量子力学习题与解答1Word下载.docx
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ik）
（
k
2r0
3r
J
ikr
mr
r（1reikr）]r0
ik）]r0
J1与r同向。
表示向外传播的球面波
膂*dxdx
蒃∴波函数不能按（x）2dx1方式归一化。
薀其相对位置几率分布函数为
膇21表示粒子在空间各处出现的几率相同
膁2.3一粒子在一维势场
，x0
蚀U（x）0，0xa
，xa
薇中运动，求粒子的能级和对应的波函数
莂解：
U（x）与t无关，是定态问题。
其定态S—方程
羀d2（x）U（x）（x）E（x）
2mdx2
螀在各区域的具体形式为
羈Ⅰ：
x0d21（x）U（x）1（x）E1（x）2mdx2
2d2
肄Ⅱ：
0xad22（x）E2（x）
2mdx222
羃Ⅲ：
xad23（x）U（x）3（x）E3（x）
2mdx2
螀由于
（1）、（3）方程中，由于U（x），要等式成立，必须
肅1（x）0
袆2（x）0
螂即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
衿方程
（2）可变为d22（x）2m2E2（x）0
罿其解为2（x）AsinkxBcoskx④
袇根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得
羆2（0）1（0）⑤
莀2（a）3（a）⑥
聿⑤B0
芈⑥Asinka0
A0
sinka0
kan（n1,2,3,）
蒄∴2（x）Asinx
莃由归一化条件
膆由
mna
sinxsinxdx
aa2
2mE
2222
袆En2n2（n1,2,3,）可见E是量子化的
2ma2
荿
蚃对应于En的归一化的定态波函数为
芆2.4.证明（2.6-14）式中的归一化常数是
2.6-14）
莅证：
nAsinna（xa）,xa
0,xa
羃由归一化，得
蚇∴归一化常数A1a
蚂2.5求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
23x2e2x2
3
dx
d1（x）23[2x22x3]e2x2
x0
膅由1（x）的表达式可知，x0，x时，1（x）0。
位置。
dx2
羃
43
[（15
而d21（x）
22x
262x2）22x（2x22x3）]e
24x4）]ex
d21（x）
x1
24310
22
2x2
蚈可见x1是所求几率最大的位置。
#
U（x）U（x），证明粒子
蚅2.6在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：
的定态波函数具有确定的宇称。
芃证：
在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为
螈2（x）U（x）（x）E（x）①
2dx2
羇将式中的x以（x）代换，得
膃d2（x）U（x）（x）E（x）②
肂利用U（x）U（x），得
袈2（x）U（x）（x）E（x）③
莈比较①、③式可知，（x）和（x）都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。
由于它们描写的是同一个状态，因此（x）和（x）之间只能相差个常数c。
方程①、③可相互进行空间反演（xx）而得其对方，由①经xx反演，可得③，
袅（x）c（x）④
螁由③再经xx反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。
袈（x）c（x）⑤
蝿④乘⑤，得
节（x）（x）c2（x）（x）
袄可见，c21
c1
当c1时，（x）（x），（x）具有偶宇称，
肄当c1时，（x）（x），（x）具有奇宇称，
薂当势场满足U（x）U（x）时，粒子的定态波函数具有确定的宇称肈#
莆
螆2.7一粒子在一维势阱中
U00,xa
莁U（x）0
膈运动，求束缚态（0EU0）的能级所满足的方程。
螇解：
粒子所满足的S-方程为膄2ddx2（x）U（x）（x）E（x）
膀按势能U（x）的形式分区域的具体形式为
芇Ⅰ：
2d2
1（x）U01（x）E1（x）
xa
膈Ⅱ：
2（x）E2（x）
axa
袆Ⅲ：
2dx2
