常考二次函数证明题.doc

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二次函数证明题（难度一般）

1．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）直接写出点C和点D的坐标；

（3）若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP=4S△COE，求P点坐标．

2．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y=a（x﹣4）2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．

（1）当a=﹣时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．

（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．

3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点.

（1）求这个二次函数以及直线BC的解析式；

（2）直接写出点A的坐标；

（3）当x为何值时，一次函数的值大于二次函数的值.

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与直线AB交于A、B两点，其中A（1，3），B（6，n）.

（1）求抛物线的表达式和点B的坐标；

（2）设抛物线与y轴交于点C，在抛物线上是否存在一点M，满足，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

5．如图，已知二次函数y1＝－x2＋bx＋c的图象过A（2，0），B（0，－6）两点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连结BA，BC，求△ABC的面积；

（3）求点B和点C所在直线的解析式y2，并根据图像求出当x为何值时，y1≥y2．

6．（本题满分10分）如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E．

（1）求直线BC的解析式；

（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．

7．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A、点B，交y轴于点C．

（1）求直线BC的函数表达式；

（2）如图，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；

（3）在

（2）的条件下，在轴上是否存在一点M使△CPM的周长最小，若存直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由.

8．抛物线y=x2+bx+c经过点A、B，已知A（-1，0），B（3，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为C，直线AC交y轴于点D，求ΔBCD的面积。

9．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；

（3）求∆PAC为直角三角形时点P的坐标．

10．如图，以直线x＝1为对称轴的抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数）经过A（4，0）和B（0，4）两点，其顶点为C.

（1）求该抛物线的表达式及其顶点C的坐标；

（2）若点M是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内．

①设△ABM的面积为S，试求S的最大值；

②若S为整数，则这样的M点有个．

11．如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点.点P是x轴上的一个动点.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标.

12．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．

（1）求二次函数解析式；

（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形.是否存在点P，使四边形为菱形？

若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？

求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

13．如图，抛物线经过A（－1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点。

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）在抛物线上存在一点P，使△ABP的面积为8，请求出点P的坐标．

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得QC+QA最短？

若Q点存在，求出Q点的坐标；Q点不存在，请说明理由．

14．如图，已知抛物线经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0,3）三点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M是线段BC上的点（不与B、C重合），过M作MN//y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长；

（3）在

（2）的条件下，是否存在m，使MN的长度最大？

若存在，求m的值，幷求出此时点M和N的坐标；若不存在，说明理由.

15．抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，－3），点D与点C关于抛物线的对称轴对称．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAC的周长最小时，求出点P的坐标；

（3）若点Q在x轴正半轴上，且∠ADQ＝∠DAC，求出点Q的坐标．

16．如图，二次函数的图象经过A（2，0），B（0，－6）两点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．

（3）在x轴上是否存在一点P，使△ABP为等腰三角形，若存在，求出P的坐标，若不存在，说明理由.

试卷第3页，总4页

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参考答案

1．

（1）y=﹣x2+2x+3；

（2）C（0，3），D（1，4）；（3）P（2，3）

2．

（1）①，②能；

（2）－

3．

（1）,;

（2）（-1,0）;（3）0＜x＜3时

4．

（1）B（6，8）.；

（2）存在，（，18）或（，18）.

5．

（1）y1=-x2+4x-6；

（2）△ABC的面积=6；（3）0≤x≤5.

6．

（1）；

（2）D（2，－1）．

7．

（1）y=+

（2）（，）（3）

8．

（1）

（2）4

9．解：

（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上

∴m=6,即B（4，6）

∵A和B（4，6）在抛物线上

∴

解得

∴抛物线的解析式；

（2）存在.

设动点P的坐标为（n，n+2），点C的坐标为（n，2n2-8n+6），

∴PC=（n+2）-（2n2-8n+6），

=-2n2+9n-4，

=-2（n-）²+

∵-2＜0，

∴当n=时，线段PC最大且为．

10．

（1）抛物线表达式为y＝－x2＋x＋4,顶点坐标为（1，）;

（2）①S△ABM的最大值为4;②3.

11．

（1）y=-x2+2x+3.

（2）（,0）

12．

（1）

（2）（3），.

13．

（1）;

（2）;（3）存在，（3）Q（1，2）

14．

（1）y=﹣x2+2x+3．

（2）﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）m=1.5；M（1.5，1.5）N（1.5，）

15．

（1）抛物线的解析式为，点D的坐标为（2，－3）；

（2）点P的坐标为（1，－2）；

（3）Q点坐标为（1，0）.

16．

（1）y＝－x2＋4x－6；

（2）S△ABC＝6；

（3）点P坐标为（-2，0）或或或

答案第1页，总2页