行程专题(学而思)第1-4讲.doc
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学习目标
本讲主要通过例题加深对行程问题的三个基本数量关系的理解。
在历年小升初与各类小学竞赛试卷中，行程问题的试题占的比值是相当大的，所以学好行程问题不但对于应对小升初考试和各类数学竞赛有着举足轻重的关键性作用，而且也为初中阶段的学习打下良好的基础。
我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题.行程问题主要涉及时间（t）、速度（v）和路程（.s）这三个基本量，它们之间的关系如下：
路程=速度×时间可简记为：
速度=路程÷时间可简记为：
时间=路程÷速度可简记为：
路程一定，速度与时间成反比
速度一定，路程与时间成正比
时间一定，路程与速度成正比
显然，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
【例1】一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是1：
2：
3，某人走这三段路所用的时间之比是4：
5：
6，已知他上坡时每小时行2.5千米，路程全长为20千米，此人走完全程需多少时间？
【例2】甲、乙两地相距60千米，自行车队8点整从甲地出发到乙地去，前一半时间每分钟行1千米，后一半时间每分钟行0.8千米。
自行车队到达乙地的时间是几点几分几秒？
【例3】某人上山时每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息5分钟，已知下山的速度是上山速度的1.5倍，如果上山用了3时50分钟，那么下山用多少时间？
【例4】汽车以72千米/时的速度从甲地到乙地，到达后立即以48千米/时的速度返回甲地，求该车的平均速度。
【例5】甲、乙两车往返于A、B两地之间，甲车去时的速度为60千米/时，返回时的速度为40千米/时，乙车往返的速度都是50千米/时，求甲、乙两车往返一次所用的时间比.
【例6】从甲地到乙地全部是山路，其中上山路程是下山路程的，一辆汽车上山速度是下山速度的一半，从甲地到乙地共行7时，这辆汽车从乙地返回甲地需要多少时间？
【例7】一辆车从甲地行往乙地，如果把车速提高20%，那么可以比原定时间提前1小时到达；如果以原速度行驶100千米后再将车速提高30%，那么也比原定时间提前1小时到达，求甲、乙两地的距离。
【学习目标】本专题主要研究的是行程中的典型相遇与追及问题，在简单行程问题学习的基础上进行更深的学习，使学生在解题的过程中充分的利用线段图，使较具体化、形象化、并融合多种方法，达到真正解题的目的.
相遇问题追及问题
路程÷速度和=相遇时间路程÷速度差=追及时间
路程÷相遇时间=速度和路程÷追及时间=速度差
速度和×相遇时间=路程速度差×追及时问=路程
【例1】甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米，甲车从A地，乙车从B地同时出发相向而行，两车相遇后4.5时，甲车到达B地，A、B两地相距多少千米？
【例2】A、B两地相距1800米，甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，相遇后甲又走了8分到达B地，乙又走了18分到达A地，甲、乙二人每分钟各走多少米？
【例3】甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人下山速度都是上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快，两人出发后1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好下到半山腰，那么甲回到出发点共用多少小时？
【例4】两辆拖拉机为农场送化肥，第一辆以9千米/时的速度由仓库开往农场，30分钟后，第二辆以12千米/时的速度由仓库开往农场，问
（1）第二辆追上第一辆的地点距仓库多远？
（2）如果第二辆比第一辆早到农场20分钟，那么仓库到农场的路程有多远？
【例5】如图，一个长方形的房屋长13米，宽8米，甲、乙两人分别从房屋的两个墙角出发，甲每秒行3米，乙每秒行2米，问：
经过多长时间甲第一次看见乙？
【例6】甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距B地54千米处相遇，他们各自到达对方车站后立即返回原地，途中又在距A地42千米处相遇，求两次相遇点的距离。
【知识储备】
相遇分为：
迎面相遇、追及相遇、端点相遇（可以理解为追及相遇，也可以理解为迎面相遇）
设AB两地路程“S”，则：
甲、乙两人在A、B往返行走，均从A点同时同向出发，则第n次追及相遇时，甲、乙两人的路程差为2nS;
甲、乙两人在A、B往返行走，均从A点同时同向出发，则第n次迎面相遇时，甲、乙两人的路程和为2nS;
甲、乙两人在A、B往返行走，分别从A、B两点相向出发，则第n次追及相遇时，甲、乙两人的路程差为（2n-1）S；
甲、乙两人在A、B往返行走，分别从A、B两点相向出发，则第次迎面相遇时，甲、乙两人的路程和为（2n-1）S：
甲、乙两人合走1个全程中，甲走a，则甲、乙两人合走3个全程中，甲走3a。
1、迎面相遇
2、追及相遇
3、端点相遇
【学习目标】
1.了解多人相遇与多次相遇问题的特点，掌握基本的解题方法。
2.在解答多人相遇问题时，能够利用追及问题的方法求出相遇的时间，最后求出总路程。
3.在解答多次相遇问题时，利用线段图、S-t图和比例知识，找到第N次相遇点和N+M次相遇点间的距离与全程的关系。
