自动排课算法分析报告报告材料Word文件下载.docx

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1绪论

1课题背景与研究意义

排课问题早在70年代就证明是一个NP完全问题，即算法的计算时间是呈指数增长的，这一论断确立了排课问题的理论深度。

对于NP问题完全问题目前在数学上是没有一个通用的算法能够很好地解决。

然而很多NP完全问题目具有很重要的实际意义，例如。

大家熟悉地路由算法就是很典型的一个NP完全问题，路由要在从多的节点中找出最短路径完成信息的传递。

既然都是NP完全问题，那么很多路由算法就可以运用到解决排课问题上，如Dijkstra算法、节点子树剪枝构造网络最短路径法等等。

目前大家对NP完全问题研究的主要思想是如何降低其计算复杂度。

即利用一个近似算法来代替，力争使得解决问题的时间从指数增长化简到多项式增长。

结合到课表问题就是建立一个合适的现实简约模型，利用该简约模型能够大大降低算法的复杂度，便于程序实现，这是解决排课问题一个很多的思路。

在高等院校中，培养学生的主要途径是教学。

在教学活动中，有一系列管理工作，其中，教学计划的实施是一个重要的教学环节。

每学期管理人员都要整理教学计划，根据教学计划下达教学任务书，然后根据教学任务书编排课程表。

在这些教学调度工作中，既有大量繁琐的数据整理工作，更有严谨思维的脑力劳动，还要填写大量的表格。

因此工作非常繁重。

加之，随着教学改革的进行及“211”工程的实施，新的教育体制对课表的编排提出了更高的要求。

手工排课时，信息的上通下达是极其麻烦的，而采用计算机排课，教学中的信息可以一目了然，对于优化学生的学习进程，评估每位教师对教学的贡献，领导合理决策等都具有重要的意义，必将会大大推进教学的良性循环。

2课题的应用领域

本课题的研究对开发高校排课系统有指导作用。

排课问题的核心为多维资源的冲突与抢占，对其研究对类似的问题（特别是与时间表有关的问题：

如考试排考场问题、电影院排座问题、航空航线问题）也是个参考。

3课题的现状

年代末，国外就有人开始研究课表编排问题。

1962年，Gotlieb曾提出了一个课表问题的数学模型，并利用匈牙利算法解决了三维线性运输问题。

次后，人们对课表问题的算法、解的存在性等问题做了很多深入探讨。

但是大多数文献所用的数学模型都是Gotlieb的数学模型的简化或补充，而至今还没有一个可行的算法来解决课表问题。

近40年来，人们对课表问题的计算机解法做了许多尝试。

其中，课表编排的整数规划模型将问题归结为求一组0-1变量的解，但是其计算量非常大。

解决0-1线性优化问题的分支一定界技术却只适用也规模较小的课表编排，Mihoc和Balas（1965）将课表公式化为一个优化问题，Krawczk则提出一种线性编程的方法。

Junginger将课表问题简化为三维运输问题，而Tripathy则把课表问题视作整数线性编程问题并提出了大学课表的数学模型。

此外，有些文献试图从图论的角度来求解排课表的问题，但是图的染色问题也是NP完全问题，只有在极为简单的情况下才可以将课表编排转化为二部图匹配问题，这样的数学模型与实际相差太远，所以对于大多数学校的课表编排问题来说没有实用价值。

进入九十年代以后，国外对课表问题的研究仍然十分活跃。

比较有代表的有印度的Vastapur大学管理学院的ArabindaTripathy、加拿大Montreal大学的JeanAubin和JacquesFerland等。

