画法几何及工程制图2Word文件下载.docx

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容易得出点在二面投影体系中的投影规律：

⒈点的两投影的连线⊥投影轴。

证明。

⒉投影点到投影轴的距离，反映该空间点到另一投影面的距离。

二、点在四个象角中的投影

平面本身是可以无限延长的，因此就有上V面、下V面、前H面和后H面，它们把空间分为四个部分──四个象限或象角。

分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ标记。

画投影图时仍然保持V面不动，前H面向下旋转与下V重合，后H面向上旋转与上V重合，只画OX轴，不必注投影面标记，也不用画边框。

⒈在四个象角内的点。

（1）A点在Ⅰ象角内。

其正面投影a’在OX轴上方，水平投影a在OX轴下方。

（2）B点在Ⅱ象角内。

H面之上，V面之后。

正投影b’在OX轴上方，水平投影b也在OX轴上方。

（3）C点在第Ⅲ象角内。

其正投影c’在OX下方，水平投影c在OX上方。

（4）D点在Ⅳ象角内。

其二投影d、d’都在OX轴上方。

⒉在投影面上、投影轴上的点。

3.综上所述，从投影图中点的投影与OX轴的相对位置，可判断空间点在投影面体系中所处位置，反之亦然。

（1）在投影图中，点的水平投影位于OX轴下方，则该点必位于V面之前；

反之则在V面之后。

（2）点的正面投影位于OX轴上方，则该点必位于H面之上；

反之则在H面之下。

（3）若点有一个投影位于OX轴上，则该点必在投影面上。

3.3三投影面体系及点的三投影

由两投影面体系，能否唯一确定形体的形状和大小呢？

不一定！

举例如下：

如图，根据这一V-H两面投影可同时做出立方体、三棱柱和四分之一圆柱等。

因此需设立三投影面体系。

一、三投影面体系：

设立一个同时垂直于H面和V面的第三投影面W面──侧立投影面（也称侧面或W面）。

H面与W面交于OY轴。

V与W交于OZ投影轴。

三投影轴交点为原点，以O标记。

与两投影面体系一样，在三投影面体系中，投影面展开时，保持V面不动，假想将OY轴剪开，H面绕OX轴向下旋转与V面重合，W面绕OZ轴向右旋转与V面重合。

而OY轴展开后分为两条，在H面上的标为OYH，在W面上的标为OYW。

二、点的三投影：

将A点向W面投影，其投影称为A点的侧面投影或侧投影、W投影，用a”标记。

点在三面投影体系中，投影规律不变。

（1）点的投影连线⊥投影轴。

（2）投影点到投影轴之距=空间点到另一个投影面之距。

注：

“长对正，高平齐，宽相等。

”

三、由点的两个投影作第三个投影

已知点A的两投影a、a’，作出其第三投影a”

已知点的正面投影和其侧面投影，求其水平投影

已知点的水平投影和侧面投影，求作正面投影

四、点的三面投影与直角坐标的关系

XA=aay＝a＇az＝axO＝Aa＇＇，是空间点A到W面的距离。

YA=aax＝a＇＇az＝ayO=Aa＇，是空间点A到V面的距离。

ZA=a＇ax＝a＇＇ay＝azO=Aa，是空间点A到H面的距离。

例3已知空间点D的坐标（20，15，10）,试作其投影图。

五、特殊位置点的投影

举例一一讲解。

3.4两点的相对位置

一、一般情况

空间两个点具有前后、左右、上下位置关系。

二、特殊情况

重影点：

当空间两点的连线⊥某个投影面时，它们在该面上的投影重合。

由于重影，有可见与不可见问题，不可见用（）将投影括起来。

注意:

