题型全归纳与高效训练突破专题62 等差数列及其前n项和解析版0Word下载.docx

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Sn＝na1＋d＝、3、等差数列运算问题的通性通法

（1）等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程（组）求解、

（2）等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题、　

4、等差数列设项技巧若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a－d，a，a＋d；

若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元（注意此时数列的公差为2d）、

【例1】

已知等差数列{an}中，a1＋a4＝，a3＋a6＝，则公差d＝（

）

A、

B、

C、－

D、－

【答案】

D

【解析】

解法一：

由得解得故选

D、解法二：

由等差数列的性质知，a3＋a6＝（a1＋2d）＋（a4＋2d）＝（a1＋a4）＋4d＝，又a1＋a4＝，所以d＝－、故选

D、

【例2】

在公差不为0的等差数列{an}中，4a3＋a11－3a5＝10，则a4＝（

A、－1

B、0

C、1

D、2

C、

XXXXX：

法一：

设{an}的公差为d（d≠0），由4a3＋a11－3a5＝10，得4（a1＋2d）＋（a1＋10d）－3（a1＋4d）＝10，即2a1＋6d＝10，即a1＋3d＝5，故a4＝5，所以a4＝1，故选

C、法二：

设{an}的公差为d（d≠0），因为an＝am＋（n－m）d，所以由4a3＋a11－3a5＝10，得4（a4－d）＋（a4＋7d）－3（a4＋d）＝10，整理得a4＝5，所以a4＝1，故选

C、法三：

由等差数列的性质，得2a7＋3a3－3a5＝10，得4a5＋a3－3a5＝10，即a5＋a3＝10，则2a4＝10，即a4＝5，所以a4＝1，故选

【例3】

（2020碑林区期末）设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项a1＝________、【答案】2

由题可知3a2＝12，①（a2－d）a2（a2＋d）＝48，②将①代入②得（4－d）（4＋d）＝12，解得d＝2或d＝－2（舍去），所以a1＝a2－d＝4－2＝

2、题型二

等差数列的判定与证明

判定数列{an}是等差数列的常用方法

（1）定义法：

对任意n∈N*，an＋1－an是同一个常数、见举例说明、

（2）等差中项法：

对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－

1、（3）通项公式法：

数列的通项公式an是n的一次函数、（4）前n项和公式法：

数列的前n项和公式Sn是n的二次函数，且常数项为0、

【易错提醒】

判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断、

（2020河北衡水中学调研）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－

1、数列{bn}满足b1＝2，bn＋1－2bn＝8an、

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）证明：

数列为等差数列，并求{bn}的通项公式、【答案】见解析

（1）当n＝1时，a1＝S1＝21－1＝1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（2n－1）－（2n－1－1）＝2n－

1、因为a1＝1适合通项公式an＝2n－1，所以an＝2n－

1、

（2）证明：

因为bn＋1－2bn＝8an，所以bn＋1－2bn＝2n＋2，即－＝

2、又＝1，所以是首项为1，公差为2的等差数列、所以＝1＋2（n－1）＝2n－

1、所以bn＝（2n－1）2n、

（2020贵州适应性考试）已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－（n＋1）an＝2n2＋2n、

（1）求a2，a3；

（2）证明数列是等差数列，并求{an}的通项公式、【答案】见解析

（1）由已知，得a2－2a1＝4，则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝

6、由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝

15、

（2）由已知nan＋1－（n＋1）an＝2n2＋2n，得＝2，即－＝2，所以数列是首项为＝1，公差为d＝2的等差数列、则＝1＋2（n－1）＝2n－1，所以an＝2n2－n、

（2020沈阳模拟）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S2＝2，S3＝－

6、

（1）求数列{an}的通项公式和前n项和Sn；

（2）是否存在正整数n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列？

若存在，求出n；

若不存在，请说明理由、【答案】见解析

（1）设数列{an}的公差为d，则∴∴an＝4－6（n－1）＝10－6n，Sn＝na1＋d＝7n－3n

2、

（2）由

（1）知Sn＋Sn＋3＝7n－3n2＋7（n＋3）－3（n＋3）2＝－6n2－4n－6，2（Sn＋2＋2n）＝2（－3n2－5n＋2＋2n）＝－6n2－6n＋4，若存在正整数n使得Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列，则－6n2－4n－6＝－6n2－6n＋4，解得n＝5，∴存在n＝5，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列、题型三

等差数列性质的应用

1、等差数列的性质已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和、

（1）通项公式的推广：

an＝am＋（n－m）d（n，m∈N*）、

（2）若k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则ak＋al＝am＋an、（3）若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d、（4）若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列、（5）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列、2、应用等差数列的性质解题的三个注意点

（1）如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq（m，n，p，q∈N*）、因此，若出现am－n，am，am＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am（或其他项）有关的条件；

若求am项，可由am＝（am－n＋am＋n）转化为求am－n，am＋n或am＋n＋am－n的值、

（2）要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋（n－m）d，d＝，S2n－1＝（2n－1）an，Sn＝＝（n，m∈N*）等、（3）当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd；

项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝n∶（n－1）、类型一　等差数列项的性质的应用

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且2a5－a2＝10，则S15＝（）

A、20

B、75

C、300

D、150

【答案D

设数列{an}的公差为d，由2a5－a2＝10，得2（a1＋4d）－（a1＋d）＝10，整理得a1＋7d＝10，S15＝15a1＋d＝15（a1＋7d）＝1510＝1

50、故选

由题意知，a2＋a8＝2a5，所以2a5－a2＝a8＝10，S15＝＝＝1

等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是（

B、22

C、24

D、－8

C

因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝

24、

【题后反思】

项的性质：

在等差数列{an}中，am－an＝（m－n）d⇔＝d（m≠n），其几何意义是点（n，an），（m，am）所在直线的斜率等于等差数列的公差、类型二

等差数列前n项和性质的应用

在等差数列{an}中，a1＝－2018，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2018的值等于（

A、－2018

B、－2016

C、－2019

D、－2017

A

（1）由题意知，数列为等差数列，其公差为1，所以＝＋（2018－1）1＝－2018＋2017＝－

1、　所以S2018＝－20

18、

【例4】

已知等差数列{an}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为（

A、100

B、120

C、390

D、540

设Sn为等差数列{an}的前n项和，则S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，所以2（S20－S10）＝S10＋（S30－S20），又等差数列{an}的前10项和为30，前30项和为210，所以2（S20－30）＝30＋（210－S20），解得S20＝

100、

【例5】

（2020太原模拟）一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d为_______。

5

设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d、由已知条件，得解得又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝

5、

【例6】

等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于（

A、

B、

C、

D、【答案】A

、＝＝＝＝＝＝、

和的性质：

（1）在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1）；

②S2n－1＝（2n－1）an；

③是首项为a1，公差为的等差数列、　

（2）关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质①若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝；

②若项数为2n－1，则S偶＝（n－1）an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝、（3）两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝、题型四

等差数列前n项和的最值问题

求等差数列前n项和Sn最值的两种方法

（1）函数法：

等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn＝a－，求“二次函数”最值、

（2）邻项变号法①当a1＞0，d＜0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；

②当a1＜0，d＞0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm、

等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是（

A、5

B、6

C、7

D、8

由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0、根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a7>

0，a8<

0，故n＝7时Sn最大、法二：

由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n（n－1）＝－n2＋14n、根据二次函数的性质，知当n＝7时Sn最大、法三：

根据a1＝13，S3＝S11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减、根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函