九年级数学锐角三角函数的专项培优练习题含答案含答案解析docxWord文档下载推荐.docx
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-60°
=30°
（2）设PE=x米．
在直角△APE中，∠A=45°
，
则AE=PE=x米；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中，BE=3PE=3x米，
33
∵AB=AE-BE=6米，
则x-3x=6，
3
解得：
x=9+33．
则BE=（3
3+3）米．
在直角△BEQ中，QE=3BE=
3（3
3+3）=（3+
3）米．
∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23≈9（米）．
答：
电线杆PQ的高度约9米．
考点：
解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
2．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°
，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．
（1）试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；
（2）求证：
∠ACF=90°
（3）连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2.若EC=4，∠CEF=15°
，求的长.
图1图2
（1）BE="
FH"
；
理由见解析
（2）证明见解析
（3）=2π
【解析】
（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH
（2）由
（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH为45°
，而∠ACB也为45°
，从而可证明
（3）由已知可知∠EAC=30°
，AF是直径，设圆心为O，连接EO，过点E作EN⊥AC于点N，
则可得△ECN为等腰直角三角形，从而可得
所对圆心角的度数，从而求得弧长
（1）BE=FH．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形∴∠B=90，°
∵FH⊥BC∴∠FHE=90°
EN的长，进而可得
AE的长，得到半径，得到
又∵∠AEF=90°
∴∠AEB+∠HEF="
90°
"
且∠BAE+∠AEB=90°
∴∠HEF=∠BAE∴∠AEB=∠EFH又∵AE=EF
∴△ABE≌△EHF（SAS）
∴BE=FH
（2）∵△ABE≌△EHF
∴BC=EH，BE=FH
又∵BE+EC=EC+CH∴BE="
CH"
∴CH=FH
∴∠FCH=45
，°
∴∠FCM=45
°
∵AC是正方形对角线，∴∠ACD=45
∴∠ACF=∠FCM+∠ACD=90°
（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形
△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上．设该中点为
O．连结
EO得∠AOE=90°
过E作EN⊥AC于点N
Rt△ENC中，EC=4，∠ECA=45°
，∴EN=NC=
Rt△ENA中，EN=
又∵∠EAF=45°
∠CAF=∠CEF=15°
（等弧对等角）
∴∠EAC=30
∴AE=
Rt△AFE中，AE=
=EF，∴AF=8
AE所在的圆
O半径为
4，其所对的圆心角为
∠AOE=90°
=2π·
（490·
÷
360）°
=2π
1、正方形；
2、等腰直角三角形；
3、圆周角定理；
4、三角函数
3．如图，平台
AB高为
12m，在
B处测得楼房
CD顶部点
D的仰角为
，底部点
C的俯
角为
30°
，求楼房
CD的高度（
3＝1．7）．
【答案】32．4米．
首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．
如图，过点B作BE⊥CD于点E，
根据题意，∠DBE=45°
，∠CBE=30°
∵AB⊥AC，CD⊥AC，
∴四边形ABEC为矩形，
∴CE=AB=12m，
在Rt△CBE中，cot∠CBE=BE，
CE
∴BE=CE?
cot30°
=12=12×
在Rt△BDE中，由∠DBE=45°
，得DE=BE=123．
∴CD=CE+DE=12（3+1）≈32.．4
楼房CD的高度约为32.4m．
解直角三角形的应用——仰角俯角问题．
4．如图
（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中，
∠CDE=90，°
CD=4，DE=4，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴
正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：
（1）如图
（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME
的度数．
（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．
（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为
S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．
S，请写出
（1）∠BME=15°
（2BC=4；
（3）h≤2时，S=﹣
h2+4h+8，
当h≥2时，S=18﹣3h．【解析】
（1）如图2，由对顶角的定义知，∠BME=∠CMA，要求∠BME的度数，需先求出∠CMA的度数．根据三角形外角的定理进行解答即可；
（2）如图3，由已知可知∠OBC=∠DEC=30°
，又OB=6，通过解直角△BOC就可求出BC的长度；
（3）需要分类讨论：
①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于
点F，S=S△EDC﹣S△EFM；
②当h≥2时，如图3，S=S△OBC．试题解析：
解：
（1）如图2，
∵在平面直角坐标系中，点
A（0，﹣6），点
B（6，0）．
∴OA=OB，
∴∠OAB=45，°
∵∠CDE=90，°
CD=4，DE=4
∴∠OCE=60，°
∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60﹣°
45°
=15，°
∴∠BME=∠CMA=15°
如图3，
CD=4，DE=4∴∠OBC=∠DEC=30，°
∵OB=6，∴BC=4；
（3）①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，
∵CD=4，DE=4，AC=h，AN=NM，
∴CN=4﹣FM，AN=MN=4+h﹣FM，∵△CMN∽△CED，
∴，
∴
解得FM=4﹣
△EDCS△EFM=
×
4×
4
﹣（
h
4
﹣
=
h2
∴S=S
）（
）﹣
+4h+8，
②如图3，当h≥2时，
△OBC=
OC×
OB=
（
6
）
6=183h
S=S
1、三角形的外角定理；
2、相似；
3、解直角三角形
5．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O于点E．
（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？
请说
明理由；
（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．
①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；
②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）
（1）AE=CE；
（2）①；
②．
（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°
，由于
AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；
（2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°
可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得
∠AEF=90，°
从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得=AD?
AF．①
当CF=CD时，可得，从而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得
sin∠CED=，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；
②当CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题．
（1）AE=CE．理由：
连接AE、DE，如图1，∵∠ABC=90°
，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°
，∵AD=DC，
∴AE=CE；
（2）连接AE、ED，如图2，∵∠ABE=90°
，∴AE是⊙O的直径，∵EF是⊙OO的切线，
∴∠AEF=90，°
∴∠ADE=∠AEF=90，°
又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴，
∴=AD?
AF．
①当CF=CD时，AD=DC=
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