工程问题.doc

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工程问题

教学目标

1.熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；

2.工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理；

3.根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；

4.工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用．

知识精讲

工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。

工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。

在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。

一．工程问题的基本概念

定义：

工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。

工作总量：

一般抽象成单位“1”

工作效率：

单位时间内完成的工作量

三个基本公式：

工作总量=工作效率×工作时间，

工作效率=工作总量÷工作时间，

工作时间=工作总量÷工作效率；

二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：

①具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；

②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；

③学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；

④学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路．

三、利用常见的数学思想方法：

如代换法、比例法、列表法、方程法等

抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．

例题精讲

模块一、工程问题基本题型

【例1】（难度等级※）一项工程，甲单独做需要天时间，乙单独做需要天时间，如果甲、乙合作需要多少时间？

【解析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的，乙每天完成总量的，两人合作每天能完成总量的，所以两人合作的话，需要天能够完成．

【例2】（难度等级※）一项工程，甲单独做需要天时间，甲、乙合作需要天时间，如果乙单独做需要多少时间？

【解析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的，甲、乙合作每天完成总量的，乙单独做每天能完成总量的，所以乙单独做天能完成．

【巩固】（难度等级※）一项工程，甲单独做需要天时间，甲、乙合作需要天时间，如果乙单独做需要多少时间？

【解析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的，甲、乙合作每天完成总量的，乙单独做每天能完成总量的，所以乙单独做28天能完成．

【例3】（难度等级※※）甲、乙两人共同加工一批零件，8小时可以完成任务．如果甲单独加工，便需要12小时完成．现在甲、乙两人共同生产了小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生产了420个零件才完成任务．问乙一共加工零件多少个?

【解析】乙单独加工，每小时加工甲调出后，剩下工作乙需做时所以乙每小时加工零件（个），则小时加工（个），所以乙一共加工零件420+60＝480（个）．

【巩固】（难度等级※※）一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？

【解析】共做了6天后，原来，甲做24天，乙做24天，　现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率是乙的工作效率的16/24=2/3。

　如果甲独做，所需时间是天如果乙独做，所需时间是天；甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.

【巩固】（难度等级※※）某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？

【解析】先对比如下：

甲做63天，乙做28天；甲做48天，乙做48天.就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出乙的工作效率是甲的，甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（天），相当于乙要做天因此，乙还要做28+28=56（天），乙还需要做56天.

【例4】（难度等级※※）一项工程，甲、乙合作需要天完成，乙、丙合作需要天完成，由乙单独做需要天完成，那么如果甲、乙、丙合作，完成这项工程需要多少天？

【解析】如果将整个工程的工作量看做单位“1”，从条件中我们很容易看出：

甲乙，乙丙，乙因此不难得到丙的工作效率为，因此三个人的工作效率之和为，也就是说，三个人合作需要12天可以完成。

本题也可以分别求出甲和丙的工作效率，再将三人的工作效率相加，得到三人合作的总工效．但是这样做比较麻烦，事实上只要将甲乙工效和加上丙的工效就可以了．

【巩固】（难度等级※※）一项工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要天，由丙单独做需要天完成，那么如果甲、丙合作，完成这项工程需要多少天？

【解析】法一：

和上题类似，我们可以有：

甲乙，乙丙，丙不难求得，乙的工作效率为，因此甲的工作效率为，从而甲丙合作的工作效率为，

即甲丙合作12天能完成。

法二：

仍然观察上面那三个等式，我们能否不求出每个人的工作效率，而同过整体的运算直接得到“甲+丙”的值呢？

不难发现，我们只要把乙消掉就可以了；因此我们有：

，也就是说：

，所以甲丙合作天能完成。

【巩固】（难度等级※※）一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？

【解析】设这件工作的工作量是1。

甲乙两人合作每天完成，甲丙两人合作每天完成，乙丙两人合作每天完成，甲、乙、丙三人合作每天完成减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成，甲独做需要天　答：

甲一人独做需要90天完成.

【巩固】（难度等级※※）一件工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙、丙两人合作6天可以完成，丙、丁两人合作12天可以完成．那么甲、丁两人合作多少天可以完成?

【解析】甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是、、.对于工作效率有（甲，乙）+（丙，丁）－（乙，丙）=（甲，丁）．即+－=，甲、丁合作的工作效率为．所以，甲、丁两人合作24天可以完成这件工程．

【巩固】（难度等级※※）一项工作，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙、甲两人合做18天完成．那么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天?

