数学选修47全套教案Word下载.docx

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射程（目标）可以表示为发射角（因素）的函数.像这样表示目标与因素之间对应关系的函数，称为目标函数.

若函数f（x）在区间[a,b]上是单峰函数,C是最佳点，如果在区间[a,b]上任取x1，x2，如果在试验中效果较好的点是x1，则必有C和x1在x2的同侧，若以x2为分界点,含x1点的区间范围是函数的一个存优范围.

练习.判断下列函数在区间[－1,5]上哪些是单峰函数：

（1）y＝3x2－5x＋2;

（2）y＝－x2－3x＋1;

（3）y＝cosx;

（4）y＝ex;

（5）y＝x3.

课后作业

1.阅读教材P.；

2.《学案》教学后记

三、黄金分割法——法

黄金分割法——法是非常著名的优选法，在生产实践中有广泛应用，通过学习这一内容，不仅可以使学生学会一种用数学知识解决实际问题的方法（数学建模），了解黄金分割常数，而且还可以使学生感受数学在解决实际问题中的作用.

通过本课学习，增加学生的数学文化内涵，让学生感受到数学的美.

一、黄金分割常数

对于一般的单峰函数，如何安排试点才能迅速找到最佳点

假设因素区间为[0,1]，取两个试点

、

，那么对峰值在

中的单峰函数，两次试验便去掉了长度为

的区间（图1）；

但对于峰值在

的函数，只能去掉长度

为

的区间（图2），试验效率就不理想了.

怎样选取各个试点，可以最快地达到或接近最佳点

在安排试点时，最好使两个试点关于[a,b]的中心

对称.

为了使每次去掉的区间有一定的规律性，我们这样来考虑：

每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相同.

黄金分割常数：

，用表示.

试验方法中，利用黄金分割常数确定试点的方法叫做黄金分割法.由于

是无理数，具体应用时，我们往往取其近似值.相应地，也把黄金分割法叫做法.

二、黄金分割法——法

例.炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料，使炼出的钢满足一定的指标要求.假设为了炼出某种特定用途的钢，每吨需要加入某元素的量在1000g到2000g之间，问如何通过试验的方法找到它的最优加入量

我们用存优范围与原始范围的比值来衡量一种试验方法的效率，这个比值

叫做精度，即n次试验后的精度为

用法确定试点时，从第2次试验开始，每一次试验都把存优范围缩小为原来的.因此，n次试验后的精度为

一般地，给定精度，为了达到这个精度，所要做的试验次数n满足

即

所以

黄金分割法适用目标函数为单峰的情形，第1个试验点确定在因素范围的处，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定.

2.《学案》第一讲第三课时.

教学后记

四、分数法

本节结合具体问题介绍分数法，让学生认识到分数法最优性的含义，并能初步了解它的推导原理，注意斐波那契数列的表示.

通过本节内容的学习，丰富了数学内容，传播了数学文化.

一、复习

二、新课

案例1在配置某种清洗液时，需要加入某种材料.经验表明，加入量大于130ml肯定不好.用150ml的锥形量杯计量加入量，该量杯的量程分为15格，每格代表10ml.用试验法找出这种材料的最优加入量.

斐波那契数列和黄金分割

每个月兔子数构成的数列：

这个数列是意大利数学家斐波那契首先给出的，为了纪念他，此数列被称为斐波那契数列.斐波那契数列有着广泛的应用，其中之一是由它可以构造出黄金分割常数的近似分数列.

数列{Fn}为

案例1中，加入量大于130ml时肯定不好，因此试验范围就定为0~130ml.我们看到，10ml，20ml;

，30ml，…，120ml把试验范围分为13格，对照的渐进分数列，如果用

来代替，那么我们有

用“加两头，减中间”的方法，

在存优范围50~130ml内：

继续用“加两头，减中间”的方法确定试点，几次试验后，就能找到满意的结果.

优选法中，像这样用渐进分数近似代替确定试点的方法叫分数法.

如果因素范围由一些不连续的、间隔不等的点组成，试点只能取某些特定数，这是只能采用分数法.

案例2在调试某设备的线路中，要选一个电阻，但调试者手里只有阻值为，1K，，2K，3K，5K，等七种阻值不等的定值电阻.他应当如何优选这个阻值

如果用法，则计算出来的电阻调试者手里可能没有.这时，可以先把这些电阻由小到大的顺序排列：

阻值（K）

1

2

3

5

排列

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

为了便于分数法，可在两端增加虚点（0），（8），使因素范围凑成为8格，用

代替.

