高中数学第三章三角恒等变换新人教版必修文档格式.docx
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2.sin14°
cos16°
＋sin76°
cos74°
的值是（ ）
A.B.C.－D.－
解析 sin14°
＝cos76°
sin16°
＝cos（76°
－16°
）＝cos60°
＝.
答案 B
3.化简sinsin＋coscos的结果是（ ）
A.sin2xB.cos2x
C.0D.1
解析 原式＝cos＝cos＝0.
答案 C
4.计算sin60°
＋cos60°
＝________.
解析 原式＝sin30°
sin60°
＋cos30°
cos60°
＝cos（60°
）＝cos30°
答案
类型一 运用公式求值
【例1】求下列各式的值：
（1）cos40°
cos70°
＋cos20°
cos50°
；
（2）.
解
（1）原式＝cos40°
＋sin70°
sin40°
＝cos（70°
－40°
（2）原式＝
＝＝cos15°
－45°
＝cos60°
cos45°
＋sin60°
sin45°
规律方法 对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形.一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分求值；
要善于逆用或变用公式.
【训练1】求下列各式的值：
（1）sin46°
cos14°
＋sin44°
cos76°
.
（2）cos15°
＋sin15°
解
（1）原式＝sin（90°
－44°
）cos14°
cos（90°
－14°
＝cos44°
sin14°
＝cos（44°
（2）原式＝cos60°
cos15°
sin15°
－15°
）＝cos45°
类型二 给值求值问题
【例2】（xx·
绍兴高一期末测试）设cos（α－）＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos.
解 ∵α∈，β∈，
∴α－∈，－β∈，
∴sin＝＝＝.
cos＝
＝＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×
＋×
规律方法 三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换.常见的有：
α＝（α＋β）－β，α＝β－（β－α），α＝（2α－β）－（α－β），α＝，α＝等.
【训练2】已知cosα＝，cos（α＋β）＝－，且α、β∈，求cosβ的值.
解 ∵α、β∈，
∴α＋β∈（0，π）.
又∵cosα＝，cos（α＋β）＝－，
∴sinα＝＝，
sin（α＋β）＝＝.
又∵β＝（α＋β）－α，
∴cosβ＝cos[（α＋β）－α]
＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα
＝×
类型三 给值求角问题（互动探究）
【例3】已知α、β均为锐角，且cosα＝，cosβ＝，求α－β的值.
[思路探究]
探究点一 要求α－β的值，可以先求什么？
提示 可以先求cos（α－β）的值.
探究点二 要求cos（α－β）的值，还需求哪些值？
提示 还需求sinα，sinβ.
探究点三 由cos（α－β）的值，求α－β的值，应注意什么？
提示 应注意α－β的范围.
解 ∵α、β均为锐角，
∴sinα＝，sinβ＝.
∴cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
又sinα<
sinβ，
∴0<
α<
β<
，
∴－<
α－β<
0.故α－β＝－.
规律方法 解给值求角问题的一般步骤
（1）求角的某一个三角函数值.
（2）确定角的范围.
（3）根据角的范围写出所求的角.
【训练3】已知cosα＝，cos（α－β）＝，且0<
，求β的值.
解 由cosα＝，0<
得sinα＝＝＝，
由0<
，得0<
又因为cos（α－β）＝，
所以sin（α－β）＝＝＝，
由β＝α－（α－β）得
cosβ＝cos[α－（α－β）]＝cosαcos（α－β）＋sinαsin（α－β）
＝，所以β＝.
[课堂小结]
1.公式的结构特点
公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式.
2.公式的适用条件
公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos中的“”相当于公式中的角α，“”相当于公式中的角β.
3.公式的“活”用
公式的运用要“活”，体现在顺用、逆用、变用.而变用又涉及两个方面：
（1）公式本身的变用，如cos（α－β）－cosαcosβ＝sinαsinβ；
（2）角的变用，也称为角的变换，如cosα＝cos[（α＋β）－β]，cos2β＝cos[（α＋β）－（α－β）].
1.cos78°
cos18°
＋sin78°
sin18°
的值为（ ）
A.B.C.D.
