2006年第三届研究生数学建模竞赛B题优秀论文资料下载.pdf

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.4912.2考虑捕获量这个外界因素的影响：

.5012.3考虑更为广泛的捕食系统：

.51十三、模型的优缺点分析.54十四、关于本问题的几点讨论.54十五、模型的扩展.55一、问题的提出一、问题的提出包括“神舟六号”载人航天宇宙飞船、人造地球卫星等航天器围绕地球在轨运行的过程中，要受到很多力的作用，其中主要的是地球万有引力和航天器发动机作用力。

一：

考虑航天器在仅受到地球万有引力、航天器自身发动机作用力的作用下作平面运动，将地球和航天器视为质点，试建立航天器运动的数学模型（只要列出模型，不要求解）。

显然这样的数学模型在精度上是远远不能满足实际需要的，在其他要求精确制导等有关高科技的实际问题中，我们都面临着类似的问题：

我们必须建立高精度的数学模型，必须高精度地估计模型中的大批参数，因为只有这样的数学模型才能解决实际问题，而不会出现差之毫厘，结果却失之千里的情况。

这时所建立数学模型的精度就成了数学模型的生命线。

例如上述问题中的航天器还要受到地球质量分布不均匀所引起的摄动力，大气阻力，日、月及其它星球的摄动引力的影响，以及航天器发动机为调整航天器自身姿态运作时作用力的影响。

这样不但数学模型十分复杂，而且在这些数学模型中还要涉及到许多重要的参数，如地球的引力场模型就有许多待定参数。

不仅如此，在对航天器进行测量时，还涉及到观测站的地理位置以及设备的系统误差等参数。

为此人们要设法利用长期积累的丰富的观测资料，高精度确定这些重要的参数。

由于航天器的问题太复杂，下面本题仅考虑较简单的确定高精度参数问题。

假设有一个生态系统，其中含有两种生物，即：

A生物和B生物，其中A生物是捕食者，B生物是被捕食者。

假设t时刻捕食者A的数目为xt，被捕食者B数目为，它们之间满足以下变化规律：

yt1234xtxtytytytxt初始条件为：

0506xtyt其中为模型的待定参数。

1kk6通过对此生态系统的观测，可以得到相关的观测数据。

观测数据的格式依次为：

观测时刻、A生物数目、B生物数目jt）（jtx）（jty二：

二：

请利用有关数据，解决以下问题：

1）在观测数据无误差的情况下，若已知215，求其它5个参数？

有关数据见数据文件：

DATA1.TXT1,3,4,5,6kk2）在观测数据无误差的情况下，若2也未知，问至少需要多少组观测数据，才能确定参数1kk6？

DATA1.TXT3）在观测资料有误差（时间变量不含有误差）的情况下，请分别利用观测数据DATA2.TXT和DATA3.TXT，确定参数1kk6在某种意义下的最优解，并与仿真结果比较，进而改进你们的数学模型。

4）假设连观测资料的时间变量也含有误差，试利用数据DATA4.TXT，建立数学模型，确定参数在某种意义下的最优解。

1kk6二、问题的分析二、问题的分析问题问题中建立二体轨道力学和运动方程的模型来解决此问题。

分别分析了二体问题和运动方程，进一步简化的运动方程，以及讨论了轨道的几何方程和轨道可能的形状。

问题问题实际包含了四个小问：

（1）由于2已知，我们主要是用求解解析式的方法来直接求解出）6,5,4,3,1（kk

（2）采用最小二乘法来求解。

假设有m组数据，分解析解和离散差分格式这两种情况来讨论。

离散情况下：

首先将原微分方程组按某种差分格式离散化，然后将组观测数据离散后的差分格式，构造以参数为未知变量的二元一次线性方程组，根据最小二乘法的原理，结合矩阵的相关理论，讨论解存在、唯一、稳定的条件，从而确定求解参数需要观测资料的组数m。

解析解的利用：

从原始方程组求出包含未知参数的解析解，同样将m组数据代入解析解，构造出超定的二元一次方程组，然后用同

（1）的方法讨论，最终确定最小的。

（3）先用的是高精度差商的最小二乘模型，求出最优解，用仿真解与观测资料进行比较，效果非常好。

由于此问要考虑观测资料的误差，所以就必须对模型的误差敏感度进行讨论，我们发现高精度差商的最小二乘模型的敏感度也是比较好的。

然后我们又用了变分伴随同化模型，在精确度和敏感度上面做了进一步的改进。

（4）与（3）所用方法基本一致，也是先用中央差商的最小二乘模型求最优解，再用变分伴随同化模型作进一步的改进。

虽然此时不仅要考虑观测资料的误差还要考虑时间误差，但是模型的稳定性还是很好。

miyxii,.,1,mm三、符号约定三、符号约定）（tx-时刻捕食者A的数目t）（ty-被捕食者B数目）6,.,2,1（ii-种群模型中的待定参数jt-观测时间序列m-观测资料的数据组数gF-地球和航天器的万有引力G-万有引力常数M-地球质量m-航天器的质量r-地球与航天器之间的距离K-积分常数A-系数矩阵b-线性方程组右端的向量J-目标函数iilk,-中间迭代值h-等距的时间步长randn-0到1之间的随机数N-用来表示数据精度的正数0-参数的初值kd-搜索方向k-搜索步长w-权重系数QP,-伴随模式中的伴随变量obsx，-观测资料数据obsymeanx，-，meanyAB种群的平均值四、模型的假设四、模型的假设1考虑航天器在仅受到地球万有引力、航天器自身发动机作用力的作用下作平面运动；

2将地球和航天器视为质点;

