数学23讲义 第7章 71 两个计数原理Word下载.docx

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完成一件事，若每一步的任一种方法只能完成这件事的一部分，而且必须依次完成所有各步后才能完成这件事，则计算完成这件事的方法总数用分步乘法计数原理．

分类加法计数原理的应用

[例1]　甲班有学生56人，其中男生36人；

乙班有学生58人，其中女生36人；

丙班有学生56人，其中男生35人．

（1）从这三个班中选一名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？

（2）从这三个班的男生中选一人担任学生会体育部部长，有多少种不同的选法？

[解]　

（1）分3类：

从甲班选一名，有56种不同选法；

从乙班选一名，有58种不同选法；

从丙班选一名，有56种不同选法．每一种方法都能独立完成“选一名学生担任学生会主席”这件事，根据分类加法计数原理，共有56＋58＋56＝170种不同的选法．

（2）分3类：

从甲班选一名男生，有36种不同选法；

从乙班选一名男生，有58－36＝22种不同选法；

从丙班选一名男生，有35种不同选法．

根据分类加法计数原理，共有36＋22＋35＝93种不同的选法．

用分类加法计数原理解题应注意以下问题：

（1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算完成这件事．

（2）分类计数原理中的“分类”要全面、不能遗漏，但也不能重复、交叉．

（3）“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的，也就是说，完成一件事情，每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法．

（4）若完成某件事情有n类办法，则它们两两的交集为空集，n类的并集为全集．

1．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？

解：

法一：

按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36（个）．

法二：

按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36（个）．

分步乘法计数原理的应用

[例2]　从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则分别满足下列条件的数有多少个？

（1）三位数；

（2）三位数的偶数．

[解]　

（1）三位数有三个数位，

故可分三个步骤完成：

第一步，排个位，从1,2,3,4中选1个数字，有4种方法；

第二步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；

第三步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．依据分步乘法计数原理，共有4×

3×

2＝24个满足要求的三位数．

（2）分三个步骤完成：

第一步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法；

第二步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；

第三步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法．

故共有2×

2＝12个三位数的偶数．

利用分步乘法计数原理应注意：

（1）要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．

（2）“步”与“步”之间是连续的、不间断的或缺一不可的，但也不能重复、交叉．

（3）若完成某件事情需n步，则必须且只需依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成．

2．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，求不同的出场安排共有多少种？

按出场次序，第一位置队员的安排有3种方法，第二位置队员的安排有7种方法，第三位置队员的安排有2种方法，第四位置队员的安排有6种方法，第五位置队员的安排只有1种方法．

由分步乘法计数原理，得不同的出场安排种数为3×

7×

2×

6×

1＝252.

按主力与非主力，分两步安排．

第一步，安排3名主力队员在第一、三、五位置上，有6种方法，

第二步，安排7名非主力队员中的2名在第二、四位置上，有7×

6种方法．

由分步乘法计数原理，得不同的出场安排种数为6×

6＝252.

两个计数原理的综合问题

[例3]　若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？

[解]　分两类完成．

第1类，当A或B中有一个为0时，

表示的直线为x＝0或y＝0，共2条．

第2类，当A，B不为0时，

直线Ax＋By＝0被确定需分两步完成．

第1步，确定A的值，

有4种不同的方法；

第2步，确定B的值，

有3种不同的方法．

由分步乘法计数原理知，

共可确定4×

3＝12条直线．

由分类加法计数原理知，

方程所表示的不同直线共有

2＋12＝14条．

利用两个计数原理解题时的三个注意点

（1）当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法．

（2）分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树形图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．

（3）综合问题一般是先分类再分步．

3．某电视台的主持人在某综艺节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信，甲箱中有30封，乙箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先从中确定一名幸运之星，再从两箱中各确定一名幸运观众，则有多少种不同结果？

①若幸运之星在甲箱中抽取，

则有30×

29×

20＝17400种不同的结果；

②若幸运之星在乙箱中抽取，

则有20×

19×

30＝11400种不同的结果．

故共有17400＋11400＝28800种不同结果．

解题高手

易错题

某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？

[尝试]　

