浙江专用版高考数学大一轮复习 高考专题突破六 高考中的圆锥曲线问题教师用书文档格式.docx

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因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝×

×

6＝.

方法二　联立方程得x2－x＋＝0，

故xA＋xB＝.

根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋

＝12，

同时原点到直线AB的距离为h＝＝，

因此S△OAB＝|AB|·

h＝.

3．（2016·

山西质量监测）已知A，B分别为椭圆＋＝1（a>

b>

0）的右顶点和上顶点，直线y＝kx（k>

0）与椭圆交于C，D两点，若四边形ACBD的面积的最大值为2c2，则椭圆的离心率为（　　）

解析　设C（x1，y1）（x1>

0），D（x2，y2），

将y＝kx代入椭圆方程可解得x1＝，x2＝，

则|CD|＝|x1－x2|＝.

又点A（a,0）到直线y＝kx的距离d1＝，点B（0，b）到直线y＝kx的距离d2＝，

所以S四边形ACBD＝d1|CD|＋d2|CD|

＝（d1＋d2）·

|CD|＝·

·

＝ab·

.

令t＝，

则t2＝＝1＋2ab·

＝1＋2ab·

≤1＋2ab·

＝2，

当且仅当＝a2k，即k＝时，tmax＝，

所以S四边形ACBD的最大值为ab.

由条件，有ab＝2c2，

即2c4＝a2b2＝a2（a2－c2）＝a4－a2c2,2c4＋a2c2－a4＝0,2e4＋e2－1＝0，

解得e2＝或e2＝－1（舍去），所以e＝，故选D.

4．（2016·

北京）双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.

答案　2

解析　设B为双曲线的右焦点，如图所示．

∵四边形OABC为正方形且边长为2，

∴c＝|OB|＝2，

又∠AOB＝，

∴＝tan＝1，即a＝b.

又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.

题型一　求圆锥曲线的标准方程

例1　已知椭圆C：

＋＝1（a>

0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为（　　）

A.＋＝1B.＋y2＝1

C.＋＝1D.＋＝1

答案　A

解析　由e＝，得＝.①

又△AF1B的周长为4，

由椭圆定义，得4a＝4，得a＝，

代入①，得c＝1，所以b2＝a2－c2＝2，

故椭圆C的方程为＋＝1.

思维升华　求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程．

　（2015·

天津）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2,0），且双曲线的渐近线与圆（x－2）2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为（　　）

A.－＝1B.－＝1

C.－y2＝1D．x2－＝1

解析　双曲线－＝1的一个焦点为F（2,0），

则a2＋b2＝4，①

双曲线的渐近线方程为y＝±

x，

由题意得＝，②

联立①②解得b＝，a＝1，

所求双曲线的方程为x2－＝1，选D.

题型二　圆锥曲线的几何性质

例2　

（1）（2015·

湖南）若双曲线－＝1的一条渐近线经过点（3，－4），则此双曲线的离心率为（　　）

（2）（2016·

天津）设抛物线（t为参数，p>

0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为________．

答案　

（1）D　

（2）

解析　

（1）由条件知y＝－x过点（3，－4），∴＝4，

即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，

∴25a2＝9c2，∴e＝.故选D.

（2）由（p>

0）消去t可得抛物线方程为y2＝2px（p>

0），

∴F，

|AB|＝|AF|＝p，

可得A（p，p）．

易知△AEB∽△FEC，∴＝＝，

故S△ACE＝S△ACF＝×

3p×

p×

＝p2＝3，

∴p2＝6，∵p>

0，∴p＝.

思维升华　圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线，是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系．掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力．

　已知椭圆＋＝1（a>

0）与抛物线y2＝2px（p>

0）有相同的焦点F，P，Q是椭圆与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则椭圆＋＝1（a>

0）的离心率为____________．

答案　－1

解析　因为抛物线y2＝2px（p>

0）的焦点F为，设椭圆另一焦点为E.

当x＝时，代入抛物线方程得y＝±

p，

又因为PQ经过焦点F，所以P且PF⊥OF.

所以|PE|＝＝p，

|PF|＝p，|EF|＝p.

