:
A、C两点恰好平分曲线,O是AC中点,则
OP≤(1/2)(AP+PC)≤
注:
上述不等式由命题“三角形一边上的中线小于另两边之和的一半”来保证,其证法见右图即可获知.
(三)构造法
为使证题过程简化,把条件中的关系构造出来,或使关系在某个模型中实现,或把条件适当组合而构成一个新的形式,从而解决问题的方法称为构造法.
三式相乘即得证.
证明考虑⊿AYZ与⊿BZX的面积(正弦定理):
S⊿AYZ=(1/2)AZ·
Zysinα,S⊿BZX=(1/2)ZB·
Xzsinβ.
(梅内劳斯定理p193)
X
Y
例8已知直线截⊿ABC三边或其延长线依次于点X、Y、Z,则有:
即.
同理有:
,
.
α
Z
β
(四)数形结合法
即用数与式的知识研究几何问题,如代数法、
解析法、三角法、面积法、向量法、复数法等,其特点都是将几何证明转化为代数计算,后面有一节专门讨论几何的计算证明法.
(五)变换法
在解决数学问题时利用数学变换往往能达到迂回的目的.常用的几何变换有合同变换、位似变换、仿射变换、射影变换、反演变换等.
后面有一节专门讨论几何变换法,故不在此举例.
三几何变换证明法
把一种几何图形按照某种法则或规律变成另一种图形的过程,称作几何变换.
在几何变换中,图形的某些数量关系和几何性质未发生变化,则称其为几何不变量和不变性.
一、合同变换
定义把图形F的点一一对应到图形F’,称为从F到F’的变换.若该变换还具有保距性,则称为从F到F’的合同变换
合同变换的不变量:
两点间距离、两射线所夹角度、平面图形面积等.
合同变换的不变性:
结合性、同素性、两直线的平行性等.
合同变换包括平移、旋转、轴对称变换以及它们的乘积
旋转变换
例费马点问题——在⊿ABC所在平面上求一点P,使P到三角形的三个顶点距离之和最小.
解如图所示,将⊿PAC绕点C转60o至⊿P’A’C,则PA=P’A’,PC=P’C,∠PCP’=60o.
由此得PC=PP’,即当B,P,P’,A’共线时,有PA+PB+PC最小.
此时∠BPC=∠CPA=120o=∠APB,设⊿ABC的最大角是∠A,则当∠A<
120o时,P点位置由上式确定;
当∠A≥120o时,⊿ABC内部没有满足上式的点,适当研究后容易得知,
P’
A’
相似变换
定义把图形F的点一一对应到图形F’,使F中任意两点A、B与其对应点A’、B’满足AB=kA’B’,则称该变换为从F到F’的相似变换.其中常数k称作相似系数或相似比.
v相似变换的不变量:
对应线段之比、两直线所夹角度、平面图形面积之比等.
v相似变换的不变性:
结合性、同素性、两直线的平行性等
例4设⊿ABC中∠A的平分线是PA,则PA2=AB·
AC-BP·
PC.(斯库顿定理)
P
证明(用分析法证明)
作PD使⊿ABP∽⊿APD,则
即PA2=AB·
AD,则欲证原式为:
AB·
AD=AB·
PC,即只需证:
AC-AB·
AD=BP·
PC,或AB·
CD=BP·
PC.
,则只需证:
由角平分线定理知:
∠1=∠2
⊿PCD∽⊿APC
∠2=∠3,∠B=∠4,∠B+∠3=∠1+∠4.
后面三式分别是已知、
已证的和外角定理.
四、反演变换
定义在平面上给定半径为r的⊙O,对于点P,在OP上取一点P’使OP·
OP’=r2,则称P’是P的反演点,O称为反演中心,r2称为反演幂
图形F中每个点的反演点组成的图形F’称为F的反演图形;
从F到F’的一一对应称作反演变换.
v反演变换的不变量:
对应线段之交比、两条直线、两个圆或一条直线与一个圆所夹角度等.
v反演变换的不变性:
结合性、同素性(把点、直线和圆统一看作广义圆)等.
v关于反演变换,有以下几条结论:
(1)反演圆上的点是反演变换下的不动点;
(2)过反演中心的直线,其反演图形是该直线本身
(3)不过反演中心的直线,其反形是过反演中心的圆,反之亦然.
证明设直线m不过反演中心O,作OA⊥m,垂足是A,其反演点是A’,m上任一点P的反演点是P’,显然P’在以OA’为直径的圆上;
反之,除O外,该圆上任一点的反演点在直线m上
(4)不过反演中心的圆,其反演图形也是不过反演中心的圆.其中包括自对应圆,其圆心在反演圆上且两者正交.(由割线定理、切割线定理易证)
(5)两个相切的圆,其反演图形也相切,且切点对应切点.(若切点是反演中心,则反形是两条平行直线.)
例9(托勒密定理)圆内接四边形的对角线乘积等于它的两组对边乘积之和.
