第2讲 三角函数的诱导公式中等难度讲义 2Word格式.docx
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二、诱导公式
(1)角与的三角函数间的关系;
,;
(2)角与的三角函数间的关系;
(3)角与的三角函数间的关系;
(4)角与的三角函数间的关系.
,.
诱导公式的记忆方法:
“奇变偶不变,符号看象限”,具体指的是对于任意三角函数,以为例,若为的偶数倍,则函数名不改变,根据角所在象限判断变换后的三角函数的符号,若为的奇数倍,则函数名改变成余弦,符号同理仍然看象限.
典例精讲
一.选择题(共13小题)
1.(2017秋•南阳期末)设sin53°
=a,则cos2017°
=( )
A.aB.﹣aC.D.
【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子,可得结果.
【解答】解:
sin53°
=cos217°
=﹣cos37°
=﹣sin53°
=﹣a,
故选:
B.
2.(2017秋•张家界期末)若sin(π﹣α)=,则sinα的值为( )
A.B.C.D.
【分析】直接利用诱导公式化简求解即可.
sin(π﹣α)=,则sinα=sin(π﹣α)=,
A.
3.(2017秋•马鞍山期末)在△ABC中,下列等式一定成立的是( )
A.sin(A+B)=﹣sinCB.cos(A+B)=cosC
C.cos=sinD.sin=sin
【分析】由已知可得A+B+C=π,结合三角函数的诱导公式逐一核对四个选项得答案.
在△ABC中,有A+B+C=π,
∴sin(A+B)=sinC,故A错误;
cos(A+B)=﹣cosC,故B错误;
cos=cos()=sin,故C正确;
sin=sin()=cos,故D错误.
∴等式一定成立的是C.
C.
4.(2017秋•漳州期末)已知,,且∥,则的值是( )
A.1B.C.D.
【分析】利用两个向量平行的性质求得tanα的值,再利用同角三角函数的基本关系,化简所给的式子,可得结果.
∵已知,,且∥,∴cosα﹣2sinα=0,tanα=,
则===,
5.(2017秋•孝感期末)设函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4(其中a,b,α,β为非零实数),若f(2001)=5,则f(2018)的值是( )
A.5B.3C.8D.不能确定
【分析】由题意利用诱导公式求得asinα+bcosβ=﹣1,再利用诱导公式求得f(2018)的值.
∵函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4,
∴f(2001)=asin(2001π+α)+bcos(2001π+β)+4=﹣asinα﹣bcosβ+4=5,
∴asinα+bcosβ=﹣1,
∴f(2018)=)=asin(2008π+α)+bcos(2008π+β)+4=asinα+bcosβ+4=﹣1+4=3,
6.(2018春•伊通县期末)已知α为锐角,且,则cos(3π+α)=( )
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值,再利用诱导公式求得则cos(3π+α)的值.
∵α为锐角,且,∴cosα==,
则cos(3π+α)=﹣cosα=﹣,
7.(2018春•济南期末)若cos()=,则sin(α+)的值为( )
A.﹣B.﹣C.D.
若cos()=,则sin(α+)=cos[﹣(α+)]=cos()=,
D.
8.(2018春•双流区期末)已知cos(π+θ)=,<θ<π,则cos(+θ)的值为( )
A.﹣B.C.﹣D.
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得sinθ的值,再利用诱导公式求得cos(+θ)的值.
∵cos(π+θ)=﹣cosθ=,即cosθ=﹣,又<θ<π,
∴sinθ==.
则cos(+θ)=﹣sinθ=﹣,
9.(2018春•武功县期中)下列各式中,不正确的是( )
A.cos(﹣α﹣π)=﹣cosα
B.sin(α﹣2π)=﹣sinα
C.tan(5π﹣2α)=﹣tan2α
D.sin(kπ+α)=(﹣1)ksinα(k∈Z)
【分析】直接利用诱导公式逐一核对四个选项得答案.
cos(﹣α﹣π)=cos(π+α)=﹣cosα,
sin(α﹣2π)=sinα,
tan(5π﹣2α)=tan(π﹣2α)=﹣tan2α,
当k为偶数时,sin(kπ+α)=sinα,当k为奇数时,sin(kπ+α)=﹣sinα,
∴sin(kπ+α)=(﹣1)ksinα(k∈Z).
∴不正确的是sin(α﹣2π)=﹣sinα.
10.(2017秋•松山区校级期末)已知函数f(x)=atan﹣bsinx+4(其中a,b为常数且ab≠0),若f(3)=5,则f(﹣3)=( )
A.﹣3B.3C.﹣5D.5
【分析】令g(x)=atan﹣bsinx,则g(x)为奇函数,由f(3)=5,求得g(3)的值,从而根据奇偶函数的性质求得f(﹣3)的值.
