华师大版八年级数学下函数及其图像知识点归纳Word文档格式.docx

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这里有三种类型的问题：

（1）当已知自变量的值求函数值就是求代数式的值。

（2）当已知函数值求自变量的值就是解方程。

（3）当给定函数值的一个取值范围〃欲求自变量的取值范围时实质上就是解不等式或不等式组。

二〄平面直角坐标系：

1〄各象限内点的坐标的特征：

（1）点p（x,y）在第一象限→x＞0,y＞

0.

（2）点p（x,y）在第二象限→x＜0,y＞

（3）点p（x,y）在第三象限→x＜0,y＜0

（4）点p（x,y）在第四象限→x＞0,y＜

2〄坐标轴上的点的坐标的特征：

（1）点p（x,y）在x轴上→x为任意实数〃y=0

（2）点p（x,y）在y轴上→x=0,y为任意实数

3〄关于x轴〃y轴〃原点对称的点的坐标的特征：

（1）点p（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）.

（2）点p（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）.

（3）点p（x,y）关于原点对称的点的坐标为（-x,-y）

4〄两条坐标轴夹角平分在线的点的坐标的特征：

（1）点p（x,y）在第一、三象限夹角平分在线→x=y.

（2）点p（x,y）在第二〃四象限夹角平分在线→x+y=0

5〄与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征：

（1）位于平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相同。

（2）位于平行于y轴的直线上的所有点的横坐标相同。

6〄点到坐标轴及原点的距离：

（1）点p（x,y）到轴的距离为｜y︱.

（2）点p（x,y）到y轴的距离为∣x∣.

22

（3）点p（x,y）到原点的距离为x+y

（4）同在x轴上的两点A（x1,0）与B（x2,0）之间的距离为AB=|x1-x2|

（5）同在y轴上的两点C（0,y1）与D（0,y2）之间的距离为CD=|y1-y2|

三〄函数的图像

函数图像上的点与其解析式的关系

1〄函数图像上任意一点p﹙x,y﹚中的x、y满足函数关系式〃满足函数关系式的一对对应值﹙x,y﹚都在函数的图像上。

2〄判断点p﹙x,y﹚是否在函数图像上的方法〃将这个点的坐标﹙x,y﹚代入函数关系式〃如果满足函数关系式〃那么这个点就在函数的图像上〃如果不满足函数关系式〃那么〃这个点就不在函数的图像上。

四〄一次函数

（一）一次函数的定义

1〄定义:

含有自变量的式子为一次整式〃即形如式子y＝kx+b（其中k和b为常数〃k≠0）叫做一次函数。

正比例函数：

在一次函数y=kx+b中如果b=0即变为y=kx（其中k≠0）〃这样的函数叫做正比例函数。

2〄注意：

（1）由一次函数和正比例函数的定义可知;

①函数是一次函数→解析式为y＝kx+b的形式。

②函数是正比例函数→解析式为y=kx的形式。

（2）一次函数解析式y=kx+b的结构特征：

①k≠0②x的次数是1③常数b为任意实数

（3）正比例函数解析式y=kx的结构特征

①k≠0②x的次数是1③常数b=0

3〄说明：

在y=kx+b中若k=0则y=b﹙b为常数﹚这样的函数叫做常数函数〃它不是一次函数。

4〄正比例函数与一次函数的关系：

正比例函数是一次函数的特例〃一次函数包含正比例函数。

第页一次函数y=kx+b〃当b=0时为正比例函数

一次函数y=kx+b〃当b≠0时一般的一次函数

（二）一次函数的图像

1〄一次函数图像的形状：

一次函数y=kx+b的图像是一条直线〃通常称为直线y=kx+b

正比例函数y=kx的图像也是一条直线〃称为直线y=kx

2〄一次函数图像的主要特点:

