浙江高考数学一轮复习 直线平面平行的判定及其性质文档格式.docx
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如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行
∵α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,
∴a∥b
[小题体验]
1.(教材习题改编)已知平面α∥平面β,直线a⊂α,有下列命题:
①a与β内的所有直线平行;
②a与β内无数条直线平行;
③a与β内的任意一条直线都不垂直.
其中真命题的序号是________.
答案:
②
2.(教材习题改编)在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为________.
解析:
连接BD,设BD∩AC=O,连接EO,在△BDD1中,点E,O分别是DD1,BD的中点,则EO∥BD1,又因为EO⊂平面ACE,BD1⊄平面AEC,所以BD1∥平面ACE.
平行
1.直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件.
2.面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件.
3.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,易误认为这两个平面平行,实质上也可以相交.
[小题纠偏]
1.如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的( )
A.一条直线不相交 B.两条直线不相交
C.无数条直线不相交D.任意一条直线都不相交
选D 因为a∥平面α,直线a与平面α无公共点,因此a和平面α内的任意一条直线都不相交,故选D.
2.设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,“m∥β”是“α∥β”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
选B 当m∥β时,过m的平面α与β可能平行也可能相交,因而m∥β⇒/α∥β;
当α∥β时,α内任一直线与β平行,因为m⊂α,所以m∥β.综上知,“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件.
考点一 直线与平面平行的判定与性质
[锁定考向]
平行关系是空间几何中的一种重要关系,包括线线平行、线面平行、面面平行,其中线面平行是高考热点,多出现在解答题中.
常见的命题角度有:
(1)证明直线与平面平行;
(2)线面平行性质定理的应用.
[题点全练]
角度一:
证明直线与平面平行
1.(2018·
杭二一模)如图,在三棱锥PABC中,PB⊥BC,AC⊥BC,点E,F,G分别为AB,BC,PC的中点.
(1)求证:
PB∥平面EFG;
(2)求证:
BC⊥EG.
证明:
(1)∵点F,G分别为BC,PC的中点,
∴GF∥PB,∵PB⊄平面EFG,GF⊂平面EFG,
∴PB∥平面EFG.
(2)∵点E,F,G分别为AB,BC,PC的中点,
∴EF∥AC,GF∥PB,
∵PB⊥BC,AC⊥BC,∴EF⊥BC,GF⊥BC,
∵EF∩GF=F,EF⊂平面EFG,GF⊂平面EFG,
∴BC⊥平面EFG,
∵EG⊂平面EFG,∴BC⊥EG.
角度二:
线面平行性质定理的应用
2.(2018·
瑞安期中)已知四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外的一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证:
AP∥GH.
如图所示,连接AC交BD于点O,则点O为AC中点.
连接MO,则有MO∥PA.
因为PA⊂平面APGH,MO⊄平面APGH,
所以MO∥平面APGH.
因为MO⊂平面BDM,平面BDM∩平面APGH=GH,所以GH∥MO,所以PA∥GH.
[通法在握]
证明直线与平面平行的3种方法
定义法
一般用反证法
判定定理法
关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行,证明时注意用符号语言叙述证明过程
性质判定法
即两平面平行时,其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面
[演练冲关]
(2018·
豫东名校联考)如图,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,E为线段AD上的任意一点(不包括A,D两点),平面CEC1与平面BB1D交于FG.
FG∥平面AA1B1B.
在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,BB1∥CC1,BB1⊂平面BB1D,CC1⊄平面BB1D,
所以CC1∥平面BB1D.
又CC1⊂平面CEC1,平面CEC1∩平面BB1D=FG,
所以CC1∥FG.
因为BB1∥CC1,所以BB1∥FG.
因为BB1⊂平面AA1B1B,FG⊄平面AA1B1B,
所以FG∥平面AA1B1B.
考点二 平面与平面平行的判定与性质
[典例引领]
嘉兴模拟)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,点D是BC上一点,且A1B∥平面AC1D,点D1是B1C1的中点,求证:
平面A1BD1∥平面AC1D.
如图,连接A1C交AC1于点E,连接ED,因为四边形A1ACC1是平行四边形,所以点E为A1C的中点,因为A1B∥平面AC1D,平面A1BC∩平面AC1D=ED,所以A1B∥ED,
因为点E是A1C的中点,所以点D是BC的中点,
又因为点D1是B1C1的中点,所以D1C1綊BD,
所以四边形BDC1D1为平行四边形,所以BD1∥C1D.
因为BD1⊄平面AC1D,C1D⊂平面AC1D,
所以BD1∥平面AC1D,
又因为A1B∩BD1=B,
所以平面A1BD1∥平面AC1D.
[由题悟法]
判定平面与平面平行的5种方法
(1)面面平行的定义,即证两个平面没有公共点(不常用);
(2)面面平行的判定定理(主要方法);
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用);
(4)利用平面平行的传递性,两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行(客观题可用);
(5)利用向量法,通过证明两个平面的法向量平行证得两平面平行.
