小学数学奥数方法讲义40讲四Word文档格式.docx
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48
正方形的边长是48米。
这块田地的周长是：
48×
4=192（米）
答略。
*例6有3250个桔子，平均分给一个幼儿园的小朋友，剩下10个。
已知每一名小朋友分得的桔子数接近40个。
求这个幼儿园有多少名小朋友？
3250-10=3240（个）
把3240分解质因数：
3240=23×
34×
5
接近40的数有36、37、38、39
这些数中36=22×
32，所以只有36是3240的约数。
23×
5÷
（22×
32）
=2×
32×
=90
这个幼儿园有90名小朋友。
*例7105的约数共有几个？
求一个给定的自然数的约数的个数，可先将这个数分解质因数，然后按一个质数、两个质数、三个质数的乘积……逐一由小到大写出，再求出它的个数即可。
因为，105=3×
5×
7，
所以，含有一个质数的约数有1、3、5、7共4个；
含有两个质数的乘积的约数有3×
5、3×
7、5×
7共3个；
含有三个质数的乘积的约数有3×
7共1个。
所以，105的约数共有4+3+1=8个。
*例8把15、22、30、35、39、44、52、77、91这九个数平均分成三组，使每组三个数的乘积都相等。
这三组数分别是多少？
将这九个数分别分解质因数：
15=3×
22=2×
30=2×
35=5×
39=3×
13
44=2×
52=2×
77=7×
91=7×
观察上面九个数的质因数，不难看出，九个数的质因数中共有六个2，三个3，三个5，三个7，三个11，三个13，这样每组中三个数应包括的质因数有两个2，一个3，一个5，一个7，一个11和一个13。
由以上观察分析可得这三组数分别是：
15、52和77；
22、30和91；
35、39和44。
*例9有四个学生，他们的年龄恰好一个比一个大一岁，他们的年龄数相乘的积是5040。
四个学生的年龄分别是几岁？
把5040分解质因数：
5040=2×
由于四个学生的年龄一个比一个大1岁，所以他们的年龄数就是四个连续自然数。
用八个质因数表示四个连续自然数是：
7，2×
2，3×
3，2×
即四个学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁、10岁。
*例10在等式35×
（
）×
81×
27=7×
18×
162的两个括号中，填上适当的最小的数。
将已知等式的两边分解质因数，得：
37×
）=22×
36×
）
把上面的等式化简，得：
15×
）=4×
所以，在左边的括号内填4，在右边的括号内填15。
（4）=4×
（15）
*例11把84名学生分成人数相等的小组（每组最少2人），一共有几种分法？
把84分解质因数：
84=2×
除了1和84外，84的约数有：
2，3，7，2×
2=4，2×
3=6，2×
7=14，3×
7=21，2×
3=12，2×
7=28，2×
7=42。
下面可根据不同的约数进行分组。
84÷
2=42（组），84÷
3=28（组），84÷
4=21（组），84÷
6=14（组），84÷
7=12（组），84÷
12=7（组），84÷
14=6（组），84÷
21=4（组），84÷
28=3（组），84÷
42=2（组）。
因此每组2人分42组；
每组3人分28组；
每组4人分21组；
每组6人分14组；
每组7人分12组；
每组12人分7组；
每组14人分6组；
每组21人分4组；
每组28人分3组；
每组42人分2组。
一共有10种分法。
*例12把14、30、33、75、143、169、4445、4953这八个数分成两组，每组四个数，要使各组数中四个数的乘积相等。
求这两组数。
要使两组数的乘积相等，这两组乘积中的每个因数不必相同，但这些因数经分解质因数，它们所含有的质因数一定相同。
因此，首先应把八个数分解质因数。
14=2×
7
143=11×