一次函数y=kx+b的图像经过点﹙0〃b﹚的直线〃正比例函数y=kx+b的图像是经过原点﹙0〃0﹚的直线注意：

点﹙0〃b﹚是直线y=kx+b与y轴的交点。

①当b＞0时〃此时交点在y轴的正半轴上〃

②当b＜0时〃此时交点在y轴的负半轴上〃

③当b=0时〃此时交点在原点〃这时的一次函数就是正比例函数。

3〄一次函数图像的画法：

根据两点能画一条直线并且只能画一条直线〃即两点确定一条直线〃所以画一次函数的图像时〃只要先描出两点〃在连成直线即可。

那么〃先描出哪两点比较好呢＜

选两点应以计算和描点简单为原则〃一般来说〃当b≠0时〃一般的一次函数y=kx+b的图像〃应选取b,0﹚；

当b=0时〃画正比例函数y=kx的图像〃通常取﹙0〃0﹚与k

22﹙1〃k﹚两点〃个别情况下可以做些变通〃例如画函数y=x的图像〃可以取﹙0〃0﹚与﹙1〃﹚两点〃33它与两个坐标轴的交点﹙0〃b﹚与﹙-

也可以取﹙0〃0﹚与﹙3〃2﹚两点。

4〄直线y=kx+b与坐标轴的交点

（1）令x=0,则y=b所以直线y=kx+b与y轴的交点坐标为﹙0〃b﹚

（2）令y=0,则kx+b=0所以x=-bk

b,0﹚注意：

此时直线y=kx+b与x轴〃y轴围成的三角形面积k所以直线y=kx+b与x轴的交点坐标为﹙-S=1b×

∣-∣×

∣b∣2k

5〄两直线在直角坐标系内的位置关系:

（1）两直线的解析式中当k相同时〃其位置关系是平行〃其中一条直线可以看作是另一条平移得到的〃平移规律是“左减右加〃上加下减”

（2）两直线的解析式中当b相同时〃其位置关系是相交〃交点坐标为﹙0〃b﹚.

第页

（三）一次函数的性质

1〄正比例函数的性质

（1）当k＞0时〃图像经过第一、三象限〃y随x的增大而增大〃直线y=kx从左到右上升。

（2）当k＜0时〃图像经过第二、四象限〃y随x的增大而减小〃直线y=kx从左到右下降。

2〄一次函数y=kx+b的性质

（1）当k＞0时〃直线y=kx+b从左到右上升〃此时y随x的增大而增大。

（2）当k＜0时〃直线y=kx+b从左到右下降〃此时y随x的增大而减小。

（3）当b＞0时〃直线y=kx+b与y轴正半轴相交。

（4）当b＜0时〃直线y=kx+b与y轴负半轴相交。

3〄直线y=kx+b的位置与k、b的符号之间的关系

直线y=kx+b的位置是由k与b的符号决定的〃其中k决定直线从左到右呈上升趋势还是下降趋势〃b决定直线与y轴交点的位置是在y轴的正半轴〃还是负半轴〃还是原点。

k和b综合起来决定直线y=kx+b在直角坐标系中的位置共有六种情况：

①当k＞0〃b＞0时〃直线经过第一、二、三象限〃不经过第四象限；

②当k＞0〃b＜0时〃直线经过第一、三、四象限〃不经过第二象限；

③当k＜0〃b＞0时〃直线经过第一、二、四象限〃不经过第三象限；

④当k＜0〃b＜0时〃直线经过第二、三、四象限〃不经过第一象限；

⑤当k＞0〃b=0时〃直线经过第一、三象限；

⑥当k＜0〃b=0时〃直线经过第二、四象限。

（四）正比例函数与一次函数解析式的确定

1〄确定一个正比例函数就是要确定正比例函数解析式y=kx﹙k≠0﹚中的常数k;

