小学数学工程问题.doc

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工程问题

问题分析

工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。

工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。

因此，在教学中，如何让学生建立正确概念是数学应用题的关键。

联系实际，让学生理解工作总量、工作时间、工作效率之间的概念及它们之间的数量关系。

充分发挥学生的主体地位，锻炼学生已有的知识解决合作问题。

在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是——工作量=工作效率×时间。

在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”.

　　举一个简单例子.：

一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？

一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1。

所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，再根据基本数量关系式，得到：

所需时间=工作量÷工作效率=6（天）。

为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），可以把工作量多设份额，还是上题，10与15的最小公倍数是30，设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份，两人合作所需天数是：

30÷（3+2）=6（天），整数计算就方便些。

或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”，甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2，当知道了两者工作效率之比。

【知识点】

工程问题是分析工作效率、工作时间和工作总量之间关系，一般是利用学过的分数知识解决问题。

在工程问题中，一般没有明确给出工作总量，解题时常常把工作总量看成单位“1”。

在单位时间内完成的工作量称为工作效率，工作效率一般是工作总量的几分之几。

工程问题基本数量关系式：

（1）一般公式：

工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间

工作总量÷工作时间＝工作效率

（2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：

1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几；一般给出工作时间，就可以知道工作效率为,

1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间。

如果可以给出工作效率是，就可以知道工作时间为a.

【例题讲解】

两个人的问题

例1．一件工作，由A做20天完成，B做15天完成。

（1）两队合做5天可以完成工程的几分之几？

（2）两队合做6天，还剩下工程的几分之几？

（3）两队合做几天完成？

解：

（1）

（2）

（3）

答：

（1）两队合做5天可以完成工程的。

（2）两队合做6天，还剩下工程的。

（3）两队合做8天完成。

【解析】

此题是工作效率问题。

A用20天完成，总工程是“1”，所以甲队的工作效率是，乙对的工作效率是。

问题

（1）要求完成的工程量，用工作效率×工作时间；

问题

（2）要求剩余工程量，可先求出已做的工程量，用总工程量“1”减去已做工程量；

问题（3）要求完成时间，用总工程量“1”÷总工效。

例2．一工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成，现在甲、乙做了3天，余下的工作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作？

解：

（1）

（2）

答：

乙需要做1天可以完成全部工作。

【解析】

要解决此题，就要清楚此工程的过程，此工程是甲和乙完成一件工作，先是甲和乙一起做，之后转由乙单独完成，求的是乙单独完成剩下的工作时间。

总工程是“1”，就可以知道：

甲的工作效率是，乙对的工作效率是。

求乙单独完成剩下的工作时间，还需要知道乙的工作总量，乙的工作总量=1-甲乙一起3天做的工作量。

甲和乙3天的工作总量：

工作效率×工作时间＝工作总量

，

剩下：

乙完成剩下的工作时间：

利用工作总量÷工作效率＝工作时间

例3．一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成，如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？

解法一：

解：

（天）

（天）

答：

工作由甲或乙单独完成，甲需要75天，乙需要50天。

【解析】

此题是求工作时间问题，工作时间=工作总量÷工作效率。

工作总量是“1”，因此就转换需要求出甲和乙完成这件工作的工作效率。

甲、乙的总工作效率：

甲、乙6天的工作总量：

乙40天的工作总量：

，可以求得乙的工作效率：

甲的工作效率：

解法二：

提示：

甲做24天，乙做16天。

例4.某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天可以完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成，现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？

　　解：

先对比如下：

　　甲做63天，乙做28天；

　　甲做48天，乙做48天

由此，可知甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），得出相同的工作量，甲的工作时间︰乙的工作时间=15︰20=3︰4。

甲先单独做42天，比63天少做了：

63-42=21（天），相当于乙要做28天，因此，乙还要做：

28+28=56（天）。

答：

乙还需要做56天.

例5.一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成，现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）。

问从开始到完工共用了多少天时间？

解一：

甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量，余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是：

（1－×8－×2）÷（＋）=1（天）。

总共需要：

2+8+1=11（天），

答：

从开始到完工共用了11天，

解二：

设全部工作量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成1份。

在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作：

（30-3×8-1×2）÷（3+1）=1（天）

解三：

甲队做1天相当于乙队做3天。

在甲队单独做8天后，还余下（甲队）10-8=2（天）工作量，相当于乙队要做2×3=6（天），乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量。

乙队4天的工作量由甲、队一起做，其中乙队3天工作量可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天。

例6.一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成，现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天。

从开始到完成共用了16天。

问乙队休息了多少天？

解一：

如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是

　　由于两队休息期间未做的工作量是

　　乙队休息期间未做的工作量是

　　乙队休息的天数是

　　答：

乙队休息了5天半.

　　解二：

设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.

　　两队休息期间未做的工作量是

　　（3+2）×16-60=20（份）.

　　因此乙休息天数是

　　（20-3×3）÷2=5.5（天）.

　　解三：

甲队做2天，相当于乙队做3天.

　　甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天.

　　如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数是

　　16-6-4.5=5.5（天）.

　　例7有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？

　　解：

很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙.

　　设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份.

　　8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-4×8）份.由张、李合作需要

　　（60-4×8）÷（4+3）=4（天）.

　　8+4=12（天）.

　　答：

这两项工作都完成最少需要12天.

　　例8一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天，如果两人合作，他要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？

解：

设这项工程的工作量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份.

　　两人合作，共完成

　　3×0.8+2×0.9=4.2（份）.

　　因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成，所以两人合作的天数是

　　（30-3×8）÷（4.2-3）=5（天）.

　　很明显，最后转化成“鸡兔同笼”型问题.

　　例9甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时快如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？

　　解：

乙6小时单独工作完成的工作量是

　　乙每小时完成的工作量是

　　两人合作6小时，甲完成的工作量是

　　甲单独做时每小时完成的工作量

　　甲单独做这件工作需要的时间是

　　答：

甲单独完成这件工作需要33小时.

　　这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理.但是，“整数化”并不能使所有工程问题的计算简便.例8就是如此.例8也可以整数化。

二、多人的工程问题

　　例10.一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成，问甲一人独做需要多少天完成？

解：

（天）

（天）

（天）

答：

独做完成，甲需90天，乙需60天，丙需180天。

【解析】

此题有别与以上3题，是要对工作效率更深刻的理解，寻找数学量之间的关系。

例11．一项工程，甲、乙、丙三人合作需要12天完成，如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者甲多做1天，问这项工程由甲独做需要多少天？

解：

12+12×＋12×2=42（天）

42×=21（天）

答:

这项工程甲单独做需要21天。

【解析】

题中说“如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲多做1天”，就是说丙2天的工作量，乙需要4天做，或者甲只需1天，那么丙的工效就是乙的2倍，丙的工效是甲的。

乙12天的工作量丙需要6天，甲12天的工作量丙需要24天。

所以这件工程丙需要12＋6＋24=42天。

甲需要的时间是丙时间的一半：

21天，　　

例12.一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？

　　解：

甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）.

　　说明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12（天），三人一共做了

　　2+6+12=20（天）.

　　答：

完成这项工作用了20天.

　　本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.总共用了

　　例13一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？

　　解：

丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.

　　他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要

　　答：

甲独做需要26天.

　　事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1，就知甲做1天，相当于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙两人完成的工作量，可转化为甲再做13天来完成.

　　例12某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人