目前，解决课表方法的问题有：

模拟手工排课法，图论方法，拉格朗日法，二次分配型法等多种方法。

由于课表约束复杂，用数学方法进行描述时往往导致问题规模剧烈增大，这已经成为应用数学编程解决课表问题的巨大障碍。

国外的研究表明，解决大规模课表编排问题单纯靠数学方法是行不通的，而利用运筹学中分层规划的思想将问题分解，将是一个有希望得到成功的办法。

在国内，对课表问题的研究开始于80年代初期、具有代表性的有：

南京工学院的UTSS（AUniversityTimetableSchedulingSystem）系统，清华大学的TISER（TimetableSchedulER）系统，大连理工大学的智能教学组织管理与课程调度等，这些系统大多数都是模拟手工排课过程，以“班”为单位，运用启发式函数来进行编排的。

但是这些系统课表编排系统往往比较依赖于各个学校的教学体制，不宜进行大量推广。

从实际使用的情况来看，国内外研制开发的这些软件系统在实用性上仍不尽如人意。

一方面原因是作为一个很复杂的系统，排课要想面面俱到是一件很困难的事；

另一方面每个学校由于其各自的特殊性，自动排课软件很难普遍实用，特别是在调度的过程中一个很小的变动，要引起全部课程的大调整，这意味着全校课程大变动，在实际的应用中这是很难实现的事。

4解决NP问题的几种算法及其比较

解决NP完全问题只能依靠近似算法，所以下面介绍几种常用算法的设计思想，包括动态规划、贪心算法、回溯法等。

动态规划法是将求解的问题一层一层地分解成一级一级、规模逐步缩小的子问题，直到可以直接求出其解的子问题为止。

分解成的所有子问题按层次关系构成一颗子问题树。

树根是原问题。

原问题的解依赖于子问题树中所有子问题的解。

动态规划算法通常用于求一个问题在某种意义下的最优解。

设计一个动态规划算法，通常可按以下几个步骤进行：

1.分析最优解的性质，并刻划其结构特征。

2.递归的定义最优解。

3.以自底向上的方式计算出最优解。

4.根据计算最优解时得到的信息，构造一个最优解。

步骤1~3是动态规划算法的基本步骤。

在只需要求出最优解的情形，步骤4可以省去。

若需要求出问题的一个最优解，则必须执行步骤4。

此时，在步骤3中计算最优解时，通常需记录更多的信息，以便在步骤4中，根据所记录的信息，快速地构造出一个最优解。

（二）贪心算法

当一个问题具有最优子结构性质时，我们会想到用动态规划法去解它，但有时会有更简单、更有效的算法，即贪心算法。

顾名思义，贪心算法总是做出在当前看来最好的选择。

也就是说贪心算法并不是整体最优上加以考虑，他所作出的选择只是在某种意义上的局部最优的选择。

虽然贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，但对范围相当广的许多问题它能产生整体最优解，如图的算法中单源最短路径问题，最小支撑树问题等。

在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，但其最终结果却是最优解的很好的近似解。

在贪心算法中较为有名的算法是Dijkstra算法。

它作为路由算法用来寻求两个节点间的最短路径。

Dijkstra算法的思想是：

假若G有n个顶点，于是我们总共需要求出n-1条最短路径，求解的方法是：

初试，写出V0（始顶点）到各顶点（终顶点）的路径长度，或有路径，则令路径的长度为边上的权值；

或无路经，则令为∞。

再按长度的递增顺序生成每条最短路径。

事实上生成最短路径的过程就是不断地在始顶点V何终顶点W间加入中间点的过程，因为在每生成了一条最短路径后，就有一个该路径的终顶点U，那么那些还未生成最短路径的路径就会由于经过U而比原来的路径短，于是就让它经过U。

（三）回溯法

回溯法有“通用的解题法”之称。

用它可以求出问题的所有解或任一解。

概括地说，回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的搜索法。

它在包含问题所有解的一颗状态空间树上，按照深度优先的策略，从根出发进行搜索。

搜索每到达状态空间树的一个节点，总是先判断以该节点为根的子树是否肯定不包含问题的解。

如果肯定不包含，则跳过对该子树的系统搜索，一层一层地向它的祖先节点继续搜索，直到遇到一个还有未被搜索过的儿子的节点，才转向该节点的一个未曾搜索过的儿子节点继续搜索；