5
169=13×
33=3×
11
4445=5×
127
75=3×
4953=3×
13×
在上面的质因式中，质因数2、7、11、127各有2个，质因数3、5、13各有4个。
在把题中的八个数分为两组时，应使每一组中的质因数2、7、11、127各有1个，质因数3、5、13各有2个。
按这个要求每一组四个数的积应是：
127×
因为，（2×
（3×
5）×
（11×
13）×
127）=14×
75×
143×
4953，根据接下来为“14、75、143、4953”正符合题意，因此，要求的一组数是14、75、143、4953，另一组的四个数是：
30、33、169、4445。
*例13一个长方形的面积是315平方厘米，长比宽多6厘米。
求这个长方形的长和宽。
（适于五年级程度）
设长方形的宽为x厘米，则长为（x+6）厘米。
根据题意列方程，得：
x（x+6）=315
x（x+6）=3×
7）
x（x+6）=15×
21
（15+6）
x=15
x+6=21
这个长方形的长是21厘米，宽是15厘米。
*例14已知三个连续自然数的积为210，求这三个自然数各是多少？
设这三个连续自然数分别是x-1，x，x+1，根据题意列方程，得：
（x-1）×
x×
（x+1）
=210
10
=3×
=5×
6×
比较方程两边的因数，得：
x=6，x-1=5，x+1=7。
这三个连续自然数分别是5、6、7。
*例15将37分为甲、乙、丙三个数，使甲、乙、丙三个数的乘积为1440，并且甲、乙两数的积比丙数的3倍多12，求甲、乙、丙各是几？
把1440分解质因数：
1440=12×
12×
2）×
5）
=8×
9×
20
如果甲、乙二数分别是8、9，丙数是20，则：
8×
9=72，
20×
3+12=72
正符合题中条件。
甲、乙、丙三个数分别是8、9、20。
*例16一个星期天的早晨，母亲对孩子们说：
“你们是否发现在你们中间，大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和？
”儿子们齐声回答说：
“是的，我们的年龄和您年龄的乘积，等于您儿子人数的立方乘以1000加上您儿子人数的平方乘以10。
”从这次谈话中，你能否确定母亲在多大时，才生下第二个儿子？
由题意可知，母亲有三个儿子。
母亲的年龄与三个儿子年龄的乘积等于：
33×
1000+32×
10=27090
把27090分解质因数：
27090=43×
2
根据“大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和”，重新组合上面的质因式得：
43×
14×
这个质因式中14就是9与5之和。
所以母亲43岁，大儿子14岁，二儿子9岁，小儿子5岁。
43-9=34（岁）
母亲在34岁时生下第二个儿子。
第三十二讲最大公约数法
通过计算出几个数的最大公约数来解题的方法，叫做最大公约数法。
例1甲班有42名学生，乙班有48名学生，现在要把这两个班的学生平均分成若干个小组，并且使每个小组都是同一个班的学生。
每个小组最多有多少名学生？
要使每个小组都是同一个班的学生，并且要使每个小组的人数尽可能多，就要求出42和48的最大公约数：
3=6
42和48的最大公约数是6。
每个小组最多能有6名学生。
例2有一张长150厘米、宽60厘米的长方形纸板，要把它分割成若干个面积最大，井已面积相等的正方形。
能分割成多少个正方形？
因为分割成的正方形的面积最大，并且面积相等，所以正方形的边长应是150和60的最大公约数。
求出150和60的最大公约数：
5=30
150和60的最大公约数是30，即正方形的边长是30厘米。
看上面的短除式中，150、60除以2之后，再除以3、5，最后的商是5和2。
这说明，当正方形的边长是30厘米时，长方形的长150厘米中含有5个30厘米，宽60厘米中含有2个30厘米。
所以，这个长方形能分割成正方形：
2=10（个）
能分割成10个正方形。