解析 cos78°
＝cos（78°
－18°
＝，故选A.
答案 A
2.cos165°
等于（ ）
A.B.
C.－D.－
解析 cos165°
＝cos（180°
）＝－cos15°
＝－cos（45°
）＝
－（cos45°
cos30°
＋sin45°
sin30°
）＝－.
3.sin60°
解析 原式＝sin60°
－60°
）＝cos0°
＝1.
答案 1
4.已知sinα＝－，sinβ＝，且180°
<
270°
，90°
180°
，求
cos（α－β）的值.
解 因为sinα＝－，180°
所以cosα＝－.
因为sinβ＝，90°
所以cosβ＝－.
所以cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
＝－＝.
基础过关
1.若sinαsinβ＝1，则cos（α－β）的值为（ ）
A.0B.1C.±
1D.－1
解析 由sinαsinβ＝1，得cosαcosβ＝0，
∴cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝1.
2.化简cos（45°
－α）cos（α＋15°
）－sin（45°
－α）sin（α＋15°
）的结果为（ ）
A.B.－C.D.－
解析 原式＝cos（α－45°
）cos（α＋15°
）＋sin（α－45°
）sin（α＋15°
）＝cos[（α－45°
）－（α＋15°
）]＝cos（－60°
）＝.
3.若cos（α－β）＝，cos2α＝，并且α、β均为锐角且α<
β，则α＋β的值为（ ）
解析 sin（α－β）＝－（－<
0）.
sin2α＝，
∴cos（α＋β）＝cos[2α－（α－β）]
＝cos2αcos（α－β）＋sin2αsin（α－β）
＝－，
∵α＋β∈（0，π），∴α＋β＝.
4.已知点A（cos80°
，sin80°
），B（cos20°
，sin20°
），则||＝（ ）
A.B.C.D.1
解析 ||＝
＝
＝＝＝1.
答案 D
5.若cos（α－β）＝，则（sinα＋sinβ）2＋（cosα＋cosβ）2＝________.
解析 原式＝2＋2（sinαsinβ＋cosαcosβ）
＝2＋2cos（α－β）＝.
6.已知向量a＝（cosα，sinα），b＝（cosβ，sinβ），|a－b|＝，求cos（α－β）.
解 ∵a＝（cosα，sinα），b＝（cosβ，sinβ），
∴a－b＝（cosα－cosβ，sinα－sinβ）.
∴|a－b|＝＝
＝＝，
∴2－2cos（α－β）＝，∴cos（α－β）＝.
7.已知α、β为锐角，cosα＝，sin（α＋β）＝，求角β的值.
解 ∵α为锐角，cosα＝，∴sinα＝.
又∵β为锐角，∴0<
α＋β<
π.
∵sin（α＋β）＝<
sinα，∴<
π，
∴cos（α＋β）＝－，
＝，
∵β为锐角，∴β＝.
8.求函数y＝cosx＋cos（x∈R）的最大值和最小值.
解 y＝cosx＋cosxcos＋sinxsin
＝cosx＋sinx＝
＝cos.
∵－1≤cos≤1.∴ymax＝，ymin＝－.
能力提升
9.将函数y＝cosx＋sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ）
解析 y＝cosx＋sinx＝2cos，将函数y＝2cos的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，得到y＝2cos，此时关于y轴对称，则m－＝kπ，k∈Z，所以m＝＋kπ，k∈Z，所以当k＝0时，m的最小值是，选B.
10.若sinx＋cosx＝cos（x＋φ），则φ的一个可能值为（ ）
A.－B.－C.D.
解析 sinx＋cosx＝cosxcos＋sinxsin＝cos，故φ的一个可能值为－.
11.已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0和cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos（α－β）的值是________.
解析 由已知得
①2＋②2得：
（sinα＋sinβ）2＋（cosα＋cosβ）2＝1，
整理得：
2＋2cos（α－β）＝1，
∴cos（α－β）＝－.
答案 －
12.若sinα－sinβ＝1－，cosα－cosβ＝，则cos（α－β）的值为________.
解析 ∵sin
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