否则，进入子树，继续按深度优先的策略进行搜索。

回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根的所有儿子都已被搜索过才结束；

而在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可结束。

1.问题的描述

我们讨论的自动排课问题的简化描述如下:

设要安排的课程为{C1,C2,.,Cn},课程总数为n,而各门课程每周安排次数（每次为连续的2学时）为{N1,N2,.,Nn};

每周教学日共5天,即星期一～星期五;

每个教学日最多安排4次课程教学,即1～2节、3～4节、5～6节和7～8节（以下分别称第1、2、3、4时间段）.在这种假设下,显然每周的教学总时间段数为5×

4=20,并存在以下约束关系:

　　　　n≤20,

（1）

　　　　N=6n，i=1，Ni≤20.

（2）

自动排课问题是:

设计适当的数据结构和算法,以确定{C1,C2,.,Cn}中每个课程的教学应占据的时间段,并且保证任何一个时间段仅由一门课程占据.

2.主要数据结构

对于每一门课程,分配2个字节的“时间段分配字”（无符号整数）:

{T1,T2,.,Tn}.其中任何一个时间段分配字（假设为Ti）都具有如下格式:

Ti的数据类型C语言格式定义为:

unsignedint.Ti的最高位是该课程目前是否是有效的标志,0表示有效,1表示无效（如停课等）;

其它各位称为课程分配位,每个课程分配位占连续的3个位（bit）,表示某教学日（星期一～星期五）安排该课程的时间段的值,0表示当日未安排,1～4表示所安排的相应的时间段（超过4的值无效）.

在这种设计下,有效的时间段分配字的值应小于32768（十六进制8000）,而大于等于32768的时间段分配字对应于那些当前无效的课程（既使课程分配位已设置好也如此）,因此很容易实现停课/开课处理.

3.排课算法

在上述假设下,自动排课算法的目标就是确定{C1,C2,.,Cn}所对应的{T1,T2,.,Tn}.

从安排的可能性上看,共有20!

/（20-N）!

种排法（N的含义见

（2）式）.如果有4门课,每门课一周上2次,则N=8,这8次课可能的安排方法就会有20!

/（20-8）!

=5079110400,即50多亿种.如果毫无原则地在其中选择一种方案,将会耗费巨大量的时间.所以排课的前提是必须有一个确定的排课原则.我们采用轮转分配法作为排课原则:

从星期一第1时间段开始按{C1,C2,.,Cn}中所列顺序安排完各门课程之后（每门课安排1次）,再按该顺序继续向后面的时间段进行安排,直到所有课程的开课次数符合{N1,N2,.,Nn}中给定的值为止.在算法描述中将用{C[1],C[2],.,C[n]}表示{C1,C2,.,Cn},对{N1,N2,.,Nn}

和{T1,T2,.,Tn}也采用同样的表示法.

算法1　排课算法

输入　{C1,C2,.,Cn}、{N1,N2,.,Nn}.

输出　{T1,T2,.,Tn}.

①　初始化:

　　星期值week=1

　　时间段值segment=1

　　{T[1],T[2],.,T[n]}中各时间段分配字清零

②　新一轮扫描课程:

　　置继续处理标志flag=0

　　对课程索引值c-index=1,2,.,n进行以下操作:

　　如果N[c-index]>

0,则做以下操作:

　　　　把segment的值写入T[c-index]的第（week-1）33～week33-1位中　　N[c-index]的值减1

　　　　如果N[c-index]>

0,则置flag=1

　　　　如果week=5并且segment=4

　　则:

置flag=1并转③

　　否则:

如果segment=4

　　　　则:

置segment=1且week增1

　　　　否则:

segment增1

　　　　　　检测是否已全部安排完毕:

　　如果flag=1

转②

转③

③　检测是否成功: