离散数学第四版课后答案.docx

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离散数学第四版课后答案

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第1章习题解答

1．1除〔3〕,〔4〕,〔5〕,〔11〕外全是命题,其中,〔1〕,〔2〕,〔8〕,〔9〕,

〔10〕,〔14〕,〔15〕是简单命题,〔6〕,〔7〕,〔12〕,〔13〕是复合命题.

分析首先应注意到,命题是陈述句,因而不是陈述句的句子都不是命题.

本题中,〔3〕为疑问句,〔5〕为感叹句,〔11〕为祈使句,它们都不是陈述句,

所以它们都不是命题.

其次,4〕这个句子是陈述句,但它表示的判断结果是不确定.又因为〔1〕,

〔2〕,〔8〕,〔9〕,〔10〕,〔14〕,〔15〕都是简单的陈述句,因而作为命题,它们

都是简单命题.〔6〕和〔7〕各为由联结词"当且仅当〞联结起来的复合命题,

〔12〕是由联结词"或〞联结的复合命题,而〔13〕是由联结词"且〞联结起来

的复合命题.这里的"且〞为"合取〞联结词.在日常生活中,合取联结词有许

多表述法,例如,"虽然……,但是……〞、"不仅……,而且……〞、"一面……,

一面……〞、"……和……〞、"……与……〞等.但要注意,有时"和〞或"与〞

联结的是主语,构成简单命题.例如,〔14〕、〔15〕中的"与〞与"和〞是联结

的主语,这两个命题均为简单命题,而不是复合命题,希望读者在遇到"和〞或

"与〞出现的命题时,要根据命题所陈述的含义加以区分.

1．2〔1〕p:

2是无理数,p为真命题.

〔2〕p:

5能被2整除,p为假命题.

〔6〕p→q.其中,p:

2是素数,q：

三角形有三条边.由于p与q都是真

命题,因而p→q为假命题.

〔7〕p→q,其中,p：

雪是黑色的,q：

太阳从东方升起.由于p为假命

题,q为真命题,因而p→q为假命题.

〔8〕p:

20XX10月1日天气晴好,今日〔1999年2月13日〕我们还不

知道p的真假,但p的真值是确定的〔客观存在的〕,只是现在不知道而已.

〔9〕p：

太阳系外的星球上的生物.它的真值情况而定,是确定的.

1

〔10〕p：

小李在宿舍里.p的真值则具体情况而定,是确定的.

〔12〕p∨q,其中,p:

4是偶数,q:

4是奇数.由于q是假命题,所以,q

为假命题,p∨q为真命题.

〔13〕p∨q,其中,p:

4是偶数,q:

4是奇数,由于q是假命题,所以,p∨q

为假命题.

〔14〕p：

李明与王华是同学,真值由具体情况而定〔是确定的〕.

〔15〕p：

蓝色和黄色可以调配成绿色.这是真命题.

分析命题的真值是唯一确定的,有些命题的真值我们立即可知,有些则不

能马上知道,但它们的真值不会变化,是客观存在的.

1．3令p:

2+2=4,q:

3+3=6,则以下命题分别符号化为

〔1〕p→q

〔2〕p→¬q

〔3〕¬p→q

〔4〕¬p→¬q

〔5〕p↔q

〔6〕p↔¬q

〔7〕¬p→q

〔8〕¬p↔¬q

以上命题中,〔1〕,〔3〕,〔4〕,〔5〕,〔8〕为真命题,其余均为假命题.

分析本题要求读者记住p→q与p↔q的真值情况.p→q为假当且仅当

p为真,q为假,而p↔q为真当且仅当p与q真值相同.由于p与q都是真命题,

在4个蕴含式中,只有〔2〕p→r,其中,p同〔1〕,r：

明天为3号.

在这里,当p为真时,r一定为假,p→r为假,当p为假时,无论r为真

还是为假,p→r为真.

2

1．5〔1〕p∧q,其中,p：

2是偶数,q：

2是素数.此命题为真命题.