3假设题目给定的数据资料完全正确合理，具有实际意义；

五、问题二体轨道力学和运动方程的模型五、问题二体轨道力学和运动方程的模型主要用此模型来解决题目中问题。

5.1二体问题和运动方程：

二体问题和运动方程：

无论是航天器还是天然天体，它们在运动中的任何给定时刻，均会受到多个周围天体的万有引力作用，甚至还有其他的力，例如阻力、推力和太阳辐射压力等的作用。

本文中已经进行了简化，只考虑地球和航天器两个质体，只考虑地球万有引力和航天器发动机作用力。

分析的第一步应选择一个适于物体运动的坐标系。

这件事做起来并不容易，因为所选的任何坐标系其惯性特征都存在某种程度的不确性。

为不失一般性，假定存在某个合适的惯性坐标系ZYXO，分析所受得力：

2FFFg（其中rrGMmFg3）所以：

Fmvdtd）（把对时间的导数展开，得到：

Fdtdmvdtdvm（1-1）航天器可能不断排出某些质量以产生推力，所以dtdmv不为零，各项除以,可得航天器的一般运动方程为：

m,0000rrrrmmrmFrtt（1-2）r和r分别为航天器相对于惯性坐标系ZYXO的速度矢量和加速度矢量。

和分别是物体的质量和质量随时间变化。

mm5.2进一步简化的运动方程：

进一步简化的运动方程：

首先，作两个简化假设：

（1）物体为球对称的，这样就可以把物体看作质量集中在其中心。

（2）除了沿两物体中心连线作用的引力外，没有其他外力和内力作用。

由5.1可知此时方程简化为：

rrmMGr3）（1-3）又因为航天器的质量m将比天体的质量M小得多，因此有：

GMmMG）（所以运动方程又转化成：

03rrr（其中GM）（1-4）5.3轨道的几何方程的进一步探究：

轨道的几何方程的进一步探究：

根据5.2得到的二体的简化方程（1-4），该方程在形式上十分简单，但已经完全确定了相应轨道的形状和大小。

将方程式（1-4）两边同时与h叉乘，有rhrhrrhr33（1-5）考虑到h守恒和矢量运算规则：

）（）（）（cbacabcba及rrrr，所以hrhrhrhrdtd）（）（）（233rrdtdrrrvrrvrrrhr于是，可以将式（5）改写为）（）（rrdtdhrdtd两边积分得Brrhr这里B是积分常矢量。

用r点乘该式就得到标量方程Brrrrhrr因为2,aaacbacba总成立，所以得到vrBrhcos2式中，v为常矢量B和矢径r之间的夹角。

解出r得轨道的几何方程为vBhrcos）/（1/2（1-6）令，/2hp/Be，则上式即为veprcos1（1-7）显然，轨道的几何方程是一个圆锥曲线的极坐标方程，中心引力体质心即为极坐标的原点，位于一焦点上，极角v为r与圆锥曲线上离焦点最近的一点与焦点连线间的夹角，常数p户称为“半正焦弦”，常数称为“偏心率”，它确定了方程式（7）表示的圆锥曲线的类型。

至此，可以把航天器的轨道运动总结如下：

（1）圆锥曲线族（圆、椭圆、抛物线、双曲线）为二体问题中的航天器惟一可能的运动轨道。

（2）中心引力体中心必定为圆锥曲线轨道的一个焦点。

（3）当航天器沿着圆锥曲线轨道运动时，其比机械能（单位质量的动能和势能之和）保持不变。

然而，动能和势能这两种形式的能量却可以相互转换。

这意味着，当航天器高度增高（r增加）时，其速度必定变慢，当r减少时，速度加快。

正是以这种方式，使保持不变。

（4）航天器绕中心引力体运动，当r和v沿轨道变化时，比角动量h保持不变。

（5）轨道运动总是处在一个固定于惯性空间的平面内。

六、问题六、问题-1解析解模型解析解模型问题要求当观测数据无误差时，并且已知2，求其他五个参数。

6.1解析解模型的分析：

解析解模型的分析：

由题目所给的微分方程组模型：

）（）（）（）（4321txtydtdytytxdtdx将以上方程组的自变量t消去，得到的y与x之间的函数关系为：

xyxxyydxdy2143采用分离变量方法得到其通解为：

Kxxyy4321lnln（2-1）其中K为任意常数，如果给定了初始条件，则）,（00yxK为定值。

即：

04030201lnlnxxyyK（2-2）由上面两式可得：

0）（）ln（）（）ln（04030201xxxxyyyy（2-3）其中已知2.02，（2-3）式可以化为：

）（2.0）（）ln（）ln（0040301yyxxxxyy任意时刻的观测数据都应该满足上式。

假设有）（,iiyx1m组观测数据（包括初始时刻），利用上式就可以得到如下形式的方程组：

1133mmBA其中为待求参数，,T）,（43113AB为系数矩阵。

通过求解上述方程组就可以得到要求的参数6.2解析解模型的求解：

解析解模型的求解：

利用data1.txt中提供的6组观测数据，可以得到式中的系数矩阵，求解得到：

1535,BA-21,2.02,213,14又因为所以：

）（）（0605tytx105，606。

这样利用初值，由（2-2）式可得到：

82.13K，这样就可以求出关于x和y的关系式：

082.13ln122.0ln2xxyy（2-4）我们就可以求出到1.0t5.0t时间仿真的）,（YX，跟真实的进行比较，如下图所示：

）,（YX图1解析解模型仿真结果从图上看，可以观测值和仿真值吻合很好，所以我们这个）6,5,4,3,2,1（kK参数求得还是很好的。

七、问题七、问题-1求最小组数的最小二乘法模型求最小组数的最小二