高斯小学奥数六年级上册含答案第18讲 最值问题二Word格式.docx

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1．和一定的两个数，差越小，积越大；

2．积一定的两个数，差越小，和越小；

3．两点之间线段最短．

例1．用一根长80厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的体积最大是多少立方厘米？

「分析」题目的限制条件是铁丝长为80厘米，要求体积的最大值，通过什么可以把这二者联系起来呢？

练习1、

（1）用一根长100厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的体积最大是多少立方厘米？

（2）有一根铁丝，它能焊接成的棱长都是整数厘米的最大长方体的体积是36立方厘米，这根铁丝的长度是多少厘米？

例2．有5袋糖，其中任意3袋的总块数都超过60．这5袋糖块总共最少有多少块？

「分析」每3袋的总块数都超过60，要求5袋的总块数．事实上我们以前做过类似的题：

“已知三个数两两的和数，求这三个数的总和．”这样的题大家是怎么处理的呢？

它的处理方法能否应用到本题中来呢？

练习2、有5个学生参加暑期竞赛班，每人都拿了不少积分（所有积分都是整数）．如果其中每三人的积分之和都不少于500分，那这五人的总积分最少是多少？

例3．用1、2、3、4、5、6、7、8、9各一个组成3个三位数，使得它们都是9的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式．

「分析」为了让这样的三个数的乘积最大，我们当然要让三个数的首位最大．那么首位应该是多少呢？

注意到这三个数都是9的倍数，9的倍数有什么特征呢？

它对这三个数提出了怎样的要求？

练习3、用1、2、3、4、5、6各一个组成两个三位数，使得它们都是3的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式．

例4．把1至99依次写成一排，行成一个多位数：

．从中划去99个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数．请问：

剩下的数最大可能是多少？

最小可能是多少？

「分析」要使得到的数最大，所得的数前面几位应该是什么？

如果要最小呢？

练习4、把1至20依次写成一排，行成一个多位数：

．从中划去20个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数．请问：

例5．邮递员送信件的街道如图所示，每一小段街道长1千米．如果邮递员从邮局出发，必须走遍所有的街道，那么邮递员最少需要走多少千米？

「分析」如果邮递员恰好没有重复地走遍所有的街道，则这样走的总路程就是最短的．那么邮递员能做到这一点吗？

实际上这是一个一笔画问题，同学们回想一下，什么样的图形才能一笔画出来呢？

例6．如图，有一个长方体的柜子，一只蚂蚁要从左下角的A点出发，沿柜子表面爬到右上角的B点去取食物，蚂蚁爬行路线的长度最短是多少？

一共有几条最短路线？

请在图中表示出来．

「分析」众所周知，两点之间线段最短．然而在本题中，蚂蚁是不能穿过柜子的，只能在柜子表面爬行．这样一来，我们就要在柜子表面寻找一条从A到B的最短路线．可是蚂蚁应该怎么走才能距离最短呢？

罐头装箱问题

我们经常遇到把圆柱体罐头放入长方体包装箱的问题，怎么摆放才能最有效地利用包装箱内的空间呢？

一种显而易见的办法是把各圆排列成矩形的形状，像图1这样．它是一种较优排法，但不是最优的办法．没有最大限度地利用空间，浪费不少，圆的面积只占总共的78.5%．

比上述办法好得多的办法，是将罐头摆放成图2所示的六边形．不难算出，正六边形内圆所覆盖的面积超过了90％．实际上，数学家已经证明了如果空间是无限延展的，这种六边形摆放法是最紧密的包装方式．

但是正六边形摆法的最紧密性质是有条件的，尤其在盒子不太大的时候．例如要放9个罐头，正六边形摆法需要的正方形不是最小的．如图3，它的放法就不比图4好．

当罐头数目增加时，放罐头的最佳包装法会不断在变，越来越倾向于正六边形排法．

比如，13个罐头的最优包装法，用边长大约为圆直径3.7倍的正方形就够了．如图5，虽然它看上去乱糟糟，但已被证明为最优解．我们可以看到，12个罐头紧紧地靠在一起，而第13个（黄色的那个）则自由自在地放在中间．

最后，大家思考一个问题：

设1角钱硬币的直径为a厘米，那么我们在边长为10a厘米的正方形中，最多可以不重叠地放入多少枚硬币呢？

是100枚吗？

能否放进去更多？

作业

1.用一根长120厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的体积最大是多少立方厘米？

2.高、娅、莫、萱四人各有若干块高思勋章，其中任意两人的勋章合起来都少于10块，那么这四人的勋章合起来最多有多少块？

3.用1、2、3、4、5、6、7、8各一个组成两个四位数，使得它们都是3的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式．

4.把21至40依次写成一排，行成一个多位数：

5.如果例题5中的街道由“土”字形变成如下所示的形状，那么邮递员从邮局出发，要走遍所有的街道，最少需要走多少千米？

例7．答案：

294

详解：

长方体满足：

厘米，要使体积最大，就应该使三边长度尽量接近．所以当三边长度分别为7厘米、7厘米和6厘米时，体积最大，为

立方厘米．

例8．答案：

103

任意3袋糖果总块数都不少于61，必能取出一袋不少于21块糖果；

现在余下4袋，同样可以有糖果数超过21块的袋子，再取走这袋．现在余下三袋了，这三袋糖果总和不少于61，所以总的糖果不少于61+21+21=103块．由于5袋糖果分别有21、21、21、20、20块，是符合要求的，所以103就是最小值．