〔2〕p∧q,其中,p：

小王聪明,q：

小王用功

〔3〕p∧q,其中,p：

天气冷,q：

老王来了

〔4〕p∧q,其中,p：

他吃饭,q：

他看电视

〔5〕p∧q,其中,p：

天下大雨,q：

他乘公共汽车上班

〔6〕p→q,其中,p,q的含义同〔5〕

〔7〕p→q,其中,p,q的含义同〔5〕

〔8〕¬p↔¬q,其中,p：

经一事,q：

长一智

分析1°在前4个复合命题中,都使用了合取联结词,都符号化为合取式,

这正说明合取联结词在使用时是很灵活的.在符号化时,应该注意,不要将联结

词部分放入简单命题中.例如,在〔2〕中,不能这样写简单命题：

p：

小王不但

聪明,q：

小王而且用功.在〔4〕中不能这样写：

p：

他一边吃饭,q：

他一边

看电视.

2°后4个复合命题中,都使用了蕴含联结词,符号化为蕴含式,在这里,

关键问题是要分清蕴含式的前件和后件.

p→q所表达的基本逻辑关系为,p是q的充公条件,或者说q是p的必要

条件,这种逻辑关系在叙述上也是很灵活的.例如,"因为p,所以q〞,"只要p,

就q〞"p仅当q〞"只有q才p〞"除非q,否则¬p〞"没有q,就没有p〞等都表

达了q是p的必要条件,因而都符号化为p→q或¬p↔¬q的蕴含式.

在〔5〕中,q是p的必要条件,因而符号化为p→q,而在〔6〕〔7〕中,

p成了q的必要条件,因而符号化为q→p.

在〔8〕中,虽然没有出现联结词,但因两个命题的因果关系可知,应该符

号化为蕴含式.

1．6〔1〕,〔2〕的真值为0,〔3〕,〔4〕的真值为1.

分析1°〔1〕中公式含3个命题变项,因而它应该有23=8个赋值：

000,

3

001,…,111题中指派p,q为0,r为1,于是就是考查001是该公式p∧的成真赋值,还是成假赋值,易知001是它的成假赋值.

2°在公式〔2〕,〔3〕,〔4〕中均含4个命题就项,因而共有24=16个赋值：

0000,0001,…,1111.现在考查0011是它的成假赋值.

1.7〔1〕,〔2〕,〔4〕,〔9〕均为重言式,〔3〕,〔7〕为矛盾式,〔5〕,〔6〕,〔8〕,〔10〕为非重言式的可满足式.

一般说来,可用真值表法、等值演算法、主析取X式〔主合取X式〕法等判断公式的类型.

〔1〕对〔1〕采用两种方法判断它是重言式.

真值表法

表1.2给出了〔1〕中公式的真值表,由于真值表的最后一列全为1,所以,〔1〕为重言式.

p∨q∨rp→

pqr

00001

00111

01011

01111

10011

10111

11011

11111

等值演算法

p→

⇔¬p∨〔蕴含等值式〕

⇔<¬p∨p>∨p∨r〔结合律〕

⇔1∨q∨r〔排中律〕

⇔1〔零律〕

4

由最后一步可知,〔1〕为重言式.

〔2〕用等值演算法判〔2〕为重言式.

→¬p

⇔<¬p∨¬>→¬p〔蕴含等值式〕

⇔¬p∨¬p〔等幂律〕

⇔p∨¬p〔蕴含等值式〕

⇔1〔排中律〕

〔3〕用等值演算法判〔3〕为矛盾式

¬∧q

⇔¬∧q〔蕴含等值式〕

⇔p∨¬q∧q〔德·摩根律〕

⇔p∨<¬q∧q>〔结合律〕

⇔p∧0〔矛盾律〕

⇔0〔零律〕

由最后一步可知,〔3〕为矛盾式.

〔5〕用两种方法判〔5〕为非重言式的可满足式.

真值表法

pq¬p¬p→qq→¬p<¬p→q>→001011

011111

100111

110100

由表1.3可知〔5〕为非重言式的可满足式.

主析取X式法

<¬p→q>→

⇔→<¬q∨¬p>

5

⇔¬∨<¬q∨¬p>

⇔<¬p∨¬q>∨¬q∨¬p

⇔¬p∨¬q

⇔<¬p∧1>∨<1∧¬q>

⇔<¬p∧<¬q∨q>∨<<¬p∨p>∧¬q>

⇔<¬p∧¬q>∨<¬p∨q>∨<¬p∧¬q>∨

⇔<¬p∧¬q>∨<¬p∨q>∨<¬p∧¬q>

⇔m0∨m1∨m2.