一般地，用分数法安排试点时，可以分两种情况考虑.

（1）可能的试点总数正好是某一个（Fn－1）.这时，前两个试点放在因素范围的

位置上，即先在第Fn－1和Fn－2上做实验.

（2）所有可能的试点总数大于某一（Fn－1），而小于（Fn+1－1）.这时可以用如下方法解决.

先分析能否减少试点数，把所有可能的试点减少为（Fn－1）个，从而转化为前一种情形.如果不能减少，则采取在试点范围之外，虚设几个试点，凑成Fn+1－1个试点，从而转化成

（1）的情形.对于这些虚设点，并不增加实际试验次数.

分数法的最优性

在目标函数为单峰的情形，通过n次试验，最多能从（Fn+1－1）个试点中保证找出最佳点，并且这个最佳点就是n次试验中的最优试验点.

在目标函数为单峰的情形，只有按照分数法安排试验，才能通过n次试验保证从（Fn+1－1）个试点中找出最佳点.

综上所述，对于试点个数为某常数时，用分数法找出其中最佳点的试验次数最少，这就是分数的最优性.分数法在有有限个试点优选问题中被广泛使用.

1.阅读教材P.

五、其他几种常用的优选法

通过本节内容的学习，结合具体实例了解其他几种常用的优选法，对分法，盲人爬山法，分批试验法.

情感、态度、价值：

通过本部分的学习，可以培养学生的应用能力，同时通过例题的分析与比较，提升思维的比较迁移能力.

教学过程;

复习

1.法

适用目标函数为单峰的情形，第1个试验点确定在因素范围的处，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定.

用法确定试点时，从第2次试验开始，每一次试验都把存优范围缩小为原来的.因此，n次试验后的精度为

2.斐波那契数列

1，1，2，3，5，8，13，21，34,…

3.黄金分割常数的近似分数列

3.分数法

适用目标函数为单峰的情形，第1个试验点确定在因素范围的黄金分割近似分数处，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定.

4.法和分数法的区别

法:

适合[a,b]区间上的实数试点问题

分数法:

适合[a,b]区间上的有限试点问题

5.分数法的最优性

2次试验可以最多处理2个试点问题

3次试验可以最多处理4个试点问题

4次试验可以最多处理7个试点问题

5次试验可以最多处理12个试点问题

6次试验可以最多处理20个试点问题

…

n次试验可以最多处理（Fn+1－1）个试点问题

新课

一、对分法

案例1有一条10km长的输电线路出现了故障，在线路的一端A处有电，在另一端B处没有电，要迅速查出故障所在位置.

法和分数法都是先做两个试验，然后再通过比较，确定存优范围，不断地将试验范围缩小，最后找到最佳点.现在找输电线路故障所在位置，我们只需在AB之间的任意点C做检查，就能根据点C是否有电，判断出故障在哪一段，从而缩小故障范围，而不需要做两个试验进行比较.那么，如何选取每次的检查点才能迅速找出故障位置呢

第一个检查点C安排在线路中间，如果有电，说明故障不在AC而在CB段，接着在CB中点D检查，如果没有电，说明故障在CD部分，再在CD中点E检查，如此类推，很快就能找出故障的位置.

这个方法的要点是每个试点都取在因素范围的中点，将因素范围对分为两半，所以这种方法就称为对分法.用这种方法做试验的效果较法好，每次可以去掉一半.

那么是不是所有的问题都可以用对分法呢

不是的.如果每做一次试验，根据结果，可以决定下次试验的方向，就可以用对分法.

例如案例1中，根据有没有电就可以判断是哪段线路有故障，下次就在有故障的一段

检查.决定下次试验方向，只要满足以下两个条件就可以：

一是要有一个标准，对分法每

次只有一个试验结果，如果没有一个标准，就无法鉴别试验结果的好坏，案例1中的标准

是有没有电；

二是要预知该因素对指标的影响规律，也就是说，能够从一个试验的结果

直接分析出该因素的值是取大了还是取小了，案例1中，根据检查点是否有电，知道下一个应该离A点更近些还是更远些.如果没有这一条件就不能确定下一次应该在哪个因素范围

进行试验.

