线性代数习题及解答Word下载.docx

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a21—a31

a22—a32

323—a33

A.-6B.-3

C.3D.6

2.设矩阵A，X为同阶方阵，且A可逆，若A（X七）=E,则矩阵X=（）

■1

A.E+A1B.E-A

C.E+AD.E-A1

3•设矩阵A，B均为可逆方阵，则以下结论正确的是（）

A1A可逆，且其逆为"

<

A；

B1A不可逆

IB丿丿IB丿

rb-1、

%）

A-1、

C..可逆，且其逆为

D..可逆，且其逆为

IB丿

A-1」

BJ

4.设：

•1，「2，…，:

-k是n维列向量，则1，2，…，:

-k线性无关的充分必要条件是

（

A.向量组仆2，…，〉k中任意两个向量线性无关

B.存在一组不全为0的数11，12，…，Ik，使得111+12〉2+…+lk二0

C.向量组:

-1，:

-2，…，〉k中存在一个向量不能由其余向量线性表示

D.向量组：

•仆〉2，…，〉k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示

5.已知向量2:

-（1,一2,-2,-1）丁，3二日'

21=（1,Y,-3,0）丁，则鳥-■'

■=（）

A.

（0，-2,-1,

1）T

B.

（-2,0,

-1,1）T

C.

（1,-1,-2,

o）T

D.

（2,-6,

-5,-1）T

6.

实数向量空间

V={（x,y,z）|3x+2y

+5z=0｝的维数是

（）

1

2

7•设：

.是非齐次线性方程组Ax=b的解，1是其导出组Ax=0的解，则以下结论正确的是

B.+『■是Ax=b的解

C.

D.:

--是Ax=0的解

、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

11.设det（A）=-1，det（B）=2，且A，B为同阶方阵，则det（（AB）3）=

12-2

12.设3阶矩阵A=4t3，B为3阶非零矩阵，且AB=0，则t=

3-11

13.设方阵A满足Ak=E，这里k为正整数，则矩阵A的逆A-1=.

14.实向量空间Rn的维数是•

15.设A是mxn矩阵，r（A）=r,则Ax=0的基础解系中含解向量的个数为.

16.非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是.

17.设a是齐次线性方程组Ax=0的解，而0是非齐次线性方程组Ax=b的解，则A（3a+20）=

18.设方阵A有一个特征值为8,_则det（-8E+A）=.

19.设P为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则||Px||=.

222

20.二次型f（N，X2，X3）=人+5X2+6X3+4XM-2人乂3—2X2X3的正惯性指数是.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

11—12

—1//1

21•计算行列式

24-61

1242

22.设矩阵A=3，且矩阵B满足ABA-1=4A-1+BA-1，求矩阵B.

5

23•设向量组冷=（3,1,2,0）,:

匕=（0,7,1,3）,:

w=（-1,2,0,1）,為=（6,9,4,3）,求其一个极大线性无关组，并将其余向量通过

极大线性无关组表示岀来.

-14

24.设三阶矩阵A=-25

2-4

3

3，求矩阵A的特征值和特征向量.

-2

25•求下列齐次线性方程组的通解.

an

27.设三阶矩阵A=a21

a12a13

a22a23的行列式不等于o,证明:

线性代数习题二

在本卷中，At表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵。

A表示方阵A的行列式，r（A）

表示矩阵A的秩。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

错选、多选或未选均无

分。

1.设3阶方阵A的行列式为2,则一1A=（）

A.-1B.