例3有一个长方体的方木，长是3.25米，宽是1.75米，厚是0.75米。
如果将这块方木截成体积相等的小正方体木块，并使每个小正方体木块尽可能大。
小木块的棱长是多少？
可以截成多少块这样的小木块？
3.25米=325厘米，1.75米=175厘米，0.75米=75厘米，此题实际是求325、175和75的最大公约数。
5=25
325、175和75的最大公约数是25，即小正方体木块的棱长是25厘米。
因为75、175、325除以5得商15、35、65，15、35、65再除以5，最后的商是3、7、13，而小正方体木块的棱长是25厘米，所以，在75厘米中包含3个25厘米，在175厘米中包含7个25厘米，在325厘米中包含13个25厘米。
可以截成棱长是25厘米的小木块：
13=273（块）
小正方体木块的棱长是25厘米，可以截成这样大的正方体273块。
例4有三根绳子，第一根长45米，第二根长60米，第三根长75米。
现在要把三根长绳截成长度相等的小段。
每段最长是多少米？
一共可以截成多少段？
此题实际是求三条绳子长度的最大公约数。
5=15
45、60和75的最大公约数是15，即每一小段绳子最长15米。
因为短除式中最后的商是3、4、5，所以在把绳子截成15米这么长时，45米长的绳子可以截成3段，60米长的绳子可以截成4段，75米长的绳子可以截成5段。
所以有：
3+4+5=12（段）
每段最长15米，一共可以截成12段。
例5某校有男生234人，女生146人，把男、女生分别分成人数相等的若干组后，男、女生各剩3人。
要使组数最少，每组应是多少人？
能分成多少组？
因为男、女生各剩3人，所以进入各组的男、女生的人数分别是：
234-3=231（人）…………………男
146-3=143（人）…………………女
要使组数最少，每一组的人数应当是最多的，即每一组的人数应当是231人和143人的最大公约数。
231、143的最大公约数是11，即每一组是11人。
因为231、143除以11时，商是21和13，所以男生可以分为21组，女生可以分为13组。
21+13=34（组）
每一组应是11人，能分成34组。
例6把330个红玻璃球和360个绿玻璃球分别装在小盒子里，要使每一个盒里玻璃球的个数相同且装得最多。
一共要装多少个小盒？
求一共可以装多少个盒子，要知道红、绿各装多少盒。
要将红、绿分别装在盒子中，且每个盒子里球的个数相同，装的最多，则每盒球的个数必定是330和360的最大公约数。
330和360的最大公约数是30，即每盒装30个球。
330÷
30=11（盒）……………红球装11盒
360÷
30=12（盒）……………绿球装12盒
11+12=23（盒）……………共装23盒
例7一个数除40不足2，除68也不足2。
这个数最大是多少？
“一个数除40不足2，除68也不足2”的意思是：
40被这个数除，不能整除，要是在40之上加上2，才能被这个数整除；
68被这个数除，也不能整除，要是在68之上加上2，才能被这个数整除。
看来，能被这个数整除的数是：
40+2=42，68+2=70。
这个数是42和70的公约数，而且是最大的公约数。
7=14
这个数最大是14。
例8李明昨天卖了三筐白菜，每筐白菜的重量都是整千克。
第一筐卖了1.04元，第二筐卖了1.95元，第三筐卖了2.34元。
每1千克白菜的价钱都是按当地市场规定的价格卖的。
问三筐白菜各是多少千克，李明一共卖了多少千克白菜？
三筐白菜的钱数分别是104分、195分、234分，每千克白菜的价钱一定是这三个数的公约数。
把104、195、234分别分解质因数：
104=23×
195=3×
234=2×
104、195、234最大的公有的质因数是13，所以104、195、234的最大公约数是13，即每千克白菜的价钱是0.13元。
1.04÷
0.13=8（千克）………第一筐
1.95÷
0.13=15（千克）………第二筐
2.34÷
0.13=18（千克）………第三筐
8+15+18=41（千克）