[错解]　第一步，从会英语的7人中选一人，有7种选法；

第二步，从会日语的3人中选一人，有3种选法，

故共有7×

3＝21（种）不同的选法．

[错因]　由题目条件可知，外语组共有9人，显然错解误认为会英语的7人，会日语的3人，共10人．而忽视了其中有一人既会英语又会日语这一隐含条件，从而导致解题错误．由于该题中既会英语又会日语的有1人，而选不选该人对下一步都有影响，所以要进行分类：

第一类他不当选；

第二类按会英语当选；

第三类按会日语当选．在每一类中，又要分两步，因此是先分类后分步问题．

[正解]　“完成一件事”指“从9人中选出会英语与日语的各1人”，故需分三类：

①既会英语又会日语的不当选；

②既会英语又会日语的按会英语当选；

③既会英语又会日语的按会日语当选．

既会英语又会日语的有7＋3－9＝1（人），仅会英语的有6人，仅会日语的有2人．先分类后分步，从仅会英、日语的人中各选1人有6×

2种选法；

从仅会英语与英、日语都会的人中各选1人有6×

1种选法；

从仅会日语与英、日语都会的人中各选1人有2×

1种选法．根据分类加法计数原理，共有6×

2＋6×

1＋2×

1＝20（种）不同选法．

1．某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有（　　）

A．24种　　　　　　　　B．9种

C．3种D．26种

解析：

选B　不同的杂志本数为4＋3＋2＝9种，从其中任选一本阅读，共有9种选法．

2．（全国卷Ⅰ）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（　　）

A．24B．18

C．12D．9

选B　由题意可知E→F有6种走法，F→G有3种走法，由分步乘法计数原理知，共6×

3＝18种走法．

3．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是（　　）

A．60B．48

C．36D．24

选B　长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×

6＝36（个），另外含4个顶点的6个面（非表面）构成的“平行线面组”有6×

2＝12（个），所以共有36＋12＝48（个）．

4．已知x∈{2,3,7}，y∈{－3，－4,8}，则xy可表示不同的值的个数为________．

分两步：

第1步，在集合{2,3,7}中任取一个值，有3种不同取法；

第2步，在集合{－3，－4,8}中任取一个值，有3种不同取法．故xy可表示3×

3＝9个不同的值．

答案：

9

5．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为________．

完成配成一套衣服这件事分两步：

第一步选长裤，有3种选法，第二步选上衣，有4种选法，共有3×

4＝12种不同配法．

12

6．某座山，若从东侧通往山顶的道路有3条，从西侧通往山顶的道路有2条，其余无道路通向山顶．

（1）某游人从一侧上山，另一侧下山，共有多少种不同的走法？

（2）某游人任意选择上山与下山的道路，共有多少种不同的走法？

（1）分两类：

①从东侧上山，西侧下山，走法有3×

2＝6（种）；

②从西侧上山，东侧下山，走法有2×

3＝6（种），所以共有6＋6＝12（种）不同的走法．

（2）法一：

完成从上山到下山这件事可分为四类：

①从东侧上山，且从东侧下山，走法有3×

3种；

②从东侧上山，从西侧下山，走法有3×

2种；

③从西侧上山，从东侧下山，走法有2×

④从西侧上山，且从西侧下山，走法有2×

2种．

根据分类加法计数原理知，

共有3×

3＋3×

2＋2×

3＋2×

2＝25（种）不同的走法．

上山共有5条道路，下山也有5条道路，由分步乘法计数原理得从上山到下山共有5×

5＝25（种）不同的走法．

一、选择题

1．从3名女同学和2名男同学中选出一人主持本班一次班会，则不同的选法种数为（　　）

A．6　　　　　　　　　　B．5

C．3D．2

B

2．在2,3,5,7,11这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为（　　）

A．20B．10

C．5D．24

选B　假分数的分子大于分母．故以2为分母的有4个；

以3为分母的有3个；

以5为分母的有2个；

以7为分母的只有1个．由分类加法计数原理知共有4＋3＋2＋1＝10个．

3．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有（　　）

A．30个B．42个

C．36个D．35个

选C　要完成这件事可分两步，第一步确定b（b≠0）有6种方法，第二步确定a有6种方法，故由分步乘法计数原理知共有6×

6＝36个虚数．

4．已知两条异面直线a，b上