分组分解法练习题及答案Word文件下载.docx
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2.典型例题解析
32例1分解因式2a+a-6a-3
分析这是四项式，可以“二二”分组，由于一、二两项的系数之比是2?
1，三、四两项的系数之比也是2?
1，因此，将一、二两项为一组，三、四两项为一组进行分组分解，有成功的希望.也可以一、三两项，二、四两项进行分组.
32解a+a-6a-3
3=-
=a-3
=
222例分解因式4x-4xy+y-16z
分析这是四项式，“二二”分组无法进行下去，采用“一三”分组，也就是前三项合为一组，满足完全平方公式，第四项单独作为一组，而且是某数或某整式的平方形式，这样便可运用平方差公式继续分解.
222解x-4xy+y-16z
2/19
222=-16z
22=-
22例分解因式ax-ay-x+2xy-y
分析这是五项式，采有“二三”分组，也就是前两项为一组，后三项为一组，能用完全平方公式，关键在分组后且间仍有公因式可提.
解ax-ay-x+2xy-y
2=a-
22222例把-4xy分解因式
22222解-4xy
2222=-
2222=[+2xy][-2xy]
2222=[-1][-1]
2=[-1][-1]
例分解因式x-6
分析考虑去掉括号，重新分组.
解x-6
32=x-3x+2x-6
3/19
32=+
2=x+2
2=
4例分解因式a+4
4分析这是一个四次二项式，无法直接运用某种方法分解因式.如果在a+4中项添上一
22422项o,再把o拆成绝对值相等、符号相反的两项4a和-4a,则原多项式就变为a+4a+4-4a
四项式了，再进行3-1分组，利用公式就能分解了.
4解a+4
422=a+4a+4-4a
422=-4a
22=
点评本例是添拆项的典型例题，目的性很强，原来是二项式，通过添拆项变为四项式，再利用分组、公式进行分解.
22322例已知x+10xy+25y-1=0，化简x+5xy+x.
分析由已知条件，通过因式分解，可得到的值.从而可以化简所求代数式.
22解由x+10xy+25y-1=0可得
4/19
-1=0即
=0
当x+5y+1=0时
32x+5x2y+x=x=0
当x+5y-1=0时，即x+5y=1
322x+5x2y+x=x=2x
熟练掌握并能灵活运用分组分解法.考查分组分解法常与提公因式、公式法相结合，命题以对四项式的多项式因式分解为主.2
32例把2x+x-6x-3分解因式.
32解x+x-6x-3
2=x-3
2222例把abx-aby-axy+bxy分解因式.
2222解abx-aby-axy+bxy
2222=+
=a+by
点评本题中前两项虽有公因式ab，后两项虽有公因
5/19
式xy，但分别提出公因式后，两组中却无公因式可提，无法继续分解.因此分组时，必须把眼光放远一点.本题解法是把一、三两项作为一组，二、四两项作为一组;
也可把一、四两项作为一组，二、三两项作为一组.请读者试一试.
2例10把多项式分解因式xy-ax+bx+ay-a+ab.
2解法一xy-ax+bx+ay-a+ab
2=+
=x+a
2解法二xy-ax+bx+ay-a+ab
2=-+
=y-a+b
点评本题共有六项，解法一分为两组:
前三项为一组，后三项为一组;
解法二分为三组:
一、四两项作为一组，二、五两项作为一组，三、六两项作为一组.一般地，类似例8这样的六项式都可用以上两种方法分组.
一、填空题
221.x+2y-y+2x=.
22.因式分解x+xy-3x-3y=.
223.因式分解1-a+2ab-b=.
6/19
54324.因式分解x+x+x+x=.
25.分解因式ax-ay+a+bx-by+ab=.
6.分解因式ab-3ac+2ay-bx+3cx-2xy=.
7.分解因式2x-2y+4xy-1=.
8.分解因式ab-ab+ab-ab=.
229.若a-b=2,a-c=4,则b-2bc+c+3=.
2210.分解因式a-b+4a+2b+3=.