在〔3〕的主析取X式中不含全部〔4个〕极小项,所以〔3〕为非重言式的可满足式,请读者在以上演算每一步的后面,填上所用基本的等值式.

其余各式的类型,请读者自己验证.

分析1真值表法判断公式的类别是万能.公式A为重言式当且仅当A的o

真值表的最后一旬全为1；A为矛盾式当且仅当A的真值表的最后一列全为0；A为非重言式的可满足式当且仅当A的真值表最后一列至少有一个1,又至少有一个0.真值表法不易出错,但当命题变项较多时,真值表的行数较多.

2o用等值演算法判断重言式与矛盾式比较方例,A为重言式当且仅当A与1等值；A为矛盾式当且仅当A与0等值,当A为非重言式的可满足式时,经过等值演算可将A化简,然后用观察法找到一个成真赋值,再找到一个成假赋值,就可判断A为非重言式的可满足式了.例如,对〔6〕用等值演算判断它的类型.

↔q

⇔0↔q〔矛盾律〕

⇔∧〔等价等值式〕

⇔<¬0∨q>∧<¬q∨0>〔蕴含等值式〕

⇔<1∨q>∧¬q〔同一律〕

⇔1∧¬q〔零律〕

6

⇔¬q〔同一律〕

到最后一步已将公式化得很简单.由此可知,无论p取0或1值,只要q取0值,原公式取值为1,即00或10都为原公式的成真赋值,而01,11为成假赋值,于是公式为非重言式的可满足式.

用主析取X式判断公式的类型也是万能的.A为重言式当且仅当A的主析取X式含2n〔n为A中所含命题变项的个数〕个极小项；A为矛盾式当且仅当A的主析取X式中不含任何极小项,记它的主析取X式为0；A为非重言式的可满足式当且仅当A的主析取X式中含极小项,但不是完全的.

当命题变项较多时,用主析取X式法判公式的类型,运算量是很大的.

用主合取X式判断公式的类型也是万能的.A为重言式当且仅当A的主合取X式中不含任何极大项,此时记A的主合取X式为1；A为矛盾式当且仅当A的主合取X式含2n个极大项〔n为A中含的命题变项的个数〕；A为非重言式的可满足式当且仅当A的主析取X式中含含极大项,但不是全部的.

1.8〔1〕从左边开始演算

∨

⇔p∧〔分配律〕

⇔p∧1〔排中律〕

⇔p.〔同一律〕

〔2〕从右边开始演算

p→

⇔¬p∨〔蕴含等值式〕

⇔<¬p∨q>∧<¬p∨r>〔分配律〕

⇔∧.〔蕴含等值式〕

〔3〕从左边开始演算

¬

7

⇔<∧>

⇔¬<<¬p∨q>∨<¬p∨q>>

⇔¬<<¬p∧q>∨<¬p∧>∨∨>⇔¬<<¬p∧¬q>∨>

⇔∧¬.

请读者填上每步所用的基本等值式.本题也可以从右边开始演算

∧¬

⇔¬¬<∧¬

⇔¬<¬∨¬¬>

⇔¬<<¬p∨¬q>∨>

⇔¬<<¬p∧q>∧<¬p∨q>∧<¬q∨p>∧<¬q∨q>>⇔¬<1∧p∨q>∧<¬q∨p>∧1

⇔¬<∧>

⇔¬.

读者填上每步所用的基本的等值式.1.9〔1〕

¬<→p>

⇔¬<¬∨p〔蕴含等值式〕⇔¬<¬∨p>〔德·摩根律〕⇔p∧q∧¬p〔结合律、交换律〕⇔∧q〔矛盾式〕⇔0.〔零律〕

8

由最后一步可知该公式为矛盾式.

〔2〕<∧>→

⇔¬<¬∨p>〔蕴含等值式〕

由于较高层次等价号两边的公式相同,因而此公式无成假赋值,所以,它为重言式.

〔3〕<¬p→q>→

⇔→<¬q∨¬p>〔蕴含等值式〕

⇔¬∨<¬q∨¬p>〔蕴含等值式〕

⇔