数据结构回溯法求装载问题文档格式.docx
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此时，应往回移动（回溯）至最近的活结点处，并使这个活结点成为当前扩展结点。
回溯法以这种工作方式递归地在状态空间中搜索，直到找到所要求的解或解空间中以无活结点时为止。
回溯法与穷举法有某些联系，他们都是基于试探。
穷举法要将一个解的各个部分全都生成后，才检查是否满足条件，若不满足，则直接放弃该完整解、然后再尝试另一个可能的完整解，没有沿着一个可能的完整解的各个部分逐步回退生成解的过程。
而对于回溯法，一个解的各个部分是逐步生成的，当发现当前生成的某部分不满足约束条件，就放弃该部所做的工作，退到上一步进行新的尝试，而不是放弃整个解重来。
一般来说，回溯法要比穷举法效率高一些。
可用回溯法求解的问题P，通常要能表达为：
对于已知的由n元组（1，x2，…，xn）组成的一个状态空间E={（x1，x2，…，xn）∣xi∈Si，i=1，2，…，n}，给定关于n元组中的一个分量的一个约束集D，要求E中满足D的全部约束条件的所有n元组。
其中Si是分量xi的定义域，且|Si|有限，i=1，2，…，n。
我们称E中满足D的全部约束条件的任一n元组为问题P的一个解。
解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全部约束，若满足，则为问题P的一个解。
但显然，其计算量是相当大的。
我们发现，对于许多问题，所给定的约束集D具有完备性，即i元组（x1，x2，…，xi）满足D中仅涉及到x1，x2，…，xi的所有约束意味着j（j<
i）元组（x1，x2，…，xj）一定也满足D中仅涉及到x1，x2，…，xj的所有约束，i=1，2，…，n。
换句话说，只要存在0≤j≤n-1，使得（x1，x2，…，xj）违反D中仅涉及到x1，x2，…，xj的约束之一，则以（x1，x2，…，xj）为前缀的任何n元组（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）一定也违反D中仅涉及到x1，x2，…，xi的一个约束，n≥i>
j。
因此，对于约束集D具有完备性的问题P，一旦检测断定某个j元组（x1，x2，…，xj）违反D中仅涉及x1，x2，…，xj的一个约束，就可以肯定，以（x1，x2，…，xj）为前缀的任何n元组（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不会是问题P的解，因而就不必去搜索它们、检测它们。
回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算法。
回溯法首先将问题P的n元组的状态空间E表示成一棵高为n的带权有序树T，把在E中求问题P的所有解转化为在T中搜索问题P的所有解。
树T类似于检索树，它可以这样构造：
设Si中的元素可排成xi
（1），xi
（2），…，xi（mi-1），|Si|=mi，i=1，2，…，n。
从根开始，让T的第I层的每一个结点都有mi个儿子。
这mi个儿子到它们的双亲的边，按从左到右的次序，分别带权xi+1
（1），xi+1
（2），…，xi+1（mi），i=0，1，2，…，n-1。
照这种构造方式，E中的一个n元组（x1，x2，…，xn）对应T中的一个叶子结点，T的根到这个叶子结点的路径上依次的n条边的权分别为x1，x2，…，xn，反之亦然。
另外，对于任意的0≤i≤n-1，E中n元组（x1，x2，…，xn）的一个前缀I元组（x1，x2，…，xi）对应于T中的一个非叶子结点，T的根到这个非叶子结点的路径上依次的I条边的权分别为x1，x2，…，xi，反之亦然。
特别，E中的任意一个n元组的空前缀（），对应于T的根。
因而，在E中寻找问题P的一个解等价于在T中搜索一个叶子结点，要求从T的根到该叶子结点的路径上依次的n条边相应带的n个权x1，x2，…，xn满足约束集D的全部约束。
在T中搜索所要求的叶子结点，很自然的一种方式是从根出发，按深度优先的策略逐步深入，即依次搜索满足约束条件的前缀1元组（x1i）、前缀2元组（x1，x2）、…，前缀I元组（x1，x2，…，xi），…，直到i=n为止。
在回溯法中，上述引入的树被称为问题P的状态空间树；
树T上任意一个结点被称为问题P的状态结点；
树T上的任意一个叶子结点被称为问题P的一个解状态结点；
树T上满足约束集D的全部约束的任意一个叶子结点被称为问题P的一个回答状态结点，它对应于问题P的一个解。
二、描述问题
有一批共n个集装箱要装上2艘载重量分别为c1和c2的轮船，其中集装箱i的重量为
，且，要求确定是否有一个合理的装载方案可将这n个集装箱装上这2艘轮船。
如果有，请给出该方案。
三、由原理得到的算法、算法的复杂度、改进
1、可得算法回溯法解装载问题时，用子集树表示解空间最合适。