二、分解因式
32211.ab+bc-cd-da12.x-xyz+xy-xz
22213.y-x+6x-914.x-+2xy+y-ax-ay
2215.6x-2m+2n16.4x-4y+4y-1
423324
参考答案:
22一、1....x
5.
26...）.1010.
二、11.原式=12.原式=x13.原式=
14.原式=15.原式=216.原式=
因式分解之分组分解法
1.按字母特征分组a?
b?
ab?
1a2,ab，ac,bc
2.按系数特征分组7x2?
3y?
xy?
21xac?
6ad
7/19
3.按指数特点分组a2?
9b2?
2a?
6bx2?
x?
4y2?
2y
2224.按公式特点分组a,2ab，b,ca2?
4b2?
12bc?
9c2
四（总结规律
1.合理分组;
2.组内分解
3.组间再分解
4.如果一个多项式中有三项是一个完全平方式或通过提取负号是一个完全平方式，一般就选用“三一分组”的方法进
行分组分解。
因此在分组分解过程中要特别注意符号的变化.
五（练习巩固
1（用分组分解法把ab,c，b,ac分解因式分组的方法有A（1种B.2种C.3种D.4种
2.用分组分解a2,b2,c2，2bc的因式，分组正确的是
A.?
C.?
222222?
bc?
3bdB.?
2bcD.a?
222222
3（填空:
ax，ay,bx,by=,=
8/19
x2,2y,4y2，x=，=
4a2,b2,4c2，4bc=,=
4（把下列各式分解因式
ax25x?
6y?
15x?
2xy?
3x?
4a?
1227a?
21a?
3bm2,6m，2n,n2
4x,4xy,a，y221―m―n，2mn2
十字相乘法与分组分解法习题课
1.十字相乘法分解因式
首项系数是1的二次三项式的因式分
二次项系数不为1的二次三项式的因式分解含有两个字母的二次三项式的因式分解.分组分解法分解因式如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
14
?
x2?
7
例1分解因式:
3
分析:
当系数有分数或小数时，应先化为整数系数，便于下一步十字相乘。
1411
7?
4x?
21?
x
3?
9/19
333解:
例分解因式:
29xy?
100y
含两个字母的二次三项式，把其中一个字母如y看成是常数。
2222
100y?
29y?
100y解:
?
4y?
25
y?
2
例分解因式:
11x?
10
首项系数为3应分解为1×
3，常数项为10是正数，分解成的两个因式同号且应与一次项系数?
11的符号相同，用十字相乘法尝试如下:
1?
1
13
10/19
31
5
11
17
其中符合对角两数之积的和为?
11的只有第三个。
解:
10?
2?
5?
例因式分解:
6x?
这个二次三项不符合完全平方公式的特点，首先，二次项与常数项不同号，其次，常数项的绝对值不是一次项系数一半的平方，所以不能直接用公式分解，但经过适当的变形后，便可用公式分解。
另外，这样的二次三项式可用十字相乘法分解。
解:
方法一x?
9?
16?
4?
11/19
方法二:
xx
小结:
方法一叫配方法。
用配方法分解二次三项式时，其前提是二次项系数为1;
其关键是，加上紧接着减去一次项系数绝对值一半的平方，这样便达到配方的目的。
在用十字相乘法分解二次三项式时，主要考虑的是十字相乘后的代数和应是一次项。
例分解因式:
22x?
2xy?
3ya2?
b2?
4b
32
9y?
24yz?
16zx?
222
首先注意到前两项的公因式2x和后两项的公因式?
3，分别把它们提出来，剩下的是相同因式?
，可以继续用提公因式法分解。
此题也可以考虑含有y的项分在一组。
解法1:
2x?
3y解法2:
3y
2x2?
12/19
说明:
解法1和解法2虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1:
1和2:
，这也是分组中必须遵循的规律之一。
若将此题按上题中法方法分组将含有a的项分在一组即a?
a?
，2
4b?
，那a?
与?
再没有公因式可提，不含有b的项一组即
可再分解下去。
可先将a?
b一组应用平方差公式，再提出因式。
22
a2?
13/19
若将此题应用题方法分组将4x?
9y一组应用平方差公式，或者将
4x2?
16z2
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