【重点难点】
1.在解答多人行程问题时要从两个人的情况开始分析，并明确几个人路程、时间、速度的相互联系。
2.学会用线段图和S-t图分析多次相遇问题。
3.灵活的运用路程、速度、时间三个量间的比例关系，并能够灵活地转化。
【铺垫】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲、乙的速度比是4：
3，两人相遇后继续行进，甲到达B地和乙到达A地后都立即沿原路返回，已知两人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点300米，则A、B两地相距多少千米？
总结
1.两人从B两地做相遇运动，第一次相遇共走1个全程，第二次迎面相遇共走3个全程、第三次迎面相遇共走5个全过程，从而可以得到，第N次迎面相遇共走2N-1个全过程。
2.通过线段图，我们发现了“两次相遇点相距的300米，恰好是2份的路程”这个隐蔽条件。
线段图是解答行程问题很好的方法。
一、多次相遇问题
【例1】小明和小英各自在公路上往返于甲、乙两地运动，即到达一地便立即折回向另一地运动。
设开始时他们分别从两地相向而行，若在距甲地4千米处他们第一次迎面相遇，第二次迎面相遇的地点在距乙地3千米处，则甲、乙两地距离是多少千米？
总结
1.通过分析可以发现，如果两人的速度比大于2：
1，那么在两人第二次迎面相遇前一定会在背后追上一次。
2.本题属于开放性题目，这是近几年重点中学入学考试的热点问题，这一类题需要同学们周密思考把答案做全。
【例2】A、B两地相距950米，甲、乙两人同时由A地出发往返锻炼半小时，甲步行，每分钟走40米；乙跑步，每分钟行150米，则甲、乙两人第几次迎面相遇时距B地最近？
对含有追及相遇的问题我们可以采用“S-t图”+“沙漏几何模型”形象解决。
【例3】A、B两地相距1000米，甲从A地、乙从B地同时出发，在A、B两地间往返锻炼。
乙跑步每分钟行150米，甲步行每分钟行60米。
在30分钟内,甲、乙两人第几次相遇时距B地最近？
最近距离是多少？
【拓展】甲、乙二人在60米的泳池中往返练习游泳，甲每分游30米，乙每分游20米，两人同时从同一端出发，30分钟共相遇几次？
（不算开始那次）
二、多人相遇问题
【例4】甲、乙、丙三人中，甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米。
甲乙两人从东镇、丙一人从西镇同时相向出发，丙遇到乙后2分钟再遇到甲，两镇距离的是多少米？
（第一届迎春杯竞赛试题）
【例5】A、B两地相距203米，甲、乙、丙的速度分别是4米/分、6米/分、5米/分。
如果甲、乙从A地，丙从B地同时出发相向而行那么，在_________分钟或_________分钟后，丙与乙的距离是丙与甲的距离的2倍。
三、多角度思考问题
例6有一辆沿公路不停地往返于M、N两地之间的汽车。
老王从M地沿这条公路步行向N地，速度为每小时3.6千米，中途迎面遇到从N地驶来的这辆汽车。
经20分钟又遇到这辆汽车从后面折回，再过50分钟又迎面遇到这辆汽车，再过40分钟又遇到这辆车再折回。
M、N两地的路程有多少千米？
总结
从上面的分析可以看出，比较的角度不同，得到的结论也就不同。
解答一从70分与90分的路程进行比较，得到了人和车的速度和；解答二和三从20分与40分的路程进行比较，得到了人与车的速度比和车速这两个关系；解答四、五从20分与50分、40分与50分的路程进行比较，得到了某一段的路程。
这些不同的结论都是从不同的角度比较得到的，这样就做到了一题多解。
火车过桥与多人行程
一、火车过树（植树问题）
二、火车过人
1.相遇
2.追及
三、火车过桥（典型）
四、火车过火车（错车问题）
1.相遇
2.追及
【学习目标】
1.掌握四大火车行程的基本问题与公式，注意确定路程和速度的方法与技巧.
2.掌握综合类的火车行程问题，注意使用比较加减法，并注意其中与植树问题的综合考察。
【重点难点】
1.火车行程中的相遇与追及路程的判断.
2.分析火车行程问题中的速度和与速度差的使用.
3.分析火车行程与其他行程问题的综合与判断。
【例1】一列火车长280米，铁路沿线的绿化带每两棵树之间相隔2米，这列火车从车头到第1棵树到车尾离开第61棵树用了15秒钟，这列火车每分钟行多少米？
【巩固】小李在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，他散步的速度是1.5米/秒，这时迎面开来一列火车，从车头到车尾经过他身旁共用了20秒，已知火车全长390米，求火车的速度。
【例2】小张沿着一条与铁路平行的笔直小路行走，这时有一列长460米的火车从他背后开来，他在行进中测出火车从他身边通过的时间是20秒，而在这段时间内，他行走了40米.求这列火车的速度是多少？
【例3】一个车队以6米/秒的速度缓缓通过一座长250米的大桥，共用152秒，已知每辆车长6米，两车间隔10米，问：
这个车队共有多少辆车？
【例4】列车通过250米的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，又知列车的前方有一辆与它同向行驶的货车，货车车身长320米，速度为每秒17米，列车与货车从相遇到相离需要多少秒？
【例5】（2007年第十二届“华杯赛”初赛）李云靠窗坐在一列时速60千米的火车里，看到一辆有30节车厢的货车迎面驶来，当货车车头经过窗口时，他开始计时，直到最后一节车厢驶过窗口时，所计的时间是18秒。
已知货车每节车厢长15.8米，车厢间距1.2米，货车车头长10米。
问货车行驶的速度是多少？
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