天津大学应用泛函分析2012-2013期末样题资料下载.pdf

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天津大学应用泛函分析2012-2013期末样题资料下载.pdf

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（）5设X是一个复数域上的线性空间,对任意的x,yX,二元函数（x,y）满足条件:

关于第一变元是线性的,（x,y）=（y,x）,则（X,）是一个内积空间。

（）6.同一线性空间X上定义两个范数形成不同的赋范线性空间。

（）7.两个线性同构的有限维空间它们线性无关元的个数相同。

（）8内积空间是赋范线性空间，内积空间的范数满足等式|x+y|2+|xy|2=2（|x|2+|y|2）。

（）9设X是内积空间,AX,则A是X的闭子空间。

（）10.设赋范线性空间X的映射F是连续的是指:

对任意的xn,若limnxn=x，则limnF（xn）=F（x）。

（）11赋范线性空间X是Banach空间的充分必要条件是:

任意绝对收敛级数都收敛。

（）12具有Schauder基的Banach空间一定是可分的。

（）13.设X是任一内积空间,xkX,k=1,2,n,若xkxj,k,j则有|nk=1xk|2=nk=1|xk|2。

（）14.内积空间中任何线性无关系x1,x2,xn都可通过正交化得到一个标准正交系。

（）15.设,是线性空间X上的等价范数,则（X,）与（X,）有相同的完备性。

（）16.设X,Y是赋范线性空间，算子T:

（X,）（Y,）是连续的,当且仅当T将X中的有界集映为Y中的有界集。

（）17.设X,Y是赋范线性空间，有界线性算子T:

XY的零空间N（T）是闭子空间。

（）18.设X,Y是赋范线性空间,若X是完备的,则B（X,Y）是完备的。

（）19.设X,Y是赋范线性空间,TB（X,Y）.如果M是X中紧集,则T（M）是Y中的紧集。

（）20.设n（x）,n0空间L2a,b的正交多项式,则n（x）在（a,b）上有n个零点。

（）第一节20122013学年第一学期考试试题参考解答3二、填空题（共10分,每小题1分）1.设X是赋范线性空间,MX,M是闭集是指（若序列收敛，则其极限点也在M中）.2.在赋范线性空间X中,集合AX是完备集是指（A按照X中的范数是Banach空间）.3.设M是内积空间X的完备子空间,xX,若存在x0M使得|xx0|=d（x,M），则x0是（x在M上的正交投影或最佳逼近元）.4.设X是赋范线性空间,若X是有限维空间的充要条件是（X中的（任何）有界集是列紧集）.5.Mnn（C）是方阵组成的线性空间,|其上定义的范数.如果|满足条件|AB|A|B|,则称|是（方阵范数）.6.设X是线性空间,（x）是X是定义的泛函,（x）称为范数是指它满足（范数公理约定的三条性质）.7.设赋范线性空间（Ca,b,|）,则算子f（x）=batx（t）dt的范数是（ba|t|dt,写成12（b2a2）也算对）。

8.设X是复内积空间,则极化恒等式为：

x,yX，（x,y）=14|x+y|2|xy|2+i（|x+iy|2|xiy|2）.9.设F=ek,kN是Hilbert空间H的标准正交系,则Parseval恒等式成立的充要条件是:

F是H的（完全标准正交系）.10.设X,Y是同一数域K上的线性空间，设T:

XY是线性算子,若sup|x|=1|Tx|,则T是（有界线性算子）.三三三、证明（本题10分）设C1a,b是表示闭区间a,b上一次连续可微函数组成的集合,它按照通常函数的加法与数乘成为线性空间。

设（x）,（x）是a,b上的正连续函数，在C1a,b定义二元泛函（f,g）=ba（x）f（x）g（x）+（x）f（x）g（x）dx验证（f,g）满足内积公理,并写出内积导出的范数以及Cauchy-Schwartz不等式。

证明:

1）关于第一变元的线性性：

a,bC,h,f,gC1a,b（3分）（af+bh,g）=ba（x）af（x）+bh（x）g（x）+af（x）+bh（x）g（x）dx=a（f,g）+b（h,g）.2）对称性:

（f,g）=（g,f）（3分）3）正定性:

（f,f）=ba（x）|f（x）|2+|f（x）|2dx0,如果（f,f）=0,那么有（x）|f（x）|2+（x）|f（x）|2=0.由于（x）,（x）都是正函数,则有|f（x）|=|f（x）|=0,因此,f（x）0.（3分）4第一章应用泛函分析历年考试题参考解答由内积导出的范数|f|=（f,f）=（ba（x）|f（x）|2+（x）|f（x）|2dx）12.则内积满足的不等式为（1分）?

ba（x）f（x）g（x）+（x）f（x）g（x）dx?

2（ba（x）|f（x）|2+（x）|f（x）|2dx）（ba（x）|g（x）|2+（x）|g（x）|2dx）四四四、计计计算算算题题题（本题有二题,共15分）1.（7分）设E表示0,1中的所有无理数组成的集合,求极限limnEsinx2nxn（1+|sinn2x|2）dx要求说明每一步的理由解：

（R3,|2）（R3,|2）的矩阵为002021300第一节20122013学年第一学期考试试题参考解答5试求A的算子范数|A|2.解:

求AHA有AHA=003020210002021300=900042025（2分）考虑特征方程|EAHA|=?

900042025?

=（9）（4）（5）4=（9）（4）2（4）4（2分）特征方程的零点为1=9,2=92+172,3=92172.（2分）所以r（AHA）=9,从而|A|2=3.（2分）五五五、计计计算算算（本题共10分）设L20,1是实Banach空间.设函数f由下式给出f（x）=1,12x110x12在中求f1）求函数f在P40,1最佳四次最佳平方逼近;

2）并求误差的平方2.解解解令x=t2+12,t1,1,（1分）F（t）=f（t2+12）=1,0t111t1,但对h=12（bx）2+（xa）2有|K（h）|=maxxa,bbak（x,y）h（y）dy1。

在给定条件下T不是压缩映射。

（2分）对xa,b,积分T2w（x）T2u（x）=baK（x,s）Tw（s）dsbak（x,s）Tu（s）ds=bak（x,s）Tw（s）Tu（s）ds=bak（x,s）K（wu）（s）ds=K2（wu）（x）.考虑算子K2f|K2f（x）|bak（x,y）|Kf（y）|dybak（x,y）（by）22+（ya）22|f|类似于前面估计|K2|maxxa,bba（bak（x,y）（by）22+（ya）22ds.由假定条件|K（h）|=maxxa,bbak（x,y）12（by）2+（ya）2dy1.所以T2是压缩映射。

（3分）根据压缩映射定理T存在唯一不动点fCa,b.所以f（x）满足方程f（x）bak（x,s）f（s）ds=g（x）.（1分）

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