matlab课后习题答案第四章Word下载.docx
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,t（2:
end）,yc,'
r'
）
gridon
（3）用gradent求导的指令（图形与上相似）
yc=gradient（y）/dt;
t,yc,'
gridon
〖说明〗
不到万不得已，不要进行数值求导。
假若一定要计算数值导数，自变量增量dt要取得比原有数据相对误差高1、2个量级以上。
求导会使数据中原有的噪声放大。
12采用数值计算方法，画出
在
区间曲线，并计算
。
〖提示〗
指定区间内的积分函数可用cumtrapz指令给出。
在计算要求不太高的地方可用find指令算得。
指定区间内的积分函数的数值计算法和cumtrapz指令。
find指令的应用。
dt=1e-4;
t=0:
dt:
10;
t=t+（t==0）*eps;
f=sin（t）./t;
s=cumtrapz（f）*dt;
plot（t,s,'
LineWidth'
3）
ii=find（t==;
s45=s（ii）
s45=
13求函数
的数值积分
，并请采用符号计算尝试复算。
数值积分均可尝试。
符号积分的局限性。
dx=pi/2000;
x=0:
dx:
pi;
s=trapz（exp（sin（x）.^3））*dx
s=
符号复算的尝试
symsx
f=exp（sin（x）^3）;
ss=int（f,x,0,pi）
Warning:
Explicitintegralcouldnotbefound.
>
Inat58
ss=
int（exp（sin（x）^3）,x=0..pi）
14用quad求取
的数值积分，并保证积分的绝对精度为
quadl，精度可控，计算较快。
近似积分指令trapz获得高精度积分的内存和时间代价较高。
%精度可控的数值积分
fx=@（x）exp（-abs（x））.*abs（sin（x））;
formatlong
sq=quadl（fx,-10*pi,*pi,1e-7）
sq=
%近似积分算法
x=linspace（-10*pi,*pi,1e7）;
dx=x
（2）-x
（1）;
st=trapz（exp（-abs（x））.*abs（sin（x）））*dx
st=
%符号积分算法
y='
exp（-abs（x））*abs（sin（x））'
si=vpa（int（y,-10*pi,*pi）,16）
y=
exp（-abs（x））*abs（sin（x））
si=
15求函数
在区间
中的最小值点。
理解极值概念的邻域性。
如何求最小值。
学习运用作图法求极值或最小值。
感受符号法的局限性。
（1）采用fminbnd找极小值点
在指令窗中多次运行以下指令，观察在不同数目子区间分割下，进行的极小值搜索。
然后从一系列极小值点中，确定最小值点。
ft=@（t）sin（5*t）.^2.*exp*t.*t）+*abs（t+*t.*cos（2*t）;
disp（'
计算中，把[-5,5]分成若干搜索子区间。
'
N=input（'
请输入子区间数N，注意使N>
=1'
）;
%该指令只能在指令窗中运行
tt=linspace（-5,5,N+1）;
fork=1:
N
[tmin（k）,fobj（k）]=fminbnd（ft,tt（k）,tt（k+1））;
end
[fobj,ii]=sort（fobj）;
%将目标值由小到大排列
tmin=tmin（ii）;
%使极小值点做与目标值相应的重新排列
fobj,tmin
（2）最后确定的最小值点
在
的不同分割下，经观察，最后确定出
最小值点是
相应目标值是
（3）采用作图法近似确定最小值点（另一方法）
（A）在指令窗中运行以下指令：
t=-5:
:
5;
ff=ft（t）;
plot（t,ff）
gridon,shg
（B）经观察后，把最小值附近邻域放到足够大，然后运行以下指令，那放大图形被推向前台，与此同时光标变为“十字线”，利用它点击极值点可得到最小值数据
[tmin2,fobj2]=ginput
（1）
tmin2=
fobj2=
出现具有相同数值的刻度区域表明已达最小可分辨状态
（4）符号法求最小值的尝试
