证明三点共线问题法Word格式.docx
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AD
即——=——;
又=ADAM,
AHAM
所以AAMH-AADM,故ZAHM=ZAMD
同理，ZAHN=ZAND。
因为ZAHM+ZAHN=ZAMD+ZAND=180°
所以，M、H、N三点共线。
3、利用面积法
若是沐曰使=*旳jw点已、F位于直线MN的异侧，则直线MN平分线段
EF,即M、N与EF的中点三点共线。
例3.如图，延长凸四边形ABCP的边AB、DC交于点E,延长边AD、BC交于点F,又M、N、L别离是AC、BD、EF的中点，求证：
M、N、L三点共线。
E
设BC的中点为0,辅助线如图所示，
由OM//AE.ON〃DE可知，点、0必在AEMN内,此时,
S\EMN=SSOMN+S\OME+S\ONE
—Sgwv+SgMB+SgNC=S^BMN
=y（孔BMD+S^BCD）=y（孔BMC+SDMC）=j•亍（$1ABC+SADC）_'
四边J^ABCD同理，S列N=tS四边形AB8。
因此S曲JN=*MN
此时，直线MN平分EF,即M、N、L三点共线。
4、利用同一法
虽然同一法是一种间接证法，但它却是一各很有效的证法，观察例4后，你
会感到，同一法在证明三点共线问题时，也有其用武之地。
例4.如图4（d）,凸四边形ABCD的四边皆与©
0相切，切点别离为P、M、Q、
N,设PQ与MN交于S,证明：
A、S、C三点共线。
证明:
如图4（b）,令PQ与AC交于S'
易证ZAPS/^ZCQS/互补。
而ZAS（P=ZCSI（Q,则
ASf_sinZAPS7_sinZCQS;
_SfCAP一sinZASfP一sinZCSfQ一~CQ
故筹吩。
再令心兀交于贰同理可得需二需
因此，AS，=ASJ可判定厂与S〃必重合于点S,故A、S、C三点共线。
注：
观察图形，还可证得B、S、D三点共线；
换言之，AC、BD、PQ、MN四线共点。
五、利用位似形的性质
若是A4BC与zVTBC是两个位似三角形，点0为位似中心，那么不仅A、A/、
0；
B、B"
、0；
C、C\0别离三点共线，而且AA3C、WC的两个对应点与
位似中心0也三点共线，位似形的这种性质，对于证明三点共线，很是有效。
例五、如图，WC内部的三个等圆©
02、©
6两两相交且都通过点
P，其中每两个圆都与AA8C的一边相切，已知0、I别离是AABC的外心、心里,证明：
I、P、0三点共线。
联结002、003、。
2。
3。
由已知得
O\O』AB、OQJBC、OQ/CA。
可判定A4BC与gOO是一对位似三角形，
且易知AABC的心里I是二者的位似中心。
因为00,.00、为等圆，即PO\=PO?
=PO、,
所以点卩是厶OQO的外心。
乂点0是AABC的外心，故P、0两点是两个位似三角形的对应点，利用位似形的性质，即得I、P、0三点共线。
6.利用反证法
有的儿何题利用直接证法很难，而用反证法却能很快达到预期LI的。
DCRP?
P\P\P?
P\R、P2/>
aPXEX丄BCE}P2E2丄BCE2丄ADRP2F2丄AD
F2P}P2PlEl+P]Fl=P2E2+P2F2P\P?
P\PP'
F?
P2PRdPlEl-P2E2=P2F2-PiF}
PxH=P2G\PRP?
PlH=P2GAPRRZPRP]=ZPRR
乙DMN=ZPP\P’=ZPP》P\=ZCNMP,RP》P、PRPRMlN'
N'
P、P,
ZDM'
N'
=ZCNM/DM，N‘>
ZDMN=ZCNM>
ZCNMP3P}P2PxP2P.
APAB〜APCD,MFC〜APBF,HPDE〜APEA
ABFCDEPAPCPE
——•——・——=——・一・——=1AB・FC・DE=BF・CD・EAMBCAB>
BC>
CACDBFEAPCPFPA
NBPA，BY明：
P、K、L三点共线。
（提示：
设第一组垂线的垂足为M、N,第二组垂线的垂足为X、Y,寻证MNAKMVALXYZA+ZB=120°
AACP、NBQD.氐CDRK!
K'
D,E别离为内切圆I与边BC,CA的切点，求证：
三点D,H,E共线.
