精选人教版数学八年级上册 三角形解答题中考真题汇编解析版.docx

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精选人教版数学八年级上册三角形解答题中考真题汇编解析版

【精选】人教版数学八年级上册三角形解答题中考真题汇编[解析版]

一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）

1．直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．

（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，

①当∠ABO＝60°时，求∠AEB的度数；

②点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？

若发生变化，请说明变化的情况：

若不发生变化，试求出∠AEB的大小；

（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO的度数．

【答案】

（1）①135°②∠AEB的大小不会发生变化，∠AEB＝135°，详见解析

（2）∠ABO＝60°或45°

【解析】

【分析】

（1）①根据三角形内角和定理、角分线定义，即可求解；

②方法同①，只是把度数转化为角表示出来，即可解答；

（2）根据三角形内角和定理及一个外角等于与它不相邻的两个内角和，利用角的和差计算即可求得结果，要对谁是谁的3倍分类讨论..

【详解】

（1）如图1，①∵MN⊥PQ，

∴∠AOB＝90°，

∵∠ABO＝60°，

∴∠BAO＝30°，

∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，

∴∠ABE＝∠ABO＝30°，∠BAE＝∠BAO＝15°，

∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝135°．

②∠AEB的大小不会发生变化．理由如下：

同①，得∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝180°﹣∠ABO﹣∠BAO

＝180°﹣（∠ABO+∠BAO）＝180°﹣×90°＝135°．

（2）∠ABO的度数为60°．理由如下：

如图2，

∵∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，∴∠OAE+∠OAF＝（∠BAO+∠GAO）＝90°，即∠EAF＝90°，

又∵∠BOA＝90°，

∴∠GAO＞90°，

①∵∠E＝∠EAF＝30°，

∠EOQ＝45°，∠OAE+∠E＝∠EOQ＝45°，

∴∠OAE＝15°，

∠OAE＝∠BAO＝（90﹣∠ABO）

∴∠ABO＝60°．

②∵∠F＝3∠E，∠EAF=90°

∴∠E+∠F=90°

∴∠E=22.5°

∴∠EFA=90-22.5°=67.5°

∵∠EOQ＝∠EOM=∠AOE=45°，

∴∠BAO＝180°-（180°-45°-67.5°）×2=45°

∴∠ABO=90°-45°=45°

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理及外角的性质、角分线定义，解决本题的关键是灵活运用三角形内角和外角的关系.

2．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．

如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°<∠OAC<90°）．

（1）∠ABO的度数为　　°，△AOB　　（填“是”或“不是”灵动三角形）；

（2）若∠BAC＝60°，求证：

△AOC为“灵动三角形”；

（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．

【答案】

（1）30°；

（2）详见解析；（3）∠OAC=80°或52.5°或30°.

【解析】

【分析】

（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“智慧三角形”的概念判断；

（2）根据“智慧三角形”的概念证明即可；

（3）分点C在线段OB和线段OB的延长线上两种情况，根据“智慧三角形”的定义计算．

【详解】

（1）答案为：

30°；是；

（2）∵AB⊥OM

∴∠BAO＝90°

∵∠BAC＝60°

∴∠OAC＝∠BAO-∠BAC=30°

∵∠MON＝60°

∴∠ACO＝180°-∠OAC-∠MON＝90°

∴∠ACO＝3∠OAC，

∴△AOC为“灵动三角形”；

（3）设∠OAC=x°则∠BAC=90-x,∠ACB=60+x,∠ABC＝30°

∵△ABC为“智慧三角形”，

Ⅰ、当∠ABC＝3∠BAC时，°，

∴30＝3（90-x），∴x=80

Ⅱ、当∠ABC＝3∠ACB时，

∴30=3（60+x）∴x=-50（舍去）

∴此种情况不存在，

Ⅲ、当∠BCA＝3∠BAC时，

∴60+x＝3（90-x），

∴x＝52.5°，

Ⅳ、当∠BCA＝3∠ABC时，

∴60+x＝90°，

∴x＝30°，

Ⅴ、当∠BAC＝3∠ABC时，

∴90-x＝90°，

∴x＝0°（舍去）

Ⅵ、当∠BAC＝3∠ACB时，

∴90-x＝3（60+x），

∴x=-22.5（舍去），

∴此种情况不存在，

∴综上所述：

∠OAC=80°或52.5°或30°。

【点睛】

考查的是三角形内角和定理、“智慧三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．

3．（问题探究）

将三角形纸片沿折叠，使点A落在点处.

（1）如图，当点A落在四边形的边上时，直接写出与之间的数量关系；

（2）如图，当点A落在四边形的内部时，求证：

；

（3）如图，当点A落在四边形的外部时，探索，，之间的数量关系，并加以证明；

（拓展延伸）

（4）如图，若把四边形纸片沿折叠，使点A、D落在四边形的内部点、的位置，请你探索此时，，，之间的数量关系，写出你发现的结论，并说明理由.

【答案】【问题探究】

（1）∠1=2∠A；

（2）证明见详解；（3）∠1=2∠A+∠2；【拓展延伸】（4）.