令g(x)=atan﹣bsinx,则g(x)为奇函数,则函数f(x)=atan﹣bsinx+4=g(x)+4,
由f(3)=5=g(3)+4,可得g(3)=1,故f(﹣3)=g(﹣3)+4=﹣g(3)+4=﹣1+4=3,
11.(2018春•金安区校级期末)已知,则的值为( )
【分析】由题意利用诱导公式求得sinα=,再利用利用诱导公式化简所给的式子,可得结果.
∵已知=﹣sinα,∴sinα=.
则=﹣sinα=﹣,
12.(2018春•古冶区校级期中)若角A,B,C是△ABC的三个内角,则下列等式中一定成立的是( )
A.cos(A+B)=cosCB.sin(A+B)=﹣sinC
C.tan(A+C)=tanBD.sin=cos
【分析】由题意利用三角形内角和公式、诱导公式,逐一判断各个选项是否正确,从而得出结论.
若角A,B,C是△ABC的三个内角,则A+B=π﹣C,
∴cos(A+B)=cos(π﹣C)=﹣cosC,sin(A+B)=sin(π﹣C)=sinC,故A、B均错误.
由A+C=π﹣B,可得tan(A+C)=﹣tanB,故C错误,
由B+C=π﹣A,可得=﹣,∴sin=sin(﹣)=cos,故D正确,
13.(2018•张掖一模)若是第二象限角,则=( )
A.B.5C.D.10
【分析】由已知利用诱导公式可求tanα,利用同角三角函数基本关系式可得cosα的值,利用诱导公式,降幂公式化简所求即可计算得解.
∵是第二象限角,
∴tanα=﹣,可得:
cosα=﹣=﹣,
∴====10.
二.填空题(共6小题)
14.(2018春•安康期末)已知,则=
【分析】利用诱导公式、两角和的正切公式化简所给的式子,可得结果.
∵已知,则=﹣sinα•(﹣sinα)•
=,
故答案为:
.
15.(2018春•福州期末)设函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+3(其中a、b、α、β为非零实数),若f(2001)=5,则f(2018)的值是 1 .
【分析】由题意利用诱导公式,求得asinα+bcosβ=﹣2,由此求得f(2018)的值.
∵函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+3,f(2001)=5,
∴asin(2001π+α)+bcos(2001π+β)+3=5,解得asinα+bcosβ=﹣2,
∴f(2018)=asin(2018π+α)+bcos(2018π+β)+3=asinα+bcosβ+3=1,
1.
16.(2018秋•思明区校级月考)若角α的终边经过点A(2,1),则sin()= ﹣ .
【分析】利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值,再利用诱导公式求得sin()的值.
角α的终边经过点A(2,1),
∴x=2,y=1,r=|OA|=,∴cosα==,
则sin()=﹣cosα=﹣,
﹣.
17.(2018春•高安市校级期末)已知sin(+α)=,α∈(﹣,0),则sin(3π+α)= .
【分析】由已知求得cosα,进一步得到sinα,再由诱导公式可得sin(3π+α).
∵sin(+α)=,
∴cosα=,又α∈(﹣,0),
∴sinα=,
∴sin(3π+α)=﹣sinα=.
18.(2018春•杜集区校级期中)已知tanα=2,则cos(π+α)= .
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式,求得要求式子的值.
∵tanα=2,则cos(π+α)=﹣cosα•(﹣sinα)
====,
19.(2018春•项城市校级月考)若sin(﹣α)=,则cos(+α)= .
【分析】由两角的关系使用诱导公式得出答案.
∵+=,
∴cos(+α)=sin(﹣α)=,
三.解答题(共3小题)
20.(2017秋•淮安期末)已知sin,且,α是第二象限角.
(1)求tanα的值;
(2)求的值.
【分析】
(1)由题意利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值,可得tanα的值.
(2)利用诱导公式、同角三角函数的基本关系求得所给式子的值.
(1)∵sin,且,α是第二象限角,∴cosα=﹣=﹣,∴tanα==﹣.
(2)====﹣7.
21.(2017秋•张家口期末)已知f(α)=.
(Ⅰ)化简f(α);
(Ⅱ)若f(α=2,求2sin2α﹣3sinαcosα的值.
(Ⅰ)由条件利用诱导公式进行化简所给的式子,可得结果.
(Ⅱ)由条件求得tanα的值,再利用同角三角函数的基本关系,求得2sin2α﹣3sinαcosα的值.
(Ⅰ).
(Ⅱ)∵f(α)=tanα=2,∴==.
22.(2017秋•重庆期末)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(﹣3,4).
(1)求sinα,cosα的值;
(2)的值.
(1)由题意利用任意角的三角函数的定义,求得sinα,cosα的值.
(2)由条件利用诱导公式,求得的值.
(1)∵角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(﹣3,4),
故x=﹣3,y=4,r=|OP|==5,∴sinα==,cosα==﹣.
(2)==﹣1+=﹣1﹣=﹣.