重影点是相对于投影面而言的

例1：

已知点A的两投影ɑ和ɑ′，以及点B在点A的右方10mm、上方8mm、前方6mm，试确定点B的投影。

例2：

已知A、B、C、D的投影图，判断其相对位置

3.5投影变换（projectiontransformation）概述及点的投影变换

一、概述

投影变换就是通过改变空间几何元素对投影面的相对位置，从而简化求解问题的一种方法。

1、投影变换的方法

（1）旋转法——投影体系不动而转动空间几何要素。

（2）换面法——保持空间几何要素位置不动,设立新的投影面代替旧的投影面,使新投影面处于有利于解题的位置,求出新投影的方法。

本课程仅介绍换面法。

2、建立新投影面的原则

①新设立投影面必须⊥保留投影面，以组成新的正投影面体系，利用正投影规律作图。

②新投影面对几何元素必须处于有利于图解的位置。

如平行或垂直等。

3、投影面的展开

二、点的换面

在V1/H中，A（a1＇,a）符合点的投影规律，所以将V1展开与H面共面，a1＇a⊥O1X1

且a1＇→O1X1=A→H=a＇→OX=ZA即

〈1〉新投影和保留投影的连线垂直于新轴；

〈2〉新投影到新轴的距离等于被代替的旧投影到旧轴的距离。

举例讲解点的一次、二次、三次换面。

第四章直线的投影

主要内容

一般位置线、特殊位置线的投影、两直线的相对位置

直角三角形法、换面法

学时分配

4学时

重点与难点

重点：

直角三角形法、换面法、

难点：

垂直问题

教学方式

教学手段

多媒体教学与普通教学相结合。

学生容易出现的问题

直线对投影面的倾角的真正含义；

把长度的投影规律应用在角度的投影上

作业及思考题

P155～P158所有习题

其它说明

4.1直线的投影（projectionofline）

直线的投影一般情况下仍为直线。

两点决定一条直线，确定了直线上两点的投影也就确定了直线的投影。

即直线上两点的同面投影的连线就是直线的投影。

4.2一般位置线

一、投影特性

一般位置线——与三个投影面既不垂直也不平行的直线。

不具有积聚性和度量性，而且各个投影与投影轴的夹角不能反映直线对投影面的倾角α、β、γ。

对于一般位置线，我们主要解决其实长和倾角。

所采用的方法有两种：

直角三角形法、换面法。

二、直角三角形法

直角三角形中四个要素：

知二求二

例1、已知ab、a＇，且α=30°

求a＇b＇。

例2、已知E（e,e＇）,求作直线EF实长为30mm且F点在Z轴上

例3、已知AB两点，在H面上求作一点C，使得αAC=30°

，αBC=45°

。

4.3特殊位置线

一、投影面平行线（parellelline）

水平线（horizontalline）

α=0，β=实长投影与OX轴的夹角、γ=实长投影与OYH的夹角。

正平线（frontalline）

α=实长投影与OX轴的夹角，β=0、γ=实长投影与OZ的夹角。

侧平线（profileline）

α=实长投影与OYW轴的夹角，β=实长投影与OZ的夹角、γ=0。

二、投影面垂直线（perpendicularline）

正垂线（horizontal-profileline）

α=0º

，β=90º

，γ=0º

铅垂线（verticalline）

α=90º

，β=0º

侧垂线（frontalhorizontalline）

，γ=90º

§

4.4直线上的点

一、直线上的点（从属性、定比性）

求做直线上的点：

点在直线上，点的投影在直线的同名投影上。

判断：

对于一般位置线，点的投影在直线的同名投影上，则点在直线上。

对于特殊位置线，视给定的投影，还需应用定比性。

如：

给出正面与水平投影的侧平线、给出正面、侧面投影的水平线、给出水平、侧面投影的正平线等。

定比分点：

做法。

例1、已知侧平线AB的两投影和直线上S点的正面投影s＇，求其水平投影s.

例2、已知直线AB的水平投影ab和A点的正面投影a＇，且AB=20mm，试求直线AB的正面投影a＇b＇；

在直线AB上取一点C，使AC=15mm，求C点的两投影。

4.5两直线的相对位置

平行（parallel）、相交（intersection）、交叉（skew）

1.两直线平行

求做：

两直线平行，其同名投影均平行

对一般位置线，两直线同名投影都平行，则两直线平行。

特殊位置线还需应用定比法或作第三投影。

应用：

（1）过直线外一点求作直线平行于已知直线

（2）根据两直线投影判断它们在空间是否平行？

例4、给定两条侧平线的正面投影和水平投影，判断之

2.两直线相交

两直线相交，其同名投影必相交，且投影的交点正是空间同一点的投影（即符合点的投影规律）。

判断时，若其中一条线为特殊位置线，视情况还需应用定比法或作第三投影。

例5如图，AB为一般位置直线、CD为侧平线，试判别这两条直线是否相交？

3．两直线交叉

重影点的确定与判别。

4.相交、交叉的特殊情况——垂直

直角定理：

二直线垂直相交（或交叉），其中有一条直线为投影面平行线，则二直线在所平行的投影面上的投影仍垂直。

直角定理逆定理：

二直线之一为某投影面平行线，且二直线在该投影面上的投影垂直，则空间两直线垂直。

下列直线互相垂直：

下列直线互相不垂直：

例6已知矩形ABCD的边AB为水平线，试完成图中矩形的两面投影。

例7求作交叉二直线（其中之一为垂直线）的公垂线。

例8完成等腰直角三角形ABC的两面投影（直角边BC在水平线MN上）。

4.6直线的换面（详细讲解直线的一次、二次、三次换面。

）

1．把一般位置直线变换为投影面的平行线

可以求出直线的实长和倾角。

求直线的实长和倾角β

求直线的实长和а角

2．把投影面平行线变换为投影面垂直线

主要解决于直线有关的度量问题（两直线间的距离）和定位问题（求线面交点）。

图6—10将正平线变为投影面垂直线

3．直线的二次换面

把一般位置直线变换成投影面的垂直线，只经过一次换面是不能实现的，因为垂直于一般位置直线的平面是一般位置平面，它与原来的两个投影面均不垂直，不能构成正投影体系，所以必须经过两次换面。

第一次，将一般位置直线变换为新投影体系中的投影面平行线；

第二次，将投影面平行线变换成另一投影体系中的投影面垂直线。

图

4.7直线的迹点

直线与投影面的交点称为直线的迹点。

M____水平迹点

N——正面迹点

S——侧面迹点

特性：

1，迹点是直线上的点，迹点的投影必在直线的同面投影上。

2，迹点是投影面上的