确定一个一次函数需要确定一次函数解析式一般形式y=kx+b﹙k≠0﹚中的常数k和b,解这类问题的一般方法是待定系数法。

2〄待定系数法：

先设出待求函数关系式﹙其中含有未知的系数﹚〃再根据已知条件列出方程或方程组〃求出未知系数〃从而得到所求结果的方法〃叫做待定系数法。

其中的未知系数也称待定系数〃如正比例函数y=kx中的k〃一次函数y=kx+b中的k和b都是待确定的系数。

3〄用待定系数法求函数解析式的一般步骤：

（1）设出含有待定系数的解析式；

（2）把已知条件﹙自变量与函数的对应值﹚代入解析式〃得到关于待定系数的方程或方程组；

（3）xx或方程组〃求出待定系数；

（4）将求得的待定系数的值代回所设的解析式。

第页注意：

通常正比例函数解析式设y=kx〃只有一个待定系数k〃一般只需一对x与y的对应值即可；

一次函数解析式设y=kx+b〃其中有两个待定系数k和b〃因而需要两对x与y的对应值〃才能求出k和b的值。

五〄反比例函数

（一）反比例函数定义

1〄一般的〃函数y=k-1﹙k是常数〃k≠0﹚叫做反比例函数〃反比例函数的解析式也可以写成y=kx的形x式〃其中k叫做比例系数。

2〄反比例函数解析式的主要特征：

（1）等号左边是函数y,右边是一个分式〃分子是不为零的常数k,分母中含有自变量x,且x的指数是1〃若写成y=kx的形式〃则x的指数是-1。

（2）比例系数“k≠0”是反比例函数定义的重要组成部分。

（3）自变量x的取值范围是x≠0的一切实数。

（二）反比例函数的图像

反比例函数的图像是双曲线〃它有两个分支〃这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限〃它们关于原点成中心对称。

由于反比例函数中自变量x≠0〃函数y≠0〃所以它的图像与x轴和y轴都没有交点〃即双曲线的两个分支无限接近坐标轴〃但永远不与坐标轴相交。

（三）反比例函数的性质

1〄当k＞0时〃图像在第一、三象限〃在每个象限内〃曲线从左到右下降〃也就是在每个象限内y随x的增大而减小。

2〄当k＜0时〃图像在第二、四象限〃在每个象限内〃曲线从左到右上升〃也就是在每个象限内y随x的增大而增大。

（四）反比例函数解析式的确定

确定解析式的方法仍是待定系数法〃由于反比例函数y=-1k中只有一个待定系数〃因此只需要一对x与yx的对应值或图像上一个点的坐标〃即可求出k的值〃从而确定其解析式。

（五）“反比例关系”与“反比例函数”的区别与联系

反比例关系是小学学过的概念：

如果xy=k﹙k是常数k≠0﹚〃那么x与y这两个量成反比例关系〃这里x与y既可以代表单独的一个字母也可以代表多项式或单项式〃例如y+3与x成反比例则有y+3=成反比例〃则y=

例关系。

k,y与x²

xkk,成反比例关系不一定是反比例函数〃但是反比例函数y=中的两个变量必定成反比xx2

（六）反比例函数y=k﹙k≠0﹚中的比例系数k的几何意义x

11S矩形=|k|。

221〄如图〃过双曲线上一点作x轴、y轴的垂线PM、PN,所得矩形PMON面积为|k|。

2〄连结PO,则S△POM=

六〄函数的应用

1〄利用图像比较两个函数值的大小

在同一直角坐标系中的两个函数图像〃如果其中一个函数的图像在另一个函数图像的上方〃则该函数值就比另一个函数值大〃若在下方〃则该函数值就比另一个函数值小〃而其交点的横坐标就是分界点。

2〄两个一次函数图像的交点与二元一次方程组的关系

如果两个一次函数的图像相交〃则交点坐标必定同时满足两个函数解析式〃故交点坐标是有两个函数解析式组成的二元一次方程组的解。

3〄一次函数与方程、不等式的关系

（1）一次函数y=kx+b的图像与x轴的交点的纵坐标等于0〃反映在函数解析式就是函数值等于0〃则其横坐标也就是自变量的值为方程kx+b=0的解。

（2）一次函数y=kx+b在x轴上方的图像〃任意一点的纵坐标都大于0〃反映在函数解析式就是函数值y＞0〃则对应的横坐标〃也就是自变量的值即为不等式kx+b＞0的解集。

（3）一次函数y=kx+b在x轴下方的图像〃任意一点的纵坐标都小于0〃反映在函数解析式就是函数值y＜0〃则对应的横坐标〃也就是自变量的值即为不等式kx+b＜0的解集。