轴对称培优练习教案Word文档下载推荐.docx
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∴∠AMN=∠MAN=β．
1-1
设∠ABC=γ，
在△ABC中，
∠ABC+∠BCA+∠CAB=180°
，
由于∠BCA=∠CAB=2α+β，
∴4α+2β+γ=180°
．
在△ABM中，β=α+γ，
∴4α+2β+（β-α）=180°
即3（α+β）=180°
∴α+β=60°
，故∠MAC=60°
练习1
1．如图1-2，已知△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°
，则∠DEC等于（）．
A．7．5°
B．10°
C．12.5°
D．18°
1-2
2．如图1-3，AA′、BB′分别是△ABC的外角∠EAB和∠CBD的平分线，且AA′=AB=B′B，A′、B、C在一直线上，则∠ACB的度数是多少？
1-3
3．如图1-4，等腰三角形ABC中，AB=BC，∠A=20°
．D是AB边上的点，且AD=BC，连结CD，则∠BDC=________．
1-4
例2如图1-5，D是等边三角形ABC的AB边延长线上一点，BD的垂直平分线HE交AC延长线于点E，那么CE与AD相等吗？
试说明理由．
分析要说明似乎没有任何关系的两条线段相等，往往需要做一些工作，如添加辅助线，构造全等三角形等，从而达到解决问题的目的．
延长AD到F，使AF=EF，
1-5
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠A=60°
∴△AEF是等边三角形．
∴EA=EF，∠AEF=∠A=60°
又∵EH垂直平分BD，
∴EB=ED，∠EBD=∠EDB．
∴△EAD≌△EFB．
∴AD=BF．
又∵BF=AF-AB=AE-AC=CE，
∴AD=CE．
练习2
1．已知如图1-6，在△ABC中，AB=CD，D是AB上一点，DE⊥BC，E为垂足，ED的延长线交CA的延长线于点F，判断AD与AF相等吗？
1-61-71-8
2．如图1-7，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°
，点D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°
，则BD与BA的大小关系是（）
A．BD>
BAB．BD<
BAC．BD=BAD．无法确定
3．已知：
如图1-8，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？
为什么？
例3已知：
如图1-9，△ABD和△BEC均为等边三角形，M、N分别为AE和DC的中点，那么△BMN是等边三角形吗？
说明理由．
1-9
分析要说明一个三角形是等边三角形，只要能够证明这个三角形满足“三条边相等或三个角相等或一个角是60°
的等腰三角形”即可．本题只需利用三角形全等证得BM=BN，且∠MBN=60°
即可．
在△ABE和△DBC中，
∵∠ABE=60°
+∠DBE，∠DBC=60°
+∠DBE，
∴∠ABE=∠DBC．
∵AB=BD，BE=EC．
∴△ABE≌△DBC．
∴AE=DC，∠MEB=∠NCB．
又∵M、N分别是AE和DC的中点，
∴ME=NC，又△BEC为等边三角形，
∴BE=BC．
∴△MBE≌△NBC，BM=BN．
∴∠MBN=∠MBE-∠NBE=∠NBC-∠NBE=60°
∴△BMN为等边三角形．
练习3
1．已知：
如图1-10，在等边三角形ABC中，BD=CE=AF，AD与BE交于G，BE与CF交于H，CF与AD交于K，试判断△GHK的形状．
1-10
2．已知：
如图1-11，△ABC是等边三角形，E是AC延长线上的任意一点，选择一点D，使△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，那么△CMN是等边三角形吗？
1-11
如图1-12，等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使AD=AE，作等边三角形PCD、QAE和RAB，则以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形，请说明理由．
1-12
例4已知：
如图1-13，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=100°
，∠ABC的平分线交AC于E，试比较AE+BE与BC的大小？
分析说明一条线段的长是否等于其他两条线段长的和，常常采用截取等长线段的方法，将那些本来没有关系的线段放在条线段上，这样可迎刃而解．
在BC上截取BF=BE，BD=BA，连结FE、DE，
∵AB=AC，∠A=100°
，∴∠ABC=∠C=40°
，又BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2=
∠ABC=20°
1-13
∵BF=BE，∴∠BEF=∠5=80°
在△BAE和△BDE中，
BA=BD，∠1=∠2，BE=BE．
∴△BAE≌△BDE．
∴AE=DE，∠3=∠A=100°
∴∠4=180°
-∠3=180°
∴∠4=∠5，DE=FE，AE=FE．
又∠6=∠5-∠C=80°
-40°
=40°
∴∠6=∠C，∴FE=FC．