【解析】

【分析】

（1）运用折叠原理及三角形的外角性质即可解决问题，

（2）运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题，

（3）运用三角形的外角性质即可解决问题，

（4）先根据翻折的性质求出∠AEF、∠EFD，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．

【详解】

解：

（1）如图，∠1=2∠A．

理由如下：

由折叠知识可得：

∠EA′D=∠A；

∵∠1=∠A+∠EA′D，∴∠1=2∠A．

（2）∵∠1+∠A′EA+∠2+∠A′DA=360°，

由四边形的内角和定理可知：

∠A+∠A′+∠A′EA+∠A′DA=360°，

∴∠A′+∠A=∠1+∠2，

由折叠知识可得∠A=∠A′，

∴2∠A=∠1+∠2．

（3）如图，∠1=2∠A+∠2

理由如下：

∵∠1=∠EFA+∠A，∠EFA=∠A′+∠2，

∴∠1=∠A+∠A′+∠2=2∠A+∠2，

（4）如图，

根据翻折的性质，，，

∵，

∴，

整理得，．

【点睛】

本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理及四边形内角和的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．

4．已知：

线段，以为公共边，在两侧分别作和，并使．点在射线上．

（1）如图l，若，求证：

；

（2）如图2，若，请探究与的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；

（3）如图3，在

（2）的条件下，若，过点作交射线于点，当时，求的度数．

【答案】

（1）见详解；

（2）+2=90°，理由见详解；（3）99°．

【解析】

【分析】

（1）根据平行线的性质和判定定理，即可得到结论；

（2）设CE与BD交点为G，由三角形外角的性质得∠CGB=∠D+∠DAE，由，得∠CGB+∠C=90°，结合，即可得到结论；

（3）设∠DAE=x，则∠DFE=8x，由，+2=90°，得关于x的方程，求出x的值，进而求出∠C，∠ADB的度数，结合∠BAD=∠BAC，即可求解．

【详解】

（1）∵，

∴∠C+∠CBD=180°，

∵，

∴∠D+∠CBD=180°，

∴；

（2）+2=90°，理由如下：

设CE与BD交点为G，

∵∠CGB是∆ADG的外角，

∴∠CGB=∠D+∠DAE，

∵，

∴∠CBD=90°，

∴在∆BCG中，∠CGB+∠C=90°，

∴∠D+∠DAE+∠C=90°，

又∵，

∴+2=90°；

（3）设∠DAE=x，则∠DFE=8x，

∴∠AFD=180°-8x，

∵，

∴∠C=∠AFD=180°-8x，

又∵+2=90°，

∴x+2（180°-8x）=90°，解得：

x=18°，

∴∠C=180°-8x=36°=∠ADB，

又∵∠BAD=∠BAC，

∴∠ABC=∠ABD=∠CBD=45°，

∴∠BAD=180°-45°-36°=99°．

【点睛】

本题主要考查平行线的性质和判定定理，三角形的内角和定理与外角的性质，掌握平行线的性质和三角形外角的性质，是解题的关键．

5．如图①，在△ABC中，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAC＝α，∠B＝β（α＞β）．

（1）若α＝70°，β＝40°，求∠DCE的度数；

（2）试用α、β的代数式表示∠DCE的度数（直接写出结果）；

（3）如图②，若CE是△ABC外角∠ACF的平分线，交BA延长线于点E，且α﹣β＝30°，求∠DCE的度数．

【答案】

（1）15°；

（2）；（3）75°．

【解析】

【分析】

（1）三角形的内角和是180°，已知∠BAC与∠ABC的度数，则可求出∠BAC的度数，然后根据角平分线的性质求出∠BCE，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠DEC的度数，进而求出∠DCE的度数；

（2）∠DCE＝．

（3）作∠ACB的内角平分线CE′，根据角平分线的性质求出∠ECE′=∠ACE+∠ACE′=∠ACB+∠ACF=90°，进而求出∠DCE的度数．

【详解】

解：

（1）因为∠ACB＝180°﹣（∠BAC+∠B）＝180°﹣（70°+40°）＝70°，

又因为CE是∠ACB的平分线，

所以．

因为CD是高线，

所以∠ADC＝90°，

所以∠ACD＝90°﹣∠BAC＝20°，

所以∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝35°﹣20°＝15°．

（2）．

（3）如图，作∠ACB的内角平分线CE′，

则．

因为CE是∠ACB的外角平分线，

所以∠ECE′＝∠ACE+∠ACE′＝＝＝90°，

所以∠DCE＝90°﹣∠DCE′＝90°﹣15°＝75°．

即∠DCE的度数为75°．

【点睛】

本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．解决（3），作辅助线是关键．

6．已知：

点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．

（1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；

（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明；

（3）如图3，在

（2）的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明．

【答案】

（1）111º；

（2）∠A－∠C=2∠P,理由见解析；（3）∠A+∠C=2∠P,理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）延长AD交BC于E，利用三角形外角的性质即可求解；

（2）∠A－∠C=2∠P，由三角形外角等于不相邻的两个内角的和以及

（1）结论即可求解；

（3）∠A+∠C=2∠P，由

（2）结论以及角平分线的性质即可得到.

【详解】

（1）如图1,延长AD交BC于E，

在△ABE中，∠AEC=∠A+∠B＝28º+72º=100º，

在△DEC中，∠ADC=∠AEC+∠C＝100º+11º=111º；

（2）∠A－∠C=2∠P，理由如下：

如图2，

∠5=∠A+∠1,∠5=∠P+∠3

∴∠A+∠1