D.1

c.-

x-1

2.设f（X）二

2x—2

2x-1

则方程f（X）=0的根的个数为（

3x—2

3x—5

A.O

B.1

C.2

D.3

3.设A为n阶方阵，将

A的第1

列与第2列交换得到方阵B,若A式B,则必有（

A.A-0

c.A丰0

b.A+B式0

d.A-B0

4.设A,B是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是（

A.（AB）2二A22ABB2

B.（AB）（A-B）=A2-B2

C.（A-E）（AE）=（AE）（A-E）d.（AB）二AB

aib2

5.设A=

a2b1

826

玄2匕3

®

b1

asb2

a3b3j

其中ai

A.0

-0,h=0,i=1,2,3,则矩阵A的秩为（

6.设6阶方阵A的秩为4,则A的伴随矩阵

A*的秩为（

B.2

C.3

D.4

7.设向量a=（1,-2,3）与萨（2,k,6）

A.-10

正交，则数k为（）

B.-4

D.10

X1X2X3=4

8.已知线性方程组为•ax2-X3=3无解，则数a=（）

I

2x12ax2二4

A.

B.0

9.设3阶方阵A的特征多项式为|扎E—A=（人+2）（人+3）2,则A=（）

A.-18

B.-6

C.6

D.18

10.若3阶实对称矩阵A=（aij）是正定矩阵，则a的3个特征值可能为（）

A.-1,-2,-3B.-1,-2,3

C.-1,2,3D.1,2,3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

30

11.设行列式D=22

53

2,其第3行各元素的代数余子式之和为

'

a

12.设A=

广103、

13.设a是4X3矩阵且r（A）=2,B=020,则r（AB）=.

-103』

14.向量组（1，2）,（2，3）（3,4）的秩为.

15.设线性无关的向量组a1,a,…，a可由向量组亂邑…，伍线性表示，则r与s的关系为

丄捲：

：

；

X2X3=0

16.设方程组■X1X2X3=0有非零解，且数.•；

“:

0,则’=.

x1x2/.x3=0

17.设4元线性方程组Ax二b的三个解a，%2，«

3，已知宀=（1,2,3,4）丁，>

2叱3=（3,5,7,9）T,r（A）=3.则

方程组的通解是.

18.设3阶方阵A的秩为2,且A+5A=0,则A的全部特征值为

19.设矩阵A=

有一个特征值九=2,对应的特征向量为x=

则数a=

J

3丿

2；

20.设实二次型f（X1,X2,X3）=XTAx,已知A的特征值为-1，1，2,则该二次型的规范形为.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21.设矩阵A=0,22,33）,B=（:

2,3）,其中：

■,2,3均为3维列向量，且A=18,B二2求

-1、

广1

-r

22.解矩阵方程

X+

=

_1

0>

4

3」

23.设向量组a=（1，1，1，3）T，02=（-1，-3，5，1）T，«

3=（3，2，-1，p+2）T，a=（3，2，-1，p+2）T问P为

何值时，该向量组线性相关？

并在此时求岀它的秩和一个极大无关组

2捲’x2-x3=1

24.设3元线性方程组」—X?

+X3=2,

i4x<

|+5x2—5x3=_1

（1）确定当入取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？

（2）当方程组有无穷多解时，求岀该方程组的通解（要求用其一个特解和导岀组的基础解系表示）

，r12

25.已知2阶方阵A的特征值为>

=1及'

2,方阵B=A.

（1）求B的特征值；

（2）求B的行列式.

26.用配方法化二次型f（X1,X2,X3）=X1-2X2-2X3-4X1X2•12X2X3为标准形，并写出所作的可逆线性变换

四、证明题（本题6分）

27.设A是3阶反对称矩阵，证明A=0.

习题一答案

习题二答案

线性代数习题三

在本卷中,AT表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式，r（A）表示矩A的秩.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分,共20分）在每小题列岀的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，或未选均无分。

1.设A为3阶矩阵，|A|=1,则|-2AT|=（

A.-8

请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选

B.-2

D.8

2.设矩阵

A=

f1J,B=（1,1）,则AB=（

I-1丿

B.（1,-1）

1!

L1丿

D.

r1

!

-1

3.设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵，则下列矩阵中为反对称矩阵的是

A.AB-BA

B.AB+BA

C.AB

D.BA

4.设矩阵

A的伴随矩阵A=

2，则

A-1=（

1A.

『4-3]

-21.J

B.

k_3

q01"

001"

‘100

‘100”

010

030

e00』

j0°

」

电0b

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