强烈推荐七年级相交线和平行线的证明精华资料下载.pdf

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注注：

今后学习中还会学习到证明的思维方法中的间接证法：

反证法和同一法。

这两种方法在今后的学习中会逐步介绍给同学们。

八思维方法的训练八思维方法的训练例例1已知如图，AOC为一直线，OB为任一射线，OP平分AOB，OE平分BOC，求证：

求证：

OEOP。

分析分析：

1、由逆推法分析要证明OEOP，由垂直定义只要证明EOP=90，而EOP由1、2所组成，只要证明1+2=90。

由于OE，OP分别是BOC和AOB的角平分线，1=BOC，2=AOB，又由于AOC为一直线，AOB+BOC=180，那么（AOB+BOC）=90，即1+2=90。

2由顺推法分析：

由AOC为直线推出AOB+BOC=180，由OP，OE分别为AOB，BOC平分线推得2=AOB，1=BOC，由POE=1+2=（AOB+BOC）推得POE=90再推得OPOE。

3上述分析中和的两个推理是并列的，因而在证明中先写或没有什么关系，但是和共同的结果，所以必须在和的后面。

证明：

（1）卓越个性化教学讲义2

（2）（3）POE=1+2（全量等于部分之和）=（AOB+BOC）（等量代换）=180（等量代换）=90OPOE（垂直定义）整个证明过程由3部分推理所组成，书写证明过程要用顺推法由前向后写。

例例2、已知如图，AOC，BOD为对顶角，OE平分AOC，OF平分BOD，求证：

OE，OF互为反向延长线。

分析：

（1）OE，OF互为反向延长线是指EOF为一条直线，即证明E、O、F三点共线。

证明这类问题首先要克服视觉给我们带来的干扰，如1和2并不能看成是一对对顶角，因为缺乏构成对顶角的必要条件。

OE与OF互为反向延长线，而这一点恰恰是本题证明的目标。

（2）证明E、O、F三点共线通常采用EOF=180，利用平角定义完成三点共线证明。

（3）为证明EOF=180，只要证明1+AOF=180，从已知AOC与BOD为对顶角，可推知A、O、B三点共线：

即AOF+2=180，只要证明1=2，题设中由AOC和BOD为对顶角又可知AOC=BOD，又由OE，OF分别为AOC和BOD平分线，正好创设了证明1=2的条件。

AOC，BOD为对顶角（已知）AOC=BOD（对顶角相等）OE平分AOC，OF平分BOD（已知）1=AOC，2=BOD（角平分线定义）1=2（等量之半相等）AOC，BOD为对顶角（已知）AB为直线（对顶角定义）AOF+2=180（平角定义）卓越个性化教学讲义3AOF+1=180（等量代换）EOF=180（等量代换）OE，OF互为反向延长线（平角定义）九剖析图形结构，挖掘等量关系九剖析图形结构，挖掘等量关系例例3、已知如图，OBOA，直线CD过O点，AOC=20，求证DOB的度数。

题设中的条件给出了许多的角的关系，由OBOA可知1+2=90；

由CD过O点，可知2+BOD=180，再由AOC=20，很容易求得DOB的度数。

解：

（不是证明题，不能写“证明”，而写“解”字）OBOA（已知）AOB=90（垂直定义）1+2=90（等量代换）2=90-1（等式性质）直线CD过O点（已知）COD=180（平角定义）BOD+2=180（等量代换）BOD=180-2（等式性质）=180-（90-1）（等量代换）=90+1（等式性质）1=20（已知）BOD=90+20（等量代换）=110（等式性质）答：

BOD的度数为110（求解题最后写答）例例4、已知如图，OAOC，OBOD，AOD=3BOC，求BOC的度数。

由题设条件（AOD=3BOC，这是有关BOC的关系式，由垂直条件可推出）AOB=90-BOC，COD=90-BOC，可见AOB，COD都与BOC相关，可运用代数方法，设元，用方程思想解题，直接设BOC=x，用x表示其余的相关角，分析其等量关系，得到关于x的方程，这样做，无论从叙述或思考都比较简捷。

设BOC=x卓越个性化教学讲义4AOD=3BOC（已知）AOD=3x又AOD=AOB+BOC+COD（全量等于部分之和）3x=AOB+x+COD（等量代换）2x=AOB+COD（等式性质）OAOC，OBOD（已知）AOB=90-x，COD=90-x（垂直定义）2x=90-x+90-x（等量代换）4x=180（等式性质）x=45即BOC=45答：

BOC的度数为45。

十例题：

例例1如图所示，直线AB、CD、EF相交于点O，AOC=70，BOE=80，求DOF的度数。

精析精析：

AOC、COE、BOE组成一个平角，而AOC、BOE的度数为已知，所以，可以先求出COE的度数，再根据对顶角相等得到DOF的度数。

AB是直线（已知），AOC+COE+BOE=180（平角的定义），COE=180-AOC-BOEAOC=70，BOE=80（已知）COE=30，CD、EF相交于点O（已知）COE与DOF是对顶角（对顶角的定义）COE=DOF（对顶角相等）DOF=30。