3（x）U03（x）E3（x）
ax
膃整理后，得
Ⅰ：
12（U02E）10
芅Ⅱ：
.222E20
Ⅲ：
2（U0E）
令k122（U02E）
k22
2E
蒇则
蚆Ⅰ：
1k1210⑦
肆Ⅱ：
.2k2220⑧
螁Ⅲ：
3k1210⑨
螁各方程的解为
k1xk1x
Ae1Be1
肇2Csink2xDcosk2x
Eek1x
Fe
k1x
薃由波函数的有限性，有
1（）有限A0
螄
3（）有限E0
袁因此
1Bek1x3Fek1x
芅由波函数的连续性，有
1（a）2（a）,Bek1aCsink2aDcosk2a
1（a）2（a）,k1Bek1a
2（a）3（a）,
2（a）3（a）,
整理（10）、（11）、
k2Ccosk2ak2Dsink2aCsink2aDcosk2aFek1ak2Ccosk2ak2Dsink2ak1Fek1a
（12）、（13）式，并合并成方程组，得
ka
ek1aBsink2aCcosk2aD00
k1ek1aBk2cosk2aCk2sink2aD00ka
0sink2aCcosk2aDe1F0
0k2cosk2aCk2sink2aDk1ek1aF0
解此方程即可得出
组有非零解，
必须
B、C、D、F，
ek1a
k1a
k1e
e1
sink2ak2cosk2asink2ak2cosk2a
k2cosk2asink2ak2cosk2a
（10）
（11）
（12）
（13）
进而得出波函数的具体形式，要方程
cosk2ak2sink2acosk2ak2sink2a
k2sink2a
cosk2a
k1Bek1a
ek1ak1ak1e1
sink2a
sink2ak2cosk2aek1a[k1k2ek1acos2k2ak22ek1asink2acosk2ak1k2ek1asin2k2ak22ek1asink2acosk2a]k1ek1a[k1ek1asink2acosk2ak2ek1acos2k2ak1ek1asink2acosk2ak2ek1asin2k2a]e2k1a[2k1k2cos2k2ak22sin2k2ak12sin2k2a]e2k1a[（k22k12）sin2k2a2k1k2cos2k2a]
k1ak1e1
e2k1a0
cosk2acosk2ak2sink2a
2k1a
k1ae1k1ek1a
∴（k22k12）sin2k2a2k1k2cos2k2a0
肀即（k22k12）tg2k2a2k1k20为所求束缚态能级所满足的方程。
膁方法二：
接（13）式
膀#
袇另一解法：
薅（11）-（13）2k2Dsink2ak1ek1a（BF）
袂（10）+（12）2Dcosk2aek1a（BF）
（11）（13）
芀k2tgk2ak1（a）
（10）（12）221
芈（11）+（13）2k2Ccosk2ak1（FB）eik1a
肃（12）-（10）2Csink2a（FB）eik1a
螃蒅（1螅1）芁膇莂（1莅3）螆
蚁羆虿（（11膇21））蚄薀蒃（（11膂30））薇蒀薅k莀2ctg螈k螅2a薁袀莅衿k螆1莀
聿令k2a，k2a，则
b）
（c）
（d）
蚂合并（a）、（b）：
肅#
肃
腿2-7一粒子在一维势阱
U00,xa肈U（x）
tgctg
袄中运动，求束缚态（0EU0）的能级所满足的方程。
解：
（最简方法-平移坐标轴法）
2（U0E）
121
2E0
2220
2（U0E）
k1xk1x
蚅2
Ae1Be1Csink2xDcosk2xEek1xFek1x
1（）有限
3（）有限
羁因此
k1x
Ae1
Fe1
蚈由波函数的连续性，有
1（0）2（0）,AD（4）
1（0）2（0）,k1Ak2C（5）
膄2ka
2（2a）3（2a）,k2Ccos2k2ak2Dsin2k2ak1Fe2k1a（6）
2（2a）3（2a）,Csin2k2aDcos2k2aFe2k1a（7）
莂（7）代入（6）
Csin2k2aDcos2k2a
k2k2
2Ccos2k2a2Dsin2k2a
蒇利用（4）、（5），得
k1k2
1Asin2k2aAcos2k2aAcos2k2a2Dsin2k2a
k2k1
kk
A[（12）sin2k2a2cos2k2a]0
k
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