例9．答案：

954×

873×

621

每个数都是9的倍数，说明每个数的各位数字之和都是9的倍数．由于1到9总的数字和是45，而且每个数的各位数字之和都不超过7+8+9=24，因而三个数的各位数字之和分别为18、18和9．各位数字之和为9的数最大只能是621．其余两个数乘积要尽量大且各自的各位数字之和是18，百位取9和8，十位取7和5，个位取4和3，有最大乘积954×

872，故所求的乘法算式是954×

621．

例10．答案：

最大为999997585960…9899；

最小是10000012345061626364…9899

（1）要使剩下的数尽量大，就要让数的最前面剩下尽可能多的9．首先，最开头的12345678这8个数字是要去掉的，留下了第一个9；

然后去掉1011121314151617181共19个数字，留下了第二个9；

再去掉3次的19个数，使得剩下第3、4、5个9．现在已经去掉了一共8+19×

4=84个数，剩下的数前5个数字都是9，然后是50515253545556575859一直写到9899，还能再去掉15个数．但我们到下一个9要去掉19个数，到下一个8要去掉17个数，到下一个7要去掉15个数，于是最后结果的第6个数字最大是7，应该去掉的15个数字为505152535455565．所以剩下的数最大为999997585960…9899．

（2）要使剩下的数尽量小，就要让数的首位是1，第二位起是尽量多的0．首位上的1取第一个数字1就行了．然后去掉234567891共9个数，留下第一个0；

再去掉1112131415161718192共19个数，留下第2个0；

再去掉3次的19个数，就能得到第3、4、5个0．现在一共去掉了

个数，剩下的数前六个数字是1、0、0、0、0、0，余下的部分是515253545556575859一直写到9899，还能再去掉14个数．下一位取不到0了，只能去掉一个5，留下1；

再下一位连1都取不到，只能去掉1个5，取2；

再去掉一个5，留下3；

去掉一个5，留下4．现在还能再去掉10个数字，而剩下的是55565758596061……，接下来11个数中最小的数是5，所以取一个5．然后剩下的数前11个数字为55657585960，因而我们去掉10个数字5565758596，使下一位达到最小数字0．所以最后剩下的数最小是10000012345061626364…9899．

例11．答案：

26

如图1，由于的A、B两点连出的边是3条，也就是奇数条，仅当A与B为出发点和终点时，才能一笔画．我们不能从邮局出发一笔把这个图画出，即邮递员不能只把每条街道走一遍就回到邮局，他至少应该多走1千米街道，最小是26千米．在图2中，我们给出了邮递员走26千米走遍所有街道的一种方法．

例12．答案：

最短的长度是5；

4

为了表示方便，我们把长方体的各个顶点都标上字母，如图3．蚂蚁要从A处爬到B处，途中必须经过两个相邻的面，两个相邻面的交线必是EH、HF、FG、GC、CD、DE六条线段中的一条．一共六种情况，但由对称性，可分为三类，每类两种：

交线是FG、DE的情形为一类，交线是HE、GC的情形为一类，交线是FH、DC的情形为一类．

情况1：

如果蚂蚁所经过的两相邻面是ACGF和FGBH，那么我们可以沿着它们的交线FG把这两个面展开到同一个平面上，如图4．这样蚂蚁的整个行走路线就在这一个平面上，而且以A为起点，B为终点．此时从A到B的最短连线就是A、B两点的连线，它恰好直角三角形ABC的斜边．由于

，

，因此

．

情况2：

如果两相邻面的交线是GC．同样我们也可以沿着GC，把两个相邻面展开到同一个平面上，如图5．此时A、B两点的连线是直角三角形ABD的斜边．由于

情况3：

如果两相邻面的交线是DC．同样我们也可以沿着DC，把两个相邻面展开到同一个平面上，如图6．此时A、B两点的连线是直角三角形AGB的斜边，一定比直角边AG长．而AG的长度是

，所以AB一定大于6．

其余三种情况的最短路线与上面的情况1、2、3对应相同．所以爬行路线长度最少是5，

（1）和

（2）的情形都符合要求，加上与它们对应的两种，所以一共会有4条最短路线．把展开图还原到原来的图中，就是所求的最短路线（如图7）．因此在长方体表面，从A到B的最短路线的长度是5，一共有4条满足要求．

练习1、答案：

576

简答：

练习2、答案：

834

总积分最少是

，此时5人分数可以是166、167、167、167、167．

练习3、答案：

642×

531

6和5分别放在两个数的百位上，结合各位数字之和是3的倍数，可得到乘积最大的算式

练习4、答案：

95617181920；

10111111110

同例4，由于题目中数位较少枚举即可，注意计算的准确性．

6.答案：

1000

7.答案：

17

必有两人的勋章数都不多于4块，余下两人勋章数之和不多于9块，因而最多只能有

块．

8.答案：

首位要尽量大，取8和7，次位也尽量大，取6和5，然后是十位要尽量大，从4和3里取．也就是前三位分别取853和764能使乘积最大．但还要保证都是3的倍数，故只能是8532和7641，所求的乘法算式是

9.答案：

93333334353637383940；

1