胡杰导数极限论上文档格式.docx
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ex≥ex；
0时，求证：
ex>
x2；
xe22
（3）当x>
e
≥x；
xx43
（4）当x>
e>
；
33
6.（2014年福建高考）已知函数f（x）=ex-ax的图像与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A点处的切线的斜率为-1，
（1）求a的值；
（2）证明当x>
0时，x2<
ex；
（3）证明：
对任意给定的正数c，总存在x，使得当x∈（x,+∞），恒有x2<
cex；
00
【题型3含lnx不等式降阶理论】
7.
（1）当x>
lnx≤x；
lnx<
x；
2；
33x；
8.已知函数f（x）=
x2
x+m
（m>
0）
（1）若存在x>
0使f（x）=xln（x+m），求实数m的取值范围；
存在实数x0，当x>
x0时，f（x）>
2lnx；
【题型4含ex不等式反向理论】
9.
（1）当x<
ex<
-1
（2）当x<
1时，求证：
ex
x1
；
1-ex
（3）当x<
2时，求证：
ex≤
2-x
10.（2016年全国乙卷）已知函数
（1）求a的取值范围；
f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点，（其中a>
【题型5含lnx不等式反向理论】
11.
（1）当x>
lnx>
-1；
-2x2；
1；
-1x
2
12.已知函数f（x）=ax-1-（a+1）lnx，若1<
a<
1，判断函数y=f（x）+a+1的零点个数；
xe
第02讲导数极限论之基本功概述
（2）
【题型6泰勒中值定理的理论】
xx2
1.
（1）当x≥0时，求证：
e≥1+x+；
2x2
（2）当x≥0时，求证：
ln（1+x）≥x-；
x32
（3）已知x≥0，求证：
sinx≥x-；
x62
（4）已知x≥0，求证：
cosx≥1-.
2.
（1）（2015北京）已知函数f（x）=ln
1+x
1-x
，求证：
当x∈（0,1）时，f（x）>
2⎛x+
⎝
x3⎫
⎪；
⎭
（2）（2016全国）证明当x>
0时，（x-2）ex+x+2>
（3）已知x>
0，求证：
ln
ex-1
>
x.
3.已知函数f（x）=x+lnx与g（x）=3-2的图像在点（1,1）处有相同的切线，
（1）若函数y=2（x+n）与y=f（x）的图像有两个交点，求实数n的取值范围；
（2）设函数H（x）=f（x）-ln（ex-1），x∈（0,m），求证：
H（x）<
m.
4.已知函数f（x）=
ln（x-a）x
（1）若a=-1，证明：
函数f（x）是（0,+∞）上的减函数；
（2）若曲线y=f（x）在（1,f
（1））处的切线与直线x-y=0平行，求a的值；
ln（x+1）
ex-1.
5.已知函数f（x）=eax-1+ln（x+1）
（1）若函数f（x）在区间（-1,+∞）内单调递增，求a的取值范围；
（2）当0<
a≤1，且x>
2ax（f（x）>
f（ln（x+1）））
【题型7洛必达法则端点效应恒成立问题理论】
6.（2011长春模拟）已知函数f（x）=e
--ax-1，
（1）当a=0时,求曲线y=f（x）在（0,f（0））处的切线方程；
（2）当x≥0时，若关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围.
7.（2010新课标全国理21）设函数f（x）=ex-1-x-ax2
（1）若a=0，求f（x）的单调区间；
（2）对∀x≥0，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围.
【题型7对数均值不等式与指数均值不等式】
8.
（1）若a>
0，b>
0，且a≠b，求证：
<
a-b
a+b；
（对数平均不等式）
a+b
elnaa--eblnbea+e2b
（2）若a>
e2
<
a-b
.（指数平均不等式）
9.（2011年辽宁理科21）已知函数f（x）=lnx-ax2+（2-a）x．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设a>
0，证明：
0<
x<
1时，f⎛1+x⎫>
f⎛1-x⎫；
aç
a
⎪ç
a⎪
⎝⎭⎝⎭
（3）若函数y=f（x）的图像与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x0，
证明：
f'
（x）<
0.
10.（2018全国1）已知函数f（x）=1-x+alnx．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x，x，证明：
f（x1）-f（x2）<
a-2．
x1-x2
11.（自编）已知函数f（x）=
1+ax2
ex
（a>
（2）若f（x）存在两个极值点x，x，记g（x）=x，证明：
g（x1）-g（x2）>
e.
12f（x）
x1-x22a
xbex-1
第03讲利用导数证明函数不等式
1.（2014新课标1理21）设函数f（x）=aelnx+，曲线y=f（x）在点（1,f
（1））处的
切线为y=e（x-1）+2，
（1）求a,b；
【答案：
a=1，b=2】
1.
2.已知函数f（x）=lnx+a（a>
（1）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；
当a≥2，b>
1时，f（lnb）>
eb
3.设函数f（x）=aex-xlnx，
（1）若f（x）是（0,+∞）上的增函数，求a的取值范围；
（2）若a≥
2，证明：
e2
4.已知f（x）=ex-ax2，曲线y=f（x）在（1,f
（1））处的切线方程为y=bx+1．
（1）求a，b的值；
a=1，b=e-2
（2）求f（x）在[0,1]上的最大值；
当x>
0时，ex+（1-e）x-xlnx-1≥0．
5.已知函数f（x）=ex-alnx-a，其中常数a>
0
（1）当a=e时，求函数f（x）的极值；
（2）若函数y=f（x）有两个零点x,x（0<
x
x），求证：
1<
a；
1212
（3）求证：
e2x-2-ex-1lnx-x≥0.
a12
6.
已知函数f（x）=lnx+k，曲线y=f（x）在点（1,f
（1））处的切线与x轴平行，
（1）求k的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）记g（x）=（x2+x）f'
（x），证明：
对任意x>
0，g（x）<
1+e-2.
7.已知函数f（x）=e-x（lnx-2k），曲线y=f（x）在点（1,f
（1））处的切线与y轴垂直。
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设g（x）=
1-x（lnx+1）
，对任意x>
（x+1）g（x）<
x+ex-2.
8.已知函数f（x）=ln（x+1）-bx2+a-1，g（x）=（bx2-1）ex+1x+a，（a,b∈R）且f（x）
在点（1,f
（1））处的切线方程为y=-1
21
（1）求实数a,b的值；
a=1，b=
（2）若x≥0，求证：
f（x）≤g（x）.
b
x+ln2，
9.已知函数f（x）=a+lnx，若曲线f（x）在点（e,f（e））处的切线与直线e2x-y+e=0垂
直，
（1）若f（x）在（m,m+1）上存在极值，求实数m的取值范围；
a=1
（2）求证：
1时，
f（x）>
2ex-1
e+1（x+1）（x2e（xe+x1+）ex-1）
（3）求
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