例例2如图所示，直线AB与CD相交于O点，OE平分AOC，射线OFCD于点O，且BOF=24，求COE的度数。

OFCD，BOF=24，卓越个性化教学讲义5AOC=180-COF-BOF=180-90-24=66又OE平分AOCCOE=AOC=66=33即COE的度数为33。

以下两题和平行有关，等学习平行之后再看。

例例3如图所示，AB/EF，求证：

BCF=B+F。

过点C作CD/AB，则B=1，由平行公理还可推出CD/EF，2=F，有BCF=B+F。

过点C作CD/AB，则B=1（两条线平行，内错角相等）AB/EF（已知），CD/ABCD/EF（平行公理推论）F=2（两直线平行，内错角相等）1+2=B+F即BCF=B+F。

例例4如图所示，已知ABBC于B，EF分别交AC、BC于E、F，A+AEF=180，求证：

EFBC。

由A与AEF互补可推得AB/EF，然后由ABBC可推出EFBC。

这样就把推论两条直线垂直的问题转化成证明两条直线平行的问题。

A+AEF=180（已知）AB/EF（同旁内角互补，两直线平行）B=EFC（两直线平行，同位角相等）卓越个性化教学讲义6ABBC（已知）B=90（垂线定义）EFC=90（等量代换）EFBC（垂线定义）。

课堂练习：

一、一、平行线之间的基本图平行线之间的基本图1、如图已知，ABCD.,AFCF分别是EAB、ECD的角平分线，F是两条角平分线的交点；

12FAEC.2、已知AB/CD，此时A、AEF、EFC和C的关系又如何？

你能找出其中的规律吗？

ABEFCD33、将题变为如下图：

AB/CDABEFDC此时A、AEF、EFD和D的关系又如何？

4、如图，AB/CD，那么AECCA与、有什么关系？

ABCDEABCDEABCDEDBCAFE卓越个性化教学讲义7ABDCE二、二、两组平行线的证明题【找出连接两组平行线的角】两组平行线的证明题【找出连接两组平行线的角】1.已知：

如图，CD平分ACB，ACDE，DCE=FEB，求证：

EF平分DEB3、已知：

如图2-96,DEAO于E,BOAO,FCAB于C，1=2,求证：

DOAB.3、如图，已知EFAB，3=B，1=2，求证：

CDAB。

4、已知ADBC，FGBC，垂足分别为D、G，且1=2，猜想BDE与C有怎样的大小关系？

试说明理由.ADFBEC卓越个性化教学讲义8三、两组平行线构造平行四边形三、两组平行线构造平行四边形1已知：

如图，AB是一条直线，C=1，2和D互余，BEFD于G求证：

ABCD2、如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，1=2，C=D，求证DFAC3、如图，M、N、T和A、B、C分别在同一直线上，且1=3，P=T，求证：

M=R。

四、证特殊角四、证特殊角1、ABCD，BAC的平分线和ACD的平分线交于点E，则AEC的度数是2、ABCD，直线EF与AB、CD分别相交于E、F两点，EP平分AEF，过点F作PFEP垂足为P，若PEF300，则PFC_图7图8ABCDEF1423（第22题）21GFEDBCA卓越个性化教学讲义9MNADBCb21aE3、如图，已知：

DEAC，CD平分ACB，EF平分DEC，1与2互余，求证：

DGEF.4已知：

如图，ABDE，CM平分BCE，CNCM求证：

B2DCN5.如图已知直线ab，AB平分MAD，AC平分NAD，DEAC于E，求证：

1=24、求证：

三角形内角之和等于180五、寻找角之间的关系五、寻找角之间的关系1、如图2-97,已知：

1=2，3=4，5=6.求证:

ADBC.2、已知，如图，BCE、AFE是直线，ABCD，1=2，3=4。

ADBE。

ADBCEF1234卓越个性化教学讲义103如图12，ABD和BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，1+2=90求证：

（1）ABCD；

（2）2+3=90六、翻折六、翻折1、如图1，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D，C的位置若EFB55，则AED的度数为。

2、如图2，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250，则B的度数等于。

EDBCFCDA图13、如图

（1），已知矩形ABCD，将BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为C，若ADC=20，则DBC=的度数为_。

ABCD第16题C44、如图，在RtABC中，C90，A20按图中所示方法将BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C处，则BDC=_5、（20102010江苏宿迁）江苏宿迁）如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中四个三角形的周长之和为6.如图是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图，再沿BF折叠成图.

（1）若DEF=200，则图中CFE度数是多少？

（2）若DEF=，把图中CFE用表示.C图图10123ABDFEA12BC（第1题）CADCB20卓越个性化教学讲义11七、综合证明：

七、综合证明：

1已知，如上左图，ADBC，DAAB，DB平分ADC，ABD30，求C的度数.2已知，如上中图，DBFGEC，ABD60，ACE36，AP平分BAC，求PAG的度数.3已知，如上右图，AD平分BAC，点F在BD上，FEAD交AB于G，交CA的延长线于E，求证：

AGEE.【作业作业】1.如下左图，EBDC，C=E，请你说出A=ADE的理由。

2.如上中左图AD是EAC的平分线