证明以A为反演中心,任取r2(r≥外接圆直径)为反演幂,作反演变换,则外接圆变成直线l.
∵AB·
AB’=AC·
AC’=AD·
AD’=r2
D’
l
∴⊿ABC~⊿AC’B’,
即
且
故
同理可得
∵B’C’+C’D’=B’D’,
4.4有关度量的证法
几何证明题主要有两大类:
一是有关度量性质的,如线段、角、面积等大小关系问题;
二是有关位置性质的,如平行、垂直、点共线、
线共点、点共圆、圆共点等.
在某些条件下两者也可以互相转化,因此有关度量的问题也是基本的几何问题.
一、线段或角的相等
这一类问题的常见证法,教材上已经列出,故不在此重复(以下同.自行阅读教材上的常用定理或常见证明思路).以下主要举例说明
例1已知P为正方形ABCD内一点,若∠PAB=∠PBA=15o,则⊿PCD是等边三角形.
证明(同一法)在正方形内取一点P’与CD构成正三角形.
连接AP’、BP’,则⊿ACP’与⊿BDP’为等腰三角形.
∵∠1=∠2=30o,∴∠3=∠4=75o.
即∠ABP’=∠BAP’,即P’点就是P点.
得证.
证法1(加倍法)将⊿ABF沿AB对折,得对称⊿ABG.
∵BF∥AC,∴∠ABG=135o.即D、B、G三点共线.
又∵AG=AF=AC,∴AO:
AG=AO:
AC=1:
2,即∠AGO=30o,从而得
∠FAB=∠BAG=60o-45o=15o=(1/2)∠CAF.
例5已知正方形ABCD,BF∥AC,AF=AC.
二、线段或角的和、差、倍、分
三、线段的积与比
例8设⊿ABC中∠A的平分线是PA,则PA2=AB·
PC.(斯库顿定理)
(本题在相似变换一节中介绍过.)
证法1延长AP,与外接圆交于E点.
∵PA2=PA·
AE-PA·
PE,且PA·
PE=BP·
PC,
∴只证PA·
AE=AB·
AC,或证⊿ABE~⊿APC即可.
这由∠1=∠2,∠3=∠4即可得证.
§
4.5有关位置的证法
一、平行与垂直
例1(一题多解)在⊿ABC的中线AD上任取一点M,BM、CM与AC、AB分别交于E、F,则EF∥BC.(1978,CMO)
证法1(相似法)过M作HG∥BC,则HM=MG,
M
,∴
,且
由分比定理得:
∵
则⊿MEF~
塞瓦定理设X、Y、Z分别是⊿ABC三边BC、CA、AB或延长线上的点,则AX、BY、CZ共点(包括平行)的充要条件是:
因此EF∥BC.
证完.
又∵BD=DC,∴由上式可得:
即∠FEB=∠EBC,因此EF∥BC.
得:
∵AD、BE、CF共点,∴由塞瓦定理
现在给出第2种证法:
二、共线点与共点线
❑解决此类问题,除过一般方法外,这里主要介绍梅内劳斯定理和塞瓦定理(p193),其它如笛沙格定理、巴普士定理、巴斯卡定理、布利安香定理等不再介绍(教材第三章射影几何有部分介绍).
梅内劳斯定理(p126)设X、Y、Z分别是⊿ABC三边BC、CA、AB或延长线上的点,则X、Y、Z三点共线的充要条件
塞瓦定理(上节例1用过)设X、Y、Z分别是⊿ABC三边BC、CA、AB或延长线上的点,则AX、BY、CZ三线共点的充要条件是:
三、共圆点与共点圆
.
于是A、B、C、P四点共圆.
例9任一点在三角形三边(或所在直线)上的射影共线,则该点在三角形外接圆周上.这是西摩松定理的逆定理(原定理未讲,但易证).
已知P点和⊿ABC,P在三边的垂足分别是Q、R、S,且Q、R、S共线.
A、B、C、P共圆.
Q
R
S
证明∵B,Q
证明∵B,Q,P,S共圆,∴∠BPQ=∠BSQ,
同理得∠QPC=∠ARQ;
∠BAC+∠BPC
=∠BAC+∠BPQ+∠QPC
=∠BAC+∠BSQ+∠ARQ
=180.
例11在⊿ABC的三边BC、CA、AB上任取三点D、E、F,则⊙AEF、⊙BFD、⊙CDE共点.该命题为麦克定理.
证明设⊙BFD、⊙CDE另一交点为O,
只证A,E,O,F四点共圆即可.
⊙COE的另一交点D与B、C共线.
⊙AEF、⊙BFO、⊙COE共点O,则⊙BFO与
下例将用到麦克逆定理,现叙述并略证如下:
∴A,E,O,F四点共圆.
∵∠AEO=∠ODC=∠OFB,
证明∠1=∠2=∠3,∠1+∠4=180o,∴∠3+∠4=180o