案例2在商品价格竞猜游戏中,每一次试猜时，如何给出商品估价就可以最迅速地猜出真实价格

因为每次给出估价都会得到“高了”或“低了”的提示语，于是，我们可以根据提示语确定下一次该往高还是往低估.这说明可以用对分法给出商品估价，每次给出的估价都是存优区间的中点.每给一次估价，可以使价格范围缩小

，迅速猜中商品价格.

可以发现对分法和法及分数法，在确定下一个试点时，比较的对象是不同的.后两种方法是两个试点上的试验结果的比较，而对分法是一个试点上的试验结果与已知标准（或要求）的比较.所以在满足目标函数为单峰的假设下，使用对分法还需要满足具有已知标准这个条件.从效果上看，对分法比法及分数法好，每一次试验可以去掉一半的因素范围.相对于法及分数法，对分法更简单，易操作.

思考

分别用法和对分法安排试验，找出蒸馒头时合适的放碱量，哪种方法会更有效呢为什么

二、盲人爬山法

在实际的生产实践和科学试验中，某些因素不允许大幅度调整.例如，设备正在运行

中，如果坏一次损失会很大；

某些成分含量的多少对结果影响很大，甚至由于该成分的

过量破坏了试验装置的清洁度，而影响下一次试验结果的正确性.这些试验用法、分

数法或对分法就不很合适.这种限制要求我们在原有生产条件的基础上逐步探索，逐步提

高，就像盲人爬山一样，在立足处，对前后两个方向进行试探，如果前面高了就向前走

一步，否则试探后面，如果前后都比某点低，就说明达到山顶了.

盲人爬山法的操作步骤是：

先找一个起点A（可以根据经验或估计），在A点做试验后

可以向该因素的减少方向找一点B'

做试验.如果好，就继续减少；

如果不好，就往增加方

向找一点C做试验.如果C点好就继续增加，这样一步一步地提高.如果增加到E点，再增加到F点时反而坏了，这时可以从E点减少增加的步长，如果还是没有E点好，则E就是该因素的最佳点.这就是单因素问题的盲人爬山法.

盲人爬山法的效果快慢与起点关系很大，起点选得好可以省好多次试验.所以对爬山来说，试验范围的正确与否很重要.另外，每步间隔的大小，对试验效果关系也很大.在实践中往往采取“两头小，中间大”的办法.也就是说，先在各个方向上用小步试探一下，找出有利于寻找目标的方向，当方向确定后，再根据具体情况跨大步，快接近最佳点时再改为小步.如果由于估计不正确，大步跨过最佳点，这时可退回一步，在这一步内改用小步进行.一般说来，越接近最佳点的时候，效果随因素的变化越缓慢.

这个方法还可以应用在某些可变因素要调到某点，必须经过由小到大或由大到小的连续过程的问题上.像改变气体和液体的流速、温度；

仪器调试中的可变电容、可变电阻；

等等，采用爬山法比较合适.试验中，可以边调整边检查，调到最佳点时就固定下来.一般在大生产中爬山法较常用.

三、分批试验法

（1）均分分批试验法

（2）比例分割分批试验法

从效果上看，比例分割法比均匀法好.但是比例分割法每批中的试验点挨得太近，如果试验效果差别不显著的话，就不好鉴别.因此，这种方法比较适用于小的因素变动就能引起结果的显著变化的情形.

究竟一批安排几个试验合适呢这要根据具体的情况而定.如果做一次试验很方便，消耗很少，时间很短；

或检验很麻烦，时间又长；

或代价很大，而且每次检验可以有好多样品同时进行，在这种情况下每批试验可多做几个，即将试验范围分得细一些；

否则就少做几个.

四、多峰的情形

一般可以采用以下两种方法.

（1）先不管它是“单峰”还是“多峰”，用前面介绍的处理单峰的方法去做，找到一个“峰”后，如果达到预先要求，就先应用于生产，以后再找其他更高的“峰”（即分区寻找）.

（2）先做一批分布得比较均匀的试验，看它是否有“多峰”现象.如果有，则分区寻找，在每个可能出现“高峰”的范围内做试验，把这些“峰”找出来.第一批分布均匀的试点最好以下述比例分：

：

＝：

..（图1）这样有峰值的范围总是成（,）或（,）形式（图2）.