voidBacktrack（intt）
{
if（t>
n）
Output（x）;
else
for（inti=0;
i<
z;
i++）
x[t]=i;
if（Constraint（t）&
&
Bound（t））
Backtrack（t+1）;
}
Maxloading调用递归函数backtrack实现回溯。
Backtrack（i）搜索子集树第i层子树。
i>
n时，搜索至叶节点，若装载量>
bestw，更新bestw。
当i<
=n时，扩展节点Z是子集树内部节点。
左儿子节点当cw+w[i]<
=c时进入左子树，对左子树递归搜索。
右儿子节点表示x[i]=0的情形。
2、时间复杂度
Backtrack动态的生成解空间树。
每个节点花费O
（1）时间。
Backtrack执行时间复杂度为O（2n）。
另外Backtrack还需要额外O（n）递归栈空间。
3、可能的改进
可以再加入一个上界函数来剪去已经不含最优解的子树。
设Z是解空间树第i层上的一个当前扩展结点，curw是当前载重量，maxw是已经得到的最优载重量，如果能在当前结点确定curw+剩下的所有载重量≤maxw则可以剪去些子树。
所以可以引入一个变量r表示剩余的所有载重量。
虽然改进后的算法时间复杂度不变，但是平均情况下改进后算法检查结点数较少。
进一步改进：
（1）首先运行只计算最优值算法，计算最优装载量，再运行backtrack算法，并在算法中将bestw置为W，在首次到叶节点处终止。
（2）在算法中动态更新bestw。
每当回溯一层，将x[i]存入bestx[i].从而算法更新bestx
所需时间为O（2n）。
四、算法实现
intBacktrack（inti）//搜索第i层节点
intj_index;
//如果到达叶结点，则判断当前的cw，如果比前面得到的最优解bestw好，则替换原最优解。
if（i>
if（cw>
bestw）
for（j_index=1;
j_index<
=n;
j_index++）
bestx[j_index]=x[j_index];
bestw=cw;
return1;
}//搜索子树
r-=w[i];
if（cw+w[i]<
=c）//搜索左子树,如果当前剩余空间可以放下当前物品也就是，cw+w[i]<
=c
x[i]=1;
cw+=w[i];
//把当前载重cw+=w[i]
Backtrack（i+1）;
//递归访问其左子树，Backtrack（i+1）
cw-=w[i];
//访问结束，回到调用点，cw-=w[i]
if（cw+r>
bestw）//搜索右子树
x[i]=0;
r+=w[i];
intmaxloading（intmu[],intc,intn,int*mx）
loadingx;
x.w=mu;
x.x=mx;
x.c=c;
x.n=n;
x.bestw=0;
x.cw=0;
x.Backtrack（1
）;
returnx.bestw;
五、总结
由此，我们可以总结出回溯法的一般步骤：
（1）针对所给问题，定义问题的解空间；
（2）确定易于搜索的解空间结构；
（3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。
通过DFS思想完成回溯，完整过程如下：
（1）设置初始化的方案（给变量赋初值，读入已知数据等）。
（2）变换方式去试探，若全部试完则转（7）。
（3）判断此法是否成功（通过约束函数），不成功则转
（2）。
（4）试探成功则前进一步再试探。
（5）正确方案还未找到则转
（2）。
（6）已找到一种方案则记录并打印。
（7）退回一步（回溯），若未退到头则转
（2）。
（8）已退到头则结束或打印无解。
可以看出，回溯法的优点在于其程序结构明确，可读性强，易于理解，而且通过对问题的分析可以大大提高运行效率。
但是，对于可以得出明显的递推公式迭代求解的问题，还是不要用回溯法，因为它花费的时间比较长。
附录（源码）
#include<
stdlib.h>
stdio.h>
iostream.h>
typedefintStatus;
typedefintType;
intn=0;
//集装箱数
Type*x=（Type*）malloc（（50）*sizeof（Type））;
//当前解
Type*bestx=（Type*）malloc（（50）*sizeof（Type））;
//当前最优解
Typec=0,//第一艘轮船的载重量
cw=0,//当前载重量
bestw=0,//当前最优载重量
r=0,
*w=（Type*）malloc（（50）*sizeof（Type））;
//集装箱重量数组
}//搜索自树
//递归访问其左子树，Backtrack（i+1）
cw-=w
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