第一、二、三筐白菜的重量分别是8千克、15千克、18千克，李明一共卖了41千克白菜。
例9一个两位数除472，余数是17。
这个两位数是多少？
因为这个“两位数除472，余数是17”，所以，472-17=455，455一定能被这个两位数整除。
455的约数有1、5、7、13、35、65、91和455，这些约数中35、65和91大于17，并且是两位数，所以这个两位数可以是35或65，也可以是91。
例10把图32-1的铁板用点焊的方式焊在一个大的铁制部件上，要使每个角必须有一个焊点，并且各边焊点间的距离相等。
最少要焊多少个点？
（单位：
厘米）（适于六年级程度）
要求焊点最少，焊点间距就要最大；
要求每个角有一个焊点，焊点间距离相等，焊点间距离就应是42厘米、24厘米、18厘米、36厘米的最大公约数。
它们的最大公约数是6，即焊点间距离为6厘米。
焊点数为：
7+4+3+6=20（个）
按这个算法每个角上的焊点是两个，因为要求每一个角上要有一个焊点，所以，要从20个焊点中减4个焊点。
20-4=16（个）
第三十三讲最小公倍数法
通过计算出几个数的最小公倍数，从而解答出问题的解题方法叫做最小公倍数法。
例1用长36厘米，宽24厘米的长方形瓷砖铺一个正方形地面，最少需要多少块瓷砖？
因为求这个正方形地面所需要的长方形瓷砖最少，所以正方形的边长应是36、24的最小公倍数。
2=72
36、24的最小公倍数是72，即正方形的边长是72厘米。
72÷
36=2
24=3
3=6（块）
最少需要6块瓷砖。
*例2王光用长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块拼最小的正方体模型。
这个正方体模型的体积是多大？
用多少块上面那样的长方体木块？
此题应先求正方体模型的棱长，这个棱长就是6、4和3的最小公倍数。
2=12
6、4和3的最小公倍数是12，即正方体模型的棱长是12厘米。
正方体模型的体积为：
12=1728（立方厘米）
长方体木块的块数是：
1728÷
（6×
4×
=1728÷
72
=24（块）
例3有一个不足50人的班级，每12人分为一组余1人，每16人分为一组也余1人。
这个班级有多少人？
这个班的学生每12人分为一组余1人，每16人分为一组也余1人，这说明这个班的人数比12与16的公倍数（50以内）多1人。
所以先求12与16的最小公倍数。
4=48
12与16的最小公倍数是48。
48+1=49（人）
49<
50，正好符合题中全班不足50人的要求。
这个班有49人。
例4某公共汽车站有三条线路通往不同的地方。
第一条线路每隔8分钟发一次车；
第二条线路每隔10分钟发一次车；
第三条线路每隔12分钟发一次车。
三条线路的汽车在同一时间发车以后，至少再经过多少分钟又在同一时间发车？
求三条线路的汽车在同一时间发车以后，至少再经过多少分钟又在同一时间发车，就是要求出三条线路汽车发车时间间隔的最小公倍数，即8、10、12的最小公倍数。
3=120
至少经过120分钟又在同一时间发车。
例5有一筐鸡蛋，4个4个地数余2个，5个5个地数余3个，6个6个地数余4个。
这筐鸡蛋最少有多少个？
从题中的已知条件可以看出.不论是4个4个地数，还是5个5个地数、6个6个地数，筐中的鸡蛋数都是只差2个就正好是能被4、5、6整除的数。
因为要求这筐鸡蛋最少是多少个，所以求出4、5、6的最小公倍数后再减去2，就得到鸡蛋的个数。
3=60
4、5、6的最小公倍数是60。
60-2=58（个）
这筐鸡蛋最少有58个。
*例6文化路小学举行了一次智力竞赛。
参加竞赛的人中，平均每15人有3个人得一等奖，每8人有2个人得二等奖，每12人有4个人得三等奖。
参加这次竞赛的共有94人得奖。
求有多少人参加了这次竞赛？
得一、二、三等奖的各有多少人？
15、8和12的最小公倍数是120，参加这次竞赛的人数是120人。
得一等奖的人数是：
（120÷
15）=24（人）
得二等奖的人数是：
8）=30（人）
