下册第五章第57节角平分线的性质等腰三角形等边三角形Word文档下载推荐.docx
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二.重点、难点：
重点：
角平分线的性质与应用，利用等腰三角形的性质进行计算与推理，等腰三角形的判定，等边三角形的性质，等边三角形的性质与判定的运用。
难点：
角平分线的性质运用，等腰三角形的边与角没有指明具体情况时往往要分底边、腰与底角、顶角的两种情况讨论解题，等腰三角形与等边三角形的判定。
知识要点：
1.角平分线定义
把一个角分成两个相等的角的射线叫作角的平分线。
2.角平分线的性质
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
3.角平分线性质的应用
三角形两内角的平分线的交点到三角形三边的距离相等。
说明：
三角形三个角的平分线交于一点，这点叫三角形的内心，三角形内心到三角形三边距离相等。
4.等腰三角形的有关概念
有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。
等腰三角形中，相等的两边都叫作腰，另一边叫作底。
两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角。
5.等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线与底边上的高互相重合，简称“三线合一”。
（2）等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线（或底边上的中线或底边上的高线）所在的直线或底边上的垂直平分线都是它的对称轴。
（3）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
6.等腰三角形的判定
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形
（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）
7.等边三角形的概念
三边相等的三角形叫等边三角形，又叫正三角形。
8.等边三角形的性质
（1）等边三角形各个内角都相等，并且每一个内角为60°
。
（2）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，是每一边上的垂直平分线。
9.等边三角形的判定
（1）有三条边相等的三角形是等边三角形
（2）三个角都是60°
的三角形是等边三角形
（3）有一个角等于60°
的等腰三角形是等边三角形
【典型例题】
例1.如图1，△ABC中，BE是△ABC的角平分线，且DE//BC，试证明△DBE为等腰三角形。
分析：
证明△DBE为等腰三角形，则要证△DBE中有角相等，边相等，而由已知BE为△ABC的平分线则产生角相等，由平行也可产生角相等，因此可由已知推出角相等，得到边相等。
证明：
∵BE为△ABC的角平分线
∴∠DBE＝∠EBC
又∵DE//BC
∴∠DEB＝∠EBC
∴∠DEB＝∠DBE
∴DB＝DE
∴△DBE为等腰三角形
例2.直线AB、CD、EF表示三条相互交叉的公路，如图2所示，现要建一个中转站，使它到三条公路的距离相等，在图中画出符合条件的中转站的位置。
设它们的交点为L、M、N，如图所示：
中转站的位置可在△LMN内，也可在△LMN外，根据已知要求中转站在每两条公路交角的平分线上。
作法：
1.作∠MLN与∠MNL的平分线LH与NG，它们交于点O1
2.作∠ALM与∠LMF的平分线交于O2
3.作∠CLN与∠ENL的平分线交于O3
4.作∠BNM与∠NMD的平分线交于O4
5.图中O1，O2，O3，O4都可设为中转站
例3.
（1）已知等腰三角形有一个内角为80°
，求其他两个内角的度数。
（2）已知等腰三角形有一个内角等于100°
求等腰三角形的角，没指出是底角还是顶角，先判定它可能是什么角，该讨论的要讨论。
解：
（1）当80°
的角为顶角时，其余二个角的大小相等，都为底角，都为：
当80°
的角为底角时，其余二个角中有一个角为底角是80°
，另一个角为顶角是：
180°
－80°
×
2＝20°
答：
其他二个内角的度数为50°
，50°
或80°
，20°
（2）100°
的角只可能为顶角，则其余两角为底角，为：
其他两个内角的度数为40°
，40°
例4.如图3所示，已知AB＝AC，DB＝DC，P是AD上一点，求证：
∠ABP＝∠ACP。
此题考查等边对等角和线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，可证得角相等。
连结BC
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB
∵AB＝AC，DB＝DC
∴点A、D都在线段BC的垂直平分线上，而两点确定一条直线
∴AD是线段BC的垂直平分线
∴PB＝PC
∴∠PBC＝∠PCB
∴∠ABC－∠PBC＝∠ACB－∠PCB
∴∠ABP＝∠ACP
例5.如图4所示，已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，∠ADB>
∠ADC，试说明DB<
DC。
由AB＝AC，我们不妨将△ABD绕A点旋转到△ACE的位置，要证DB<