解法一：
四点共圆法
■
连接Al,DI,EbEH,DH
VZAEI=ZAHI=90°
AA,I,E,H四点共圆.\ZIEH=ZIAH,乂TIE二IDAZIEH=ZIAH=ZIDH乂TZIBD+ZBID二90°
BI平分ZABC
AZABI+ZIHD+ZIDH=90°
ZABI+ZBAI+ZIAH=90°
•••ZIHD=ZBAI=ZIAE,AD,H,E共线
解法三：
三角形心里性质（同一法）
连接DE,EH,AbEI
VA,I,H,E四点共圆,AZAIB=AEH,
乂TI为Z\ABC的心里，AZAIB=ZAEH=90°
+ZC/2,
乂TCD二CE・・・ZDEC二90°
・ZC/2,
AZDEC+AEH=90°
•'
•H在DE±
AD,H,E共线
解法四：
利用梅涅劳斯定理逆定理
连接DH,EH,延长BH交AC于G,过G作GK〃BC,交EH于K,若BD/DC*CE/EG*GH/HB=1,即可证D,H,E共线；
要证BD/DC*CE/EG*GH/HB=1VDC=CE
即证BD/EG二BH/GH,即证BD/BH二EG/GH
•・・GK〃BC,ACED为等腰三角形AEGK也为等腰三角形AEOKG
乂・・•△KGHs△DBH・•・BD/BH二KG/GH
・•・BD/BH二EG/GH；
2.如图，在菱形ABCD中，ZA=120°
00为AABC的外接圆，M为菱形外一点，连接MC交AB于E,AM交BC的延长线.
求证：
点M在。
0上U〉点D,E,F共线
三角形相似
连接AC,DF,DE
TM在00上，AZ^iC=ZAB（=ZACB=eOQ
・•・AAMC^AACF；
・・・MC/MA二CF/CA二CF/CD；
乂TZAMC二ZBAC,AAAMC^AEAC,
・•・MC/MA二AC/AE二AD/AE,CE/CD二AD/AE；
又VZBAD=ZBCD=120°
AACFD^AADE,AZADE=ZDFBoVAD/7BC,・・・ZADF二ZDFB二ZADE；
AF,E,D三点共线。
解法二：
连接AC,MB,EF,EDo在ZUBC中，若能取得：
AN/NC*CF/FB*BE/AE二1那么F,E,D三点共线。
X•・•ANCD^ANAE二AN/CN二AE/CD二AE/AB
・•・只需证CF/AB*BE/BF二1
乂•・•AABM^AAFBBM/BF二AB/AF①
AABF^ACMF・・.BF/MF二AF/CF②
山①*②得：
BM/MF二AB/CF,二只需证MF/BM*BE/BF=1即证BE/BM二BF/MF
乂VA,C,B,M四点共圆，・•・ZFMB二ZACB二ZBAC二ZBMC二60°
乂IZEBM二ZBFMANffiEsANIFB
•••BE/BM二BF/MFAF,E,D三点共线。
3.如图，0,H别离是锐角AABC的外心和垂心，D是BC边的中点，山H向ZA及其外角平分线作线，垂足别离是E,F.求证：
三点D,E,F共线。
连接0D并延长交。
0于M,连接FE,AH相交于G,连接DE,0A
TD为BC中点，AE为ZBAC平分线，・・.AE延长必过M,即A,E,M共线•・•四边形AEHF为矩形，・•・AOEG
乂V0A=0M,H为ZkABC垂心AAH/ZOM
・•・ZEAG=ZOMA・•・ZAEG二OAMZ.EG//AO
乂•・•垂心到三角形一极点距离等于此三角形外心到此极点对边距离的2倍。
・・・AH=20D・・・0D=AG
又・・•已证AG〃OD,・•・四边形AGDO为平行四边形，ADG^OA
・••点D,E,F共线
证点共线问题
1.自圆上一点引三弦，并以它们各为直径画圆。
求证：
所画三圆的其他三交点共线。
（SalmonP定理）证：
设三交点为x、y、z,连Px、Pz、xy、yz,则Z1二Z二Z3=Z4,
乂不难证得：
X、A、B共线；
（TZPxA二90°
、ZPxB二90°
。
）
A、y、C共线；
B、z、C共线。
.\Z5=Z6O
又Z2+Z5二90°
、Z4+Z6二90°
AZ2=Z4,即Zl=Z3o
•：
x、y、z共线。
2•—直线截三边BC、CA、AB或其延长线于X、Y、Z。
试证：
这三点的等截点X'
、厂、Z，共线。
（在三角形任一边所在直线上设有两点与此边中点等
距离，则称这两点互为等截点）
证:
VX>
Y、Z共线
••罟•挣薯1（梅涅劳定理）
XB7AYC
注：
•••XB二X'
C、X'
B二XC、Z'
B二ZA、Z'
A二ZB、厂A二YC、厂C二YA。
•••据梅涅劳定理得JT、厂、Z，共线。
3.三角形的外角平分线各与对边（所在直线）的交点共线。
已知：
AABC的ZA.ZB、ZC的外角平分线别离交对边（所在直线）于X、Y、Zo求证：
X、Y、Z共线。
证：
据三角形的外角平分线定理得:
兰=竺①
XBAB
空=竺②
ZAAC
空③
XC
ZB
YA
AC
BC
AB
Z4
YC
YCBC
①X②X③得：
乂据梅涅劳定理可知：
4•三角形两角的平分线及第三角的外角平分线各与对边（所在直线）的交点共线。
AABC的ZA、ZB的平分线交对边于X.Y,ZC的外角平分线交对边
所在直线于Z。
X、Y.Z共线。
据三角形的内角平分线和外角平分线定理得:
XCACYCBC
YAAB
ZBBC
XBYCZAAB
A
XCYAZBAC
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