故2a＝p＋p,2c＝p，e＝＝－1.

题型三　最值、范围问题

例3　若直线l：

y＝－过双曲线－＝1（a>

0，b>

0）的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行．

（1）求双曲线的方程；

（2）若过点B（0，b）且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m在y轴上的截距的取值范围．

解　

（1）由题意，可得c＝2，＝，

所以a2＝3b2，且a2＋b2＝c2＝4，

解得a＝，b＝1.故双曲线的方程为－y2＝1.

（2）由

（1）知B（0,1），依题意可设过点B的直线方程为

y＝kx＋1（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）．

由得（1－3k2）x2－6kx－6＝0，

所以x1＋x2＝，

Δ＝36k2＋24（1－3k2）＝12（2－3k2）>

0⇒0<

k2<

且1－3k2≠0⇒k2≠.

设MN的中点为Q（x0，y0），

则x0＝＝，y0＝kx0＋1＝，

故直线m的方程为y－＝－，

即y＝－x＋.

所以直线m在y轴上的截距为，

由0<

，且k2≠，

得1－3k2∈（－1,0）∪（0,1），

所以∈（－∞，－4）∪（4，＋∞）．

故直线m在y轴上的截距的取值范围为（－∞，－4）∪（4，＋∞）．

思维升华　圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：

一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和均值不等式法、换元法、导数法等方法求最值；

二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值与范围．

　直线l：

x－y＝0与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为________．

答案　

解析　由得3x2＝2，

∴x＝±

，设点A在第一象限，

∴A（，），B（－，－），∴|AB|＝.

设与l平行的直线l′：

y＝x＋m与椭圆相切于P点．

则△ABP面积最大．

由得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，

∴Δ＝（4m）2－4×

3×

（2m2－2）＝0，

∴m＝±

.∴P到AB的距离即为l与l′的距离，

∴d＝.∴S△ABC＝×

＝.

题型四　定值、定点问题

例4　（2016·

全国乙卷）设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（1）证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

（2）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．

解　

（1）因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.

又圆A的标准方程为（x＋1）2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.

由题设得A（－1,0），B（1,0），|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1（y≠0）．

（2）当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k（x－1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）．

由得（4k2＋3）x2－8k2x＋4k2－12＝0.

则x1＋x2＝，x1x2＝，

所以|MN|＝|x1－x2|＝.

过点B（1,0）且与l垂直的直线m：

y＝－（x－1），

点A到m的距离为，

所以|PQ|＝2＝4.

故四边形MPNQ的面积

S＝|MN||PQ|＝12.

可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为（12,8）．

当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12.

综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8）．

思维升华　求定点及定值问题常见的方法有两种

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

　（2016·

北京）已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，A（a,0），B（0，b），O（0,0），△OAB的面积为1.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：

|AN|·

|BM|为定值．

（1）解　由已知＝，ab＝1.

又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝.

∴椭圆方程为＋y2＝1.

（2）证明　由

（1）知，A（2,0），B（0,1）．

设椭圆上一点P（x0，y0），则＋y＝1.

当x0≠0时，直线PA方程为y＝（x－2），

令x＝0，得yM＝.

从而|BM|＝|1－yM|＝.

直线PB方程为y＝x＋1.令y＝0，得xN＝.

∴|AN|＝|2－xN|＝.

∴|AN|·

|BM|＝·

＝·

＝

＝＝4.

当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，

|BM|＝4.故|AN|·

题型五　探索性问题

例5　（2015·

广东）已知过原点的动直线l与圆C1：

x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.

（1）求圆C1的圆心坐标；

（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；

（3）是否存在实数k，使得直线L：

y＝k（x－4）与曲线C只有一个交点？

若存在，求出k的取值范围；

若不存在，说明理由．

解　

（1）圆C1：

x2＋y2－6x＋5＝0化为（x－3）2＋y2＝4，∴圆C1的圆心坐标为（3,0）．

（2）设M（x，y），

∵A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点，

∴由圆的性质知MC1⊥MO，∴·

＝0.

又∵＝（3－x，－y），＝（－x