DC，可利用边角不等关系，证明边角不等关系有大边对大角，小边对小角，反过来大角对大边，小角对小边。
把△ABD绕点A逆时针旋转∠BAC的度数得到△ACE
连结DE，可得BD＝CE
∠ADB＝∠AEC，又AD＝AE，则∠ADE＝∠AED
又因为∠ADB>
∠ADC
即∠AEC>
则∠AEC－∠AED>
∠ADC－∠ADE
即∠CED>
∠CDE
∴在△DCE中，DC>
CE，则DC>
BD
因此DB<
DC
例6.如图5，把一张长方形纸片对折，使顶点B和D重合，折痕为EF，试说明△DEF的形状。
对于折叠后的边角进行分析，看哪些量相等，要注意观察分析，由于折痕为EF，B点与D点重合，则∠1＝∠2，BF＝DF，AE＝A’E，AB＝A’D，这里只用到∠1＝∠2判断角的关系，折叠前AD//BC，则∠1＝∠3，因此得∠2＝∠3，可判定△的形状。
根据折叠性质知∠1＝∠2
∵四边形ABCD为长方形，∴AD//BC
∴∠1＝∠3
∴∠2＝∠3，∴DE＝DF
∴△DEF为等腰三角形
例7.如图6，△ABC为等腰三角形，分别以两腰为边向外作等边△ABD与等边△ACE，已知∠DAE＝∠DBC，求△ABC的三个内角的度数。
在已知边的相等关系求角的题目中，要灵活运用等腰三角形和等边三角形的性质，三角形内角和为180°
是隐含条件，要善于利用。
∵△ABD与△ACE为等边△
∴∠DAB＝∠DBA＝60°
，∠EAC＝∠ACE＝60°
∵∠DAE＝∠DBC
∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠EAC
∠DBC＝∠DBA＋∠ABC
∴∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝∠DBA＋∠ABC
即60°
＋∠BAC＋60°
＝60°
＋∠ABC
则∠BAC＋60°
＝∠ABC
∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB
∴∠ABC＝∠ACB＝60°
＋∠BAC
而∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°
∴∠BAC＝20°
∠ABC＝∠ACB＝80°
例8.已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°
，请你设计三种不同的分法，将△ABC分割成3个三角形，使每个三角形都是等腰三角形（要求标出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数）
这类题与传统的作图题比较，符合题意的答案多种多样，开放性强，转换不同的角度，依据不同的知识点可设计几种方案。
如图所示几种分割方法：
再想一想，还有其他分割方案吗？
【模拟试题】
（答题时间：
30分钟）
一.填空
1.角的对称轴有____________条，是它的____________。
2.如图，射线OC平分∠AOB，E为射线OC上一点，ED⊥OA，EF⊥OB，则有____________，因为____________。
3.等腰三角形两边长分别为4cm，6cm，则第三边为____________。
4.等腰三角形的一个角为66°
，则另外两角的度数为____________。
5.一个等腰三角形的顶角为钝角，则底角α的范围应为____________。
6.等腰三角形的角平分线，中线，高共有____________条线段。
7.在△ABC中，AB＝AC，∠A＋∠B＝115°
，则∠A＝____________，∠B＝____________。
8.等腰三角形的一边长为4cm，周长为10cm，则另外两边长为____________。
9.等腰三角形底边上的一点到两腰的距离之和等于____________。
10.有一个角为60°
的____________为等边三角形。
11.在等边三角形中两条中线相交所成的钝角的度数为____________。
12.若一个三角形任何一边上的高线都平分该边，则它是____________三角形。
二.解答证明题
1.如图所示，△ABC的两个外角的平分线交于P，PE⊥AB，PF⊥AC，试证明，PE＝PF。
2.等腰三角形ABC中，腰AC上的中线BD把三角形的周长分为12cm和15cm两部分，求此三角形各边的长。
3.如图所示，△ABC为等边三角形，∠1＝∠2＝∠3，求∠BEC的度数。
【试题答案】
1.1角平分线
2.ED＝EF角平分线上的点到角的两边距离相等
3.4cm或6cm
4.66°
和48°
或57°
和57°
5.
6.3条或7条
7.50°
65°
8.4cm和2cm或3cm和3cm
9.此等腰三角形一腰的高的长
10.等腰三角形
11.120°
12.等边
二.解答题
1.证明：
过P点作PG⊥BC，垂足为G
∵∠1＝∠2
PE⊥AB，PG⊥BC
∴PE＝PG
同理可证PF＝PG
∴PE＝PF
2.解：
（一）如图
（1）当腰大于底时，设腰为xcm，底为ycm，则有
（1）
解之
（二）如图
（2），当腰小于底时，设腰为x1cm，底为y1cm，则有
（2）
三角形三边长分别为10cm，10cm，7cm或8cm，8cm，11cm。
3.解：
∵△ABC为等边三角形
∴∠ACB＝60°
∵∠FED＝∠1＋∠FCB＝∠2＋∠FCB＝60°
∴∠BEC＝120°
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