[即时应用]
1.在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥DB,G,H分别是EC和FB的中点.求证:
GH∥平面ABC.
取FC的中点I,连接GI,HI,
则有GI∥EF,HI∥BC.
又EF∥DB,所以GI∥BD,
又GI∩HI=I,BD∩BC=B,
所以平面GHI∥平面ABC.
因为GH⊂平面GHI,
所以GH∥平面ABC.
2.如图,四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点,求证:
(1)BE∥平面DMF;
(2)平面BDE∥平面MNG.
(1)如图,连接AE,设DF与GN的交点为O,
则AE必过DF与GN的交点O,
连接MO,则MO为△ABE的中位线,
所以BE∥MO,又BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF,
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,
所以DE∥GN,又DE⊄平面MNG,GN⊂平面MNG,所以DE∥平面MNG.
又M为AB中点,所以MN为△ABD的中位线,
所以BD∥MN,又BD⊄平面MNG,MN⊂平面MNG,
所以BD∥平面MNG,
又DE⊂平面BDE,BD⊂平面BDE,DE∩BD=D,
所以平面BDE∥平面MNG.
(2019·
舟山诊断)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=1,AD=2,E,F分别为AD,A1A的中点,Q是BC上一个动点,且BQ=λQC(λ>0).
(1)当λ=1时,求证:
平面BEF∥平面A1DQ;
(2)是否存在λ,使得BD⊥FQ?
若存在,请求出λ的值;
若不存在,请说明理由.
解:
(1)证明:
当λ=1时,Q为BC的中点,
因为E是AD的中点,所以ED=BQ,ED∥BQ,
则四边形BEDQ是平行四边形,
所以BE∥DQ,又BE⊄平面A1DQ,DQ⊂平面A1DQ,
所以BE∥平面A1DQ.
因为F是A1A的中点,所以EF∥A1D,
因为EF⊄平面A1DQ,A1D⊂平面A1DQ,
所以EF∥平面A1DQ.
又BE∩EF=E,EF⊂平面BEF,BE⊂平面BEF,
所以平面BEF∥平面A1DQ.
(2)假设存在满足条件的λ,如图连接AQ,BD,FQ.因为A1A⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以A1A⊥BD.
因为BD⊥FQ,A1A∩FQ=F,
所以BD⊥平面A1AQ.
因为AQ⊂平面A1AQ,所以AQ⊥BD.
在矩形ABCD中,由AQ⊥BD,得△AQB∽△DBA,
所以=,则AB2=AD·
BQ.
又AB=1,AD=2,所以BQ=,
则QC=,则=,即λ=.
探索性问题的一般解题方法
先假设其存在,然后把这个假设作为已知条件,和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算.在推理论证和计算无误的前提下,如果得到了一个合理的结论,则说明存在;
如果得到了一个不合理的结论,则说明不存在.
如图,四边形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=4,E,F分别在BC,AD上,EF∥AB.现将四边形ABCD沿EF折起,使平面ABEF⊥平面EFDC.
若BE=1,在折叠后的线段AD上是否存在一点P,且=λ,使得CP∥平面ABEF?
若存在,求出λ的值,若不存在,说明理由.
AD上存在一点P,使得CP∥平面ABEF,此时λ=.
理由如下:
当λ=时,=,可知=,
如图,过点P作MP∥FD交AF于点M,连接EM,PC,
则有==,
又BE=1,可得FD=5,
故MP=3,
又EC=3,MP∥FD∥EC,
故有MP綊EC,
故四边形MPCE为平行四边形,所以CP∥ME,
又ME⊂平面ABEF,CP⊄平面ABEF,
故有CP∥平面ABEF.
一抓基础,多练小题做到眼疾手快
1.若两条直线都与一个平面平行,则这两条直线的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.异面D.以上都有可能
选D 由空间直线与平面的位置关系可知,平行于同一平面的两条直线可以平行、也可以相交、也可以异面.
2.(2018·
宁波模拟)在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和BC上的点,若AE∶EB=CF∶FB=1∶2,则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )
A.平行B.相交
C.在平面内D.不能确定
选A 如图,由=得AC∥EF.又因为EF⊂平面DEF,AC⊄平面DEF,所以AC∥平面DEF.
3.(2018·
绍兴期中考试)已知两个不重合的平面α,β,给定以下条件:
①α内任意不共线的三点到β的距离都相等;
②l,m是α内的两条直线,且l∥β,m∥β;
③l,m是两条异面直线,且l∥α,l∥β,m∥α,m∥β;
其中可以判定α∥β的是( )
A.①B.②
C.①③D.③
选C 本题宜采用逐个命题验证的方式进行判定.对于命题①,任意不共线三点可以确定一个平面,即为α,该三点到平面β的距离相等,即可得到α∥β,故①正确;
对于命题②,由面面平行的判定可知,若l,m平行,