故AE+BE=FC+BF=BC．
练习4
1．如图1-14，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F，那么PD+PE与CF相等吗？
1-14
如图1-15，△ABC和△ADE都是等边三角形．B、C、D在一条直线上，说明CE与AC+CD相等的理由．
1-15
如图1-16，△ABC是等边三角形，延长AC到D，以BD为一边作等边三角形BDE，连结AE，则AD_______AE+AB．（填“>
”或“＝”或“<
”）
1-16
例5已知：
如图1-17，△ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BD=AB，那么CE是CD的几分之几？
分析延长线段到倍长，再证明三角形全等，往往是说明线段倍分关系的重要途径和必要手段．
延长CE到F，使EF=CE，连结BF，CE是AB的中线，∴AE=EB．
又∠FEB=∠AEC，
1-17
∴△EBF≌△EAC，∴∠EBF=∠A．
BF=AC=BD．
在△FBC和△DBC中，
FB=BD，BC=BC．
∴∠FBC=∠FBE+∠EBC．
=∠A+∠ACB．
∠DBC=∠A+∠ACB．
∴∠FBC=∠DBC．
∴△BCF≌△BCD．
∴CF=CD=2CE，故CE=
CD．
练习5
1．如图1-18，D、E分别是等边三角形ABC两边BC、AC上的点，且AE=CD，连结BE、AD交于点P．过B作BQ⊥AD于Q，请说明BP是PQ的2倍．
1-18
2．如图1-19，在△ABC中，∠BAC=90°
，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE，那么CE是BD的几分之几？
1-19
如图1-20，在△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们相交于H，且AE=BE，那么AH是BD的________倍．
1-20
答案:
练习1
1．解：
设∠DEC=x，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED．
∴x=∠AEC-∠ADE=（∠B+30°
）-∠ADE=（∠B+30°
）-（∠C+x）
∵AB=AC，∴∠B=∠C
∴2x=30°
，x=15°
，故选C．
2．解：
∵AB=BB′，
∴∠BAB′=∠BB′A，∠B′BD=∠BAB′+∠BB′A=2∠BAB′．
又∠CBB′=∠DBB′，
∴∠ACB=∠CBB′+∠CB′B=3∠CAB．
设∠CAB=x，∴∠ACB=3x，∠CBD=4x，又AA′=AB，
∴∠A′=∠ABA′=∠CBD=4x．
∵AA′平分∠EAB．
∴∠A′AB=
（180°
-x）．
又∠A′AB=180°
-（∠A′+∠ABA′）=180°
-8x
∴
-x）=180°
-8x．
∴x=12°
，故∠ACB=36°
3．解：
如图，作△AED≌△BAC，连结EC．
则∠AED=∠BAC=20°
∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°
∴∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°
-20°
=60°
又∵AB=AE=AC，
∴△ACE是正三角形，AE=EC=ED．
∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°
∴∠EDC=
-∠DEC）=70°
∴∠BDC=180°
-（∠ADE+∠EDC）=30°
练习2
1．解：
∵AB=AC，∴∠B=∠C．
∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠FEC=90°
在Rt△DEB与Rt△FEC中，
∵∠B=∠C，∴∠BDE=∠F．
∵∠FDA=∠BDE，
∴∠FDA=∠F，故AD=AF．
以AD为边在△ADB内作等边△ADE，连结BE．
则∠1=∠2=∠3=60°
∴AE=ED=AD．
∵∠DAC=15°
∴∠EAB=90°
-∠1-∠DAC=15°
∴∠DAC=∠EAB．
又∵DA=AE，AB=AC，
∴△EAB≌△DAC．
∴∠EBA=∠DCA=15°
∴∠BEA=180°
-∠EBA-∠EAB=150°
∵∠BED=360°
-∠BEA-∠AED=150°
∴∠BEA=∠BED．
又∵EB=EB，AE=ED．
∴△BEA≌△BED，∴BD=BA．
故选择C．
延长AD到G，使DG=AD，连结BG，
∵BD=DC，∠BDG=∠CDA，AD=DG，
∴△ADC≌△BDE．
∴AC=BG，∠G=∠EAF，
又∵BE=AC，∴BE=BG．
∴∠G=∠BED，而∠BED=∠AEF，
∴∠AEF=∠AFE，故FA=FE．
练习3
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA
∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°
又∵BD=AF=CE，
∴△ABD≌△BCE≌△CAF．
∴∠1=∠2=∠3．
∴∠BAC-∠1=∠ABC-∠2=∠ACB-∠3．
即∠CAK=∠ABG=∠BCH．
又∵A
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