0020算法笔记动态规划最优二叉搜索树问题Word文档下载推荐.docx
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在一个表示S的二叉树T中，设存储元素Xi的结点深
度为Ci;
叶结点（xj,xj+0的结点深度为dj。
nn
厂孕（1+处剳同
注：
在检索过程中，每进行一次比较，就进入下面一层，对于成功的检索，比较的次数就是所在的层数加1。
对于不成功的检索，被检索的关键码属于那个外部结点代表的可能关键码集合，比较次数就等于此外部结点的层数。
对于图的内结点而言，第0层需要比较操作次数为1，第1层需要比较2次，第2层需要3次。
p表示在二叉搜索树T中作一次搜索所需的平均比较次数。
P又称
为二叉搜索树T的平均路长，在一般情况下，不同的二叉搜索树的平均
路长是不同的。
对于有序集S及其存取概率分布（ao,b1,a1,bn,an）,
在所有表示有序集S的二叉搜索树中找出一棵具有最小平均路长的二叉搜索树。
设Pi是对ai检索的概率。
设qi是对满足ai<
X<
ai+1,0<
=i<
=n的标
识符X检索的概率，（假定a0=-—^且an+1=+^）。
对于有n个关键码的集合，其关键码有n!
种不同的排列，可构成的不同二叉搜索树有瓏+1"
棵。
（n个结点的不同二叉树，卡塔兰数）。
如何评价这些二叉搜索树，可以用树的搜索效率来衡量。
例如：
标识符集{1,
2,3}={do,if,stop}可能的二分检索树为:
（a）（b）
若P1=0.5,P2=0.1,P3=0.05,q0=0.15,q1=0.1,q2=0.05,q3=0.05
求每棵树的平均比较次数（成本）。
Pa（n）=1Xp1+2p2+3和3+1qo+2Xq1+3Xq2+q3）=1
Pa（n）=1.5O
0.5+2）0.1+30^05+1区05+2>
0.1+3«
0.05+0.05）=1.5
Pb（n）=1
Xp1+2
p3+3
祁2+1
q0+2>
q3+3«
q1+q2）=1
X
0.5+2）0.05+3
。
为+1
0<
15+2>
0.05+30.1+0.05）=1.6
Pc（n）=1
Xp2+2
（p1+
p3）+2
（q0+q1+q2
+q3）=10.1+2
（0.5+0.05）
+2（0.15+0.1+0.05+0.05）=1.9
Pd（n）=1
Xp3+2
莎1+3
q3+2>
q0
+3和1+q2）=1
0.05+2
区5+3
0.1+1
0^5+2
0.15+3
（0.1+0.05）=2.15
Pe（n）=1
p2+3
>
p1+1
q2
+3和0+q1）=1
K1+3
区5+1
0d5+3
（0.15+0.1）=2.85
因此，上例中的最小平均路长为
可以得出结论：
结点在二叉搜索树中的层次越深，需要比较的次数就越多，因此
要构造一棵最小二叉树，一般尽量把搜索概率较高的结点放在较高的层次。
2、最优子结构性质：
假设选择k为树根，则1,2,…,-1和ao,a1,…,on都将位于左
子树L上，其余结点（k+1,…,n和ak,ak+i,…,a）位于右子树R上。
设COST（L）和COST（R）分别是二分检索树T的左子树和右子树的成
若T
本。
则检索树T的成本是：
P（k）+COST（L）+COST（R）+
是最优的，则上式及COST（L）和COST（R）必定都取最小值。
证明：
二叉搜索树T的一棵含有顶点Xi,…，Xj和叶顶点（xi-1,
Xi）,••,•（Xj,Xj+1）的子树可以看作是有序集｛Xi,•,Xj｝关于全集为｛Xi-1,
Xj+1｝的一棵二叉搜索树（T自身可以看作是有序集）。
根据S的存取分
布概率，在子树的顶点处被搜索到的概率是:
i<
kij｛Xi，…,Xj｝的存储概率分布为｛ai-1,bi,…,
bj,aj｝，其中，ah,bk分别是下面的条件概率:
瓦=加/%i£
k<
j;
5^=鶴/\片・U幻'
Zo
设Tij是有序集｛xi,…,Xj｝关于存储概率分布为｛ai-1,bi,…,baj｝的一
棵最优二叉搜索树，其平均路长为pij,Tij的根顶点存储的元素Xm,其左
子树Tl和右子树Tr的平均路长分别为Pl和Pr。
由于Tl和Tr中顶点深度是它们在Tij中的深度减1，所以得到:
左子樹
（右子树、
｛的搜索丿
叫Pij=n（P£
+1丿+⑷脱++1丿
=5+叫卄1刃+'