得三等奖的人数是：
12）=40（人）
*例7有一个电子钟，每到整点响一次铃，每走9分钟亮一次灯。
中午12点整时，电子钟既响铃又亮灯。
求下一次既响铃又亮灯是几点钟？
每到整点响一次铃，就是每到60分钟响一次铃。
求间隔多长时间后，电子钟既响铃又亮灯，就是求60与9的最小公倍数。
60与9的最小公倍数是180。
180÷
60=3（小时）
由于是中午12点时既响铃又亮灯，所以下一次既响铃又亮灯是下午3点钟。
*例8一个植树小组原计划在96米长的一段土地上每隔4米栽一棵树，并且已经挖好坑。
后来改为每隔6米栽一棵树。
求重新挖树坑时可以少挖几个？
这一段地全长96米，从一端每隔4米挖一个坑，一共要挖树坑：
96÷
4+1=25（个）
后来，改为每隔6米栽一棵树，原来挖的坑有的正好赶在6米一棵的坑位上，可不重新挖。
由于4和6的最小公倍数是12，所以从第一个坑开始，每隔12米的那个坑不必挖。
12+1=9（个）
96米中有8个12米，有8个坑是已挖好的，再加上已挖好的第一个坑，一共有9个坑不必重新挖。
例9一项工程，甲队单独做需要18天，乙队单独做需要24天。
两队合作8天后，余下的工程由甲队单独做，甲队还要做几天？
由18、24的最小公倍数是72，可把全工程分为72等份。
18=4（份）…………是甲一天做的份数
24=3（份）…………是乙一天做的份数
（4+3）×
8=56份）………两队8天合作的份数
72-56=16（份）…………余下工程的份数
16÷
4=4（天）……………甲还要做的天数
*例10甲、乙两个码头之间的水路长234千米，某船从甲码头到乙码头需要9小时，从乙码头返回甲码头需要13小时。
求此船在静水中的速度？
（适于高年级程度）
9、13的最小公倍数是117，可以把两码头之间的水路234千米分成117等份。
每一份是：
234÷
117=2（千米）
静水中船的速度占总份数的：
（13+9）÷
2=11（份）
船在静水中每小时行：
11=22（千米）
*例11王勇从山脚下登上山顶，再按原路返回。
他上山的速度为每小时3千米，下山的速度为每小时5千米。
他上、下山的平均速度是每小时多少千米？
设山脚到山顶的距离为3与5的最小公倍数。
5=15（千米）
上山用：
15÷
3=5（小时）
下山用：
5=3（小时）
总距离÷
总时间=平均速度
（15×
2）÷
（5+3）=3.75（千米）
他上、下山的平均速度是每小时3.75千米。
*例12某工厂生产一种零件，要经过三道工序。
第一道工序每个工人每小时做50个；
第二道工序每个工人每小时做30个；
第三道工序每个工人每小时做25个。
在要求均衡生产的条件下，这三道工序至少各应分配多少名工人？
50、30、25三个数的最小公倍数是150。
第一道工序至少应分配：
150÷
50=3（人）
第二道工序至少应分配：
30=5（人）
第三道工序至少应分配：
25=6（人）
第三十四讲解平均数问题的方法
已知几个不相等的数及它们的份数，求总平均值的问题，叫做平均数问题。
解答平均数问题时，要先求出总数量和总份数。
总数量是几个数的和，总份数是这几个数的份数的和。
解答这类问题的公式是；
总数量÷
总份数=平均数
例1气象小组在一天的2点、8点、14点、20点测得某地的温度分别是13摄氏度、16摄氏度、25摄氏度、18摄氏度。
算出这一天的平均温度。
（适于四年级程度）
本题可运用求平均数的解题规律“总数量÷
总份数=平均数”进行计算。
这里的总数量是指测得的四个温度的和，即13摄氏度、16摄氏度、25摄氏度、18摄氏度的和；
这里的总份数是指测量气温的次数，一天测量四次气温，所以总份数为4。
（13+16+25+18）÷
4
=72÷
=18（摄氏度）
这一天的平均气温为18摄氏度。
例2王师傅加工一批零件，前3天加工了148个，后4天加工了167个。
王师傅平均每天加工
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