六、多因素方法

通过本节内容的学习，结合具体实例了解多因素方法.对于多因素问题，应抓住主要因素，略去次要因素，当剩下的因素不能再略去时，就只能用多因素方法了，处理双因素问题的方法有纵横对这法，从好点出发法，平行线法，平行线加速法、双因素盲人爬山法.

一、纵横对折法

用x，y表示两个因素的取值，z=f（x,y）表示目标函数（并不需要z=f（x,y）的真正表达式）.双因素的优选问题，就是迅速地找到二元目标函数z=f（x,y）的最大值（或最小值）及其对应的（x,y）点的问题.假设函数z=f（x,y）在某一区域内单峰，其几何意义是把曲面z=f（x,y）看作一座山，顶峰只有一个.双因素的优选问题就是找出曲面z=f（x,y）的最高峰.

把试验范围中z=f（x,y）取同一值的曲线叫作等高线，就如山上同一高度的点的连线在水平面上的投影.

等高线一圈套一圈，越高越在里边.所以双因素问题就是通过试验、比较的方法来寻找比较靠里边的等高线，直到找到最里边的一圈等高线（即最佳点）为止.

以横坐标表示因素I，纵坐标表示因素II.假设因素I的试验范围为[a1,b1]，因素II的试验范围为[a2,b2].

先将因素I固定在试验范围的中点c1，即

处，对因素II进行单因素优选，得到最佳点A1.同样将因素II固定在中点c2，即

处，对因素I进行单因素优选，得到最佳点B1.比较A1和B1的试验结果，如果B1比A1好，则沿坏点A1所在的线，丢弃不包括好点B1所在的半个平面区域，即丢弃平面区域：

a1≤I≤c1,a2≤II≤b2.

然后再在因素I的新范围即（c1，b1]的中点d1，用单因素方法优选因素II，如果最佳点为A2，而且A2比B1好，则沿坏点B1所在的线，丢弃不包括好点A2所在的半个平面区域，即丢弃平面区域：

c1≤Ib1，a2≤II≤c2.

如此继续下去，不断地将试验范围缩小，直到找到满意的结果为止.这个方法称为纵横对折法.

思考

是否每次都要固定在该因素试验的中点还有没有改进的余地

不一定．实践证明，用以下的方法更好.

二、从好点出发法

先固定因素I于原生产点（或点）c1，用单因素方法优选因素II，得到最佳点为A1（c1,c2）,然后把因素II固定在c2，用单因素法优选因素I,得到最佳点B1（d1，c2），则去掉A1右边的平面区域，试验范围缩小到a1≤I＜c11，a2≤II≤b2.再将因素I固定在d1，优选因素II，得到最佳点A2（d1，d2），则去掉B1以上部分，试验范围缩小到：

a1≤I＜c1，a2≤II＜c2再将因素II固定在d2，用单因素方法在[a1,c1）范围内优选因素I，这样继续下去，就能找到所需要的最佳点.

这个方法的要点是：

对某一因素进行优选试验时，另一因素固定在上次试验结果的好点上（除第一次外），所以称为从好点出发法.

案例1阿托品是一种抗胆碱药.为了提高产量、降低成本，利用优选法选择合适的脂化工艺条件.根据分析，主要因素为温度与时间，定出其试验范围为

温度：

55℃~75℃，时间：

30min~210min.

用从好点出发法对工艺条件进行优选:

（1）参照生产条件，先固定温度为55℃,用单因素法优选时间，得最优时间为150min，其产率为%.

（2）固定时间为150min，用单因素法优选温度，得最优温度为67℃，其产率为%.

（3）固定温度为67℃，用单因素法再优选时间，得最优时间为80min，其产率为%.

（4）再固定时间为80min，又对温度进行优选，结果还是67℃好.试验到此结束，可以认为最好的工艺条件为温度：

67℃，时间：

80min（图）.实际中采用这个工艺进行生产，平均产率提高了15%.

三、平行线法

设影响某试验结果的因素有I、II两个，而因素II难以调整.首先把难以调整的因素II

固定在处，用单因素方法对另一个因素I的进行优选，例如最佳点在A1处．然后再把因素II固定在的对称点处，再用单因素方法对因素I进行优选，例如最佳点在A2处.比较A2和A1两点上的试验结果，如果A1比A2好，则去掉A2以下的部分（图中阴影部分），即好点不会在因素II的0~之间（如果A2比A1好，则去掉A1以上的部分，即好点不会在因素II的~1之间）.