4心几
由于Ti是关于集合｛Xi,•,Xm-1｝的一棵二叉搜索树，故Pl>
=Pi,m-1。
若Pl>
Pi,m-1，贝y用Ti,m-1替换Tl可得到平均路长比Tij更小的二叉搜索树。
这与Tij是最优二叉搜索树矛盾。
故Ti是一棵最优二叉搜索树。
同理可证
Tr也是一棵最优二叉搜索树。
因此最优二叉搜索树问题具有最优子结构
性质。
3、递推关系:
根据最优二叉搜索树问题的最优子结构性质可建立计算pij的递归
式如下:
叫jPij=⑰+（殳；
专山41+叫i<
J
t）..1=01V/M打
初始时：
如75
记wi,jpi,j为m（i,j）,则m（1,n）二wi,npi,n=pi,n为所求的最优值。
计算m（i,j）
的递归式为:
川（A7）=、耳了+mill斤一1）+ni{k+1,/）},i£
°
i<
j
川亿f-1）=ai=12
4、求解过程:
Ttn+1][n]
1）没有内部节点时，构造T[1][0],T[2][1],T[3][2]
2）构造只有1个内部结点的最优二叉搜索树T[1][1],T[2][2]
T[n][n]，可以求得m[i][i]同时可以用一个数组存做根结点元素为:
T[n][n],
（起止下标的差）
T[1][1],T[2][2]
n-1T[1][n]
具体代码如下:
[cpp]viewplaincopy
//3d11-1最优二叉搜索树动态规划
#include"
stdafx.h"
#include<
iostream>
usingnamespacestd;
double**w）;
9.
void
Traceback（intn,inti,intj,int
10.
11.
int
main（）
12.
{
13.
double
a[]={0.15,0.1,0.05,0.05};
14.
b[]={0.00,0.5,0.1,0.05};
15.
16.
coutvv
"
有序集的概率分布为：
vvendl;
17.
for（int
i=0;
ivN+1;
i++）
18.
19.
a"
vvivv"
="
vva[i]vv"
b"
20.
}
21.
22.
**m=newdouble*[N+2];
23.
int**s
=newint*[N+2];
24.
**w=newdouble*[N+2];
25.
26.
ivN+2;
i++）
27.
28.
m[i]=
newdouble[N+2];
29.
s[i]=
newint[N+2];
30.
w[i]=
31.
32.
33.
OptimalBinarySearchTree（a,b,N,m,s,w）;
34.
二叉搜索树最小平均路长为：
--
35.
构造的最优二叉树为：
36.
Traceback（N,1,N,s,0,'
O'
）;
37.
38.
39.
40.
deletem[i];
41.
deletes[i];
42.
deletew[i];
43.
44.
delete
[]m;
45.
[]s;
46.
[]w;
47.
return
0;
voidOptimalBinarySearchTree（
8.
<
"
vvb[i]vvendl;
vvm[1][N]vvendl;
**s,intf,charch）;
doublea[],doubleb[],intn,double**m,int**s,
50.voidOptimalBinarySearchTree（
doublea[],doubleb[],
double**w）
51.
52.
//初始化构造无内部节点的情况
53.
for（inti=0;
=n;
54.
55.
w[i+1][i]=a[i];
56.
m[i+1][i]=0;
57.
58.
59.
for（intr=0;
r<
n;
叶+）
//r代表起止下标的差
60.
61.
for（inti=1;
=n-r;
i++）//i为起始元素下标
62.
63.
intj=i+r;
//j
为终止元素下标
64.
65.
//构造T[i][j]
填写w[i][j],m[i][j],s[i][j]
66.
//首选i作为根，
其左子树为空，右子树为节点
67.
w[i][j]=w[i][j-1]+a[j]+b[j];
68.
m
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