【解析】方法一：

对于工作效率有：

（甲，乙）+（乙，丙）－（丙，甲）=2乙，即+－=为两倍乙的工作效率，所以乙的工作效率为．而对于工作效率有，（乙，丙）－乙=丙，那么丙的工作效率为－＝那么丙一个人来做，完成这项工作需1÷=48天。

方法二：

2（甲，乙，丙）=（甲+乙）+（乙、丙）+（甲、丙）＝＋＋＝，所以（甲，乙，丙）=÷2＝，即甲、乙、丙3人合作的工作效率为．那么丙单独工作的工作效率为－＝，那么丙一个人来做，完成这项工作需48天．

【例5】（难度等级※※※）一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满；乙、丙两管同时开，4小时灌满．现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满．乙单独开几小时可以灌满？

【解析】由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和都知道了，根据“现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时灌满”，我们可以把乙管的6小时分成3个2小时，第一个2小时和甲同时开，第二个2小时和丙同时开，第三个2小时乙管单独开．这样就变成了甲、乙同时开2小时，乙、丙同时开2小时，乙单独开2小时，正好灌满一池水．可以计算出乙单独灌水的工作量为，所以乙的工作效率为：

，所以整池水由乙管单独灌水，需要（小时）．

【例6】（难度等级※※※）（2007年四中考题）某水池可以用甲、乙两个水管注水，单开甲管需12小时注满，单开乙管需24小时注满，若要求10小时注满水池，且甲、乙两管同时打开的时间尽量少，那么甲、乙最少要同时开放　　小时．

【解析】要想同时开的时间最小，则根据工效，让甲“满负荷”地做，才可能使得同时开放的时间最小．所以，乙开放的时间为（小时），即甲、乙最少要同时开放4小时．

【例7】（难度等级※※※）一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？

【解析】先计算1个水龙头每分钟放出水量.2小时半比1小时半多60分钟，多流入水4×60=240（立方米）.时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是240÷（5×150-8×90）=8（立方米），8个水龙头1个半小时放出的水量是8×8×90，其中90分钟内流入水量是4×90，因此原来水池中存有水8×8×90-4×90=5400（立方米）.打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要5400÷（8×13-4）=54（分钟）.所以打开13个龙头，放空水池要54分钟.水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.

【例8】（难度等级※※※※）有10根大小相同的进水管给、两个水池注水，原计划用4根进水管给水池注水，其余6根给水池注水，那么5小时可同时注满．因为发现水池以一定的速度漏水，所以改为各用5根进水管给水池注水，结果也是同时注满．

（1）如果用10根进水管给漏水的水池注水，需要多少分钟注满?

（2）如果增加4根同样的进水管，水池仍然漏水，并且要求在注水过程中每个水池的进水管的数量保持不变，那么要把两个水池注满最少需要多少分钟?

（结果四舍五入到个位）

【解析】设每只进水管的工效为“1”，那么A池容量为4×5=20，B池容量为6×5=30．当用5根进水管给B池灌水时需30÷5=6小时，而在6小时内5只其水管给A池也是灌有30的水，所以漏了30—20=10，因此漏水的工效为

（1）用10根进水管给漏水的A池灌水，那么需

（2）设A池需根，那么B池需14根，有所以有化简解得所以A池用7根或6根进水管，此时对应所需时间，分别为：

①当A池用7根进水管时：

A：

7根水管，需时间小时=225分钟；B：

7根水管，需时间小时257分钟．此时要把两个水池注满最少需要257分钟；

②当A池用6根进水管时：

A：

6根水管，需时间小时277分钟；B：

8根水管，需时间30÷8=小时=225分钟．此时要把两个水池注满最少需要277分钟．所以，要把两个水管都注满，最少需257分钟，7根水管注A池，7根水管注B池．

【例9】（难度等级※※※）甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务．甲车单独清扫需10小时，乙车单独清扫需15小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米．问：

东、西两城相距多少千米？

【解析】法一：

先求出甲、乙相遇的时间：

小时；

甲清扫全长的，乙清扫了全部的；所以东、西两城相距千米．

法二：

因为时间相等，路程比等于速度比，这样相遇时甲、乙清扫的路程比是，

甲行了全程的，乙行了全程的，全程就是千米．

【例