symst
fts=sin（5*t）^2*exp*t*t）*t*cos（2*t）+*abs（t+;
dfdt=diff（fts,t）;
%求导函数
tmin=solve（dfdt,t）%求导函数的零点
fobj3=subs（fts,t,tmin）%得到一个具体的极值点
tmin=
fobj3=
.024
最小值是对整个区间而言的，极小值是对邻域而言的。
在一个区间中寻找最小值点，对不同子区间分割进行多次搜索是必要的。
这样可以避免把极小值点误作为最小值点。
最小值点是从一系列极小值点和边界点的比较中确定的。
作图法求最小值点，很直观。
假若绘图时，自变量步长取得足够小，那么所求得的最小值点有相当好的精度。
符号法在本例中，只求出一个极值点。
其余很多极值点无法秋初，更不可能得到最小值。
16设
，用数值法和符号法求
学习如何把高阶微分方程写成一阶微分方程组。
ode45解算器的导数函数如何采用匿名函数形式构成。
如何从ode45一组数值解点，求指定自变量对应的函数值。
（1）改写高阶微分方程为一阶微分方程组
令
，于是据高阶微分方程可写出
（2）运行以下指令求y（t）的数值解
ts=[0,1];
y0=[1;
0];
dydt=@（t,y）[y
（2）;
-2*y
（1）+3*y
（2）+1];
%<
4>
%匿名函数写成的ode45所需得导数函数
[tt,yy]=ode45（dydt,ts,y0）;
y_05=interp1（tt,yy（:
1）,,'
spline'
）,%用一维插值求y
y_05=
（3）符号法求解
symst;
ys=dsolve（'
D2y-3*Dy+2*y=1'
'
y（0）=1,Dy（0）=0'
t'
ys_05=subs（ys,t,sym（'
））
ys=
1/2-1/2*exp（2*t）+exp（t）
ys_05=
.290
第<
条指令中的导数函数也可采用M函数文件表达，具体如下。
functionS=prob_DyDt（t,y）
S=[y
（2）;
17已知矩阵A=magic（8），
（1）求该矩阵的“值空间基阵”B；
（2）写出“A的任何列可用基向量线性表出”的验证程序（提示：
利用rref检验）。
体验矩阵值空间的基向量组的不唯一性，但它们可以互为线性表出。
利用rref检验两个矩阵能否互为表出。
（1）A的值空间的三组不同“基”
A=magic（8）;
%采用8阶魔方阵作为实验矩阵
[R,ci]=rref（A）;
B1=A（:
ci）%直接从A中取基向量
B2=orth（A）%求A值空间的正交基
[V,D]=eig（A）;
rv=sum（sum（abs（D））>
1000*eps）;
%非零特征值数就是矩阵的秩
B3=V（:
1:
rv）%取A的非零特征值对应的特征向量作基
B1=
6423
95554
174746
402627
323435
412322
491514
85859
B2=
B3=
（2）验证A的任何列可用B1线性表出
B1_A=rref（[B1,A]）%若B1_A矩阵的下5行全为0，
%就表明A可以被B1的3根基向量线性表出
B1_A=
10010011001
01001034-3-47
001001-3-445-7
00000000000
00000000000
B2_A=rref（[B2,A]）
B2_A=
Columns1through7
00
0000000
Columns8through11
0000
0000
B3_A=rref（[B3,A]）
B3_A=
magic（n）产生魔方阵。
魔方阵具有很多特异的性质。
就其秩而言，当n为奇数时，该矩阵满秩；
当n为4的倍数时，矩阵的秩总是3；
当n为偶数但不是4倍数时，则矩阵的秩等于（n/2+2）。
关于魔方阵的有关历史，请见第节。
18已知由MATLAB指令创建的矩阵A=gallery（5），试对该矩阵进行特征值分解，并通过验算观察发生的现象。
展示特征值分解可能存在的数值问题。
condeig是比较严谨的特征值分解指令。
Jordan分解的作用。
（1）特征值
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