教学设计方案.doc
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曲率教学设计
课程名称
高等数学
授课内容
《高等数学》第三章第七节
授课时间
约16分钟
授课题目
曲率
所属学科
数学
课程类型
本科生公共基础课
适用对象
理工科各专业本科生
使用教具
投影仪、激光笔
教学背景
曲率是描述平面曲线弯曲程度的量，是一元微分学中导数应用部分继函数单调性与曲线的凹凸性，函数的极值与最值之后导数的另一几何应用，同时也是工程设计、道路桥梁设计的理论基础。
教学目的
知识目标：
理解曲率和曲率半径的概念，掌握曲率和曲率半径的计算。
能力目标：
通过砂轮选取、公路铁路弯道设计实例分析，让学生积极主动探索曲率概念的形成过程，培养学生的逻辑推理能力；让学生学会运用曲率知识解决如砂轮选取、离心力等实际问题，提高学生应用数学的意识与能力。
情感目标：
通过曲率在工程实践与生产、生活中的应用培养学生学以致用的意识，让学生感受探索的乐趣和成功的喜悦，充分体会数学知识在实际生活中的广泛应用。
教学重点
和难点
重点：
曲率与曲率半径的概念的理解与计算，应用曲率解决实际问题。
难点：
曲率公式的推导。
思路设计
问题导入通过砂轮选取与公路弯道设计实例提出问题，导入新课
曲率的定义通过分析影响曲线弯曲程度的量得到曲率的量化指标
曲率的计算公式推导出直角坐标系下曲线的曲率的计算公式
求曲率举例通过实例消化曲率概念，解决开篇提出的问题
思考题铁路弯道如何设计？
小结内容总结
方法手段
教学方法：
引导发现式教学法、问题驱动法。
教学手段：
多媒体辅助教学。
所用教材
《高等数学》（上册）同济第六版，高教出版社。
教学内容
课堂组织
第七节曲率
一、问题的引入
我们已经讨论过曲线的凹凸性，知道如何判断曲线的弯曲方向，但是还不能描述和判定曲线的弯曲程度。
而在许多实际问题中都必须考虑曲线的弯曲程度。
如道路弯道的设计，梁的弯曲程度，曲线形的切削工具的设计等等。
那么如何描述曲线的弯曲程度呢？
直觉与经验告诉我们：
直线没有弯曲，圆周上每一处的弯曲程度是相同的，半径较小的圆弯曲得较半径较大的圆要厉害些，抛物线在顶点附近弯曲得比其他位置厉害些。
何为弯曲得厉害些?
即：
用怎样的数学量来刻划曲线弯曲的程度呢?
让我们先弄清曲线的弯曲与哪些因素有关。
曲率是描述曲线局部弯曲程度的量。
弯曲程度越大转角越大转角相同弧段短的弯曲大
问题：
怎样刻画曲线的弯曲程度？
答：
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度。
二、曲率的定义
在光滑弧上自点M开始取弧段，
其长为，对应切线的转角位，
定义弧段上的平均曲率：
得点M处的曲率
.
注：
直线上任一点处的曲率为0。
例1.求半径为R的圆上任意点处的曲率。
解：
如图所示，,
可见：
R愈小,则K愈大,圆弧弯曲得愈厉害;
R愈大,则K愈小,圆弧弯曲得愈小.
三、曲率K的计算公式
设曲线弧二阶可导，则
由（设）得
，
；
又，故曲率计算公式为
.
当时，有曲率近似计算公式。
例2．抛物线上哪一点的曲率最大？
解：
由，得，，代入曲率公式，得
.
显然，当时曲率最大。
曲率最大时，，对应的点为抛物线的顶点。
因此，抛物线在顶点处的曲率最大，此处，.
四、曲率圆与曲率半径
设M为曲线C上任一点，在
点M处作曲线的切线和法线,在曲
线的凹向一侧法线上取点D使
.
把以D为中心，R为半径的圆叫做
曲线在点M处的曲率圆，R叫做曲率半径，D叫做曲率中心。
在点M处曲率圆与曲线有下列密切关系：
1）有公切线；2）凹向一致；3）曲率相同。
注：
1、曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数。
即
2、曲线上一点处的曲率半径越大，曲线在该点处的曲率越小（曲线越平坦）；曲率半径越小，曲率越大（曲线越弯曲）。
3、曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧（称为曲线在该点附近的二次近似）。
例3．设工件表面的截线为抛物线，现在要用砂轮磨削其内表面。
问用直径多大的砂轮才比较合适？
解：
砂轮的半径应该不大于抛物线顶点处的曲率半径。
因，，,，把它们代入曲率公式，得抛物线顶点处的曲率半径为
.
因此，选用砂轮的半径不得超过1.25单位长，即直径不得超过2.50单位长。
小结：
1）曲线弯曲程度的量化指标—曲率，曲率圆与曲率半径。
2）曲率的计算。
3）曲率理论的应用。
思考：
道路的弯道应该如何设计？
演示砂轮打磨工件的动画，演示公路铁路的弯道，引导大家形象地思考曲率的概念
1.5分钟
实物演示分析与曲线弯曲程度有关的因素
3分钟
总结实验结果，并引导学生得出分析出刻画曲线弯曲程度的量—曲率
1.5分钟
通过曲率定义计算出圆任一点的曲率。
通过圆这一简单实例验证所给量化指标的合理性
1.5分钟
引导学生推导曲率的计算方法
2分钟
以抛物线为例求解曲线上任一点的曲率，找出最大值，为后例做准备。
1.5分钟
曲率不便于设计实施，因而引出曲率圆与曲率半径的概念
2分钟
理论指导实际
通过曲率解决开篇提出的第一个问题
1分钟
小结1分钟
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