然后按法找出因素II的第三点.

第三次试验时，将因素II固定在，用单因素优选方法对因素I

进行优选，例如最佳点在A3处.比较A3和A1，如果仍然是A1好，则

去掉以上部分（图）.如此继续下去，直到找到满意的结果为止.

这个方法的特点是，每次试验都是在相互平行的直线上做，因此

叫做平行线法.

因素II上的取点方法是否一定要按法不一定，也可以用其他方法，

例如可以固定在原有生产水平上，这样可以少做试验.

在用平行线法处理两因素问题时，不能保证下一条平行线上的最佳点一定优于以前各条平行线上的最佳点，因此,有时为了较快地得到满意的结果，常常采用平行线加速法.

所谓“平行线加速”是在求得两条平行直线l1与l2上的最佳点A1与A2后，比较A1与A2两点上的试验结果，若A1优于A2，则去掉下面一块.然后在剩下的范围内过A2，A1作直线L1，在L1上用单因素法找到最佳点，设为A3.

显然A3优于A1.如果对A3的试验结果还不满意，则再过A3作l1的平行线l3，在如l3上用单因素法求得最佳点A4.显然A4优于A3（若A4与A3重合，则可以认为A4即为最佳点），因此可去掉图的下边一块.

若A4的试验结果还不满意，则在剩下的试验范围内过A1，A4作直线L2，在L2上用单因素法进行优选.依次进行，直到结果满意为止.

对于A2优于A1的情况也可以类似地讨论.

案例2“除草醚”配方试验中，所用原料为硝基氯化苯，一二氯苯酚和碱,试验目的是寻找一二氯苯酚和碱的最佳配比，使其质量稳定、产量高.

碱的变化范围：

~（克分子比）；

酚的变化范围：

~（克分子比）.

首先固定酚的用量（即处），对碱的用量进行优选，得最优用量为，即图上的点A1.

再固定酚的用量（即处），对碱的用量进行优选，得碱的最优用量为，即图上的点A2.过A1，A2作直线L（直线L上的点是酚:

碱=1:

1），在直线L上用单因素法进行优选（因为A2优于A1,所以酚的用量低于时就不必做了），最佳点为A3，即酚与碱的用量均为.

四、双因素盲人爬山法

是否一定要找出第一个因素的最佳点，然后再找另一个因素的最佳点呢

不一定，在双因素寻找最佳点的过程，就像盲人爬山可以朝前后左右四个方向前

进一样.盲人在山上某点，想要爬到山顶，怎么办从立足处用明杖向前一试，觉得

高些，就往前一步；

如果前面不高，向左一试，高就向左一步；

不高再试后面，高

就退后一步；

不高再试右面，高就向右走一步；

四面都不高，就原地不动.

总之，某个方向高了就朝这个方向走一步，否则试其他方向，这样一步一步地走，

就一定能走上山顶.在寻找最佳点时也可以以起点为中心，向四周探索一下，找出有利于

寻找目标的方向，在这个方向上跨一步，然后再探索.这样边探索边前进，直到找到最佳

点为止.这就是双因素问题的盲人爬山法.

案例3对某种物品镀银时，要选择氯化银和氰化钠的用量，使得镀银速度快，质量好.

为此采用爬山法选择最佳点.起点：

氰化钠85g/ml，氯化银55g/ml，步长：

氰化钠10g/ml，

氯化银5g/m1.试验过程如图所示.

从起点1开始，向右试探，结果2比1好，继续向右试探，结果3比2好，再向右试探，结果4不如3好，回到3再向上试探，5比3好，继续向上试探，6比5好，再继续试探,直到其他三个方向不如6号，并且6的结果满足生产条件，即可以停止试验.

1.阅读教材P.；

第二讲试验设计初步

一、正交试验设计法

为了方便起见，在试验中变化的因素用A，B，C，…表示，因素在试验中所取的不同状态称为水平，因素A的r个不同的水平用A1，A2，…，Ar表示.

案例1某化工产品的产量受到温度A、反应时间B和催化剂浓度C三个因素的影响.在具体生产过程中，根据经验，温度、反应时间及催化剂浓度分别可以取两个水平:

A1=80