18版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语12命题及其关系充分条件与必要条件理Word格式.docx

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　）

（2）命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．（　×

（3）若一个命题是真命题，则其逆否命题也是真命题．（　√　）

（4）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．（　√　）

（5）当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．（　√　）

（6）若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．（　√　）

1．下列命题中为真命题的是（　　）

A．命题“若x>

y，则x>

|y|”的逆命题

B．命题“若x>

1，则x2>

1”的否命题

C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题

D．命题“若x2>

0，则x>

1”的逆否命题

答案　A

解析　对于A，其逆命题是若x>

|y|，则x>

y，是真命题，这是因为x>

|y|≥y，必有x>

y.

2．（教材改编）命题“若x2>

y2，则x>

y”的逆否命题是（　　）

A．若x<

y，则x2<

y2B．若x≤y，则x2≤y2

C．若x>

y，则x2>

y2D．若x≥y，则x2≥y2

答案　B

解析　根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>

y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．

3．（教材改编）“（x－1）（x＋2）＝0”是“x＝1”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析　由（x－1）（x＋2）＝0可得x＝1或x＝－2，

∵{1}{1，－2}，

∴“（x－1）（x＋2）＝0”是“x＝1”的必要不充分条件．

4．（2016·

北京）设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

答案　D

解析　若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为菱形，a＋b，a－b表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立；

反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，所以“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．

5．在下列三个结论中，正确的是________．（写出所有正确结论的序号）

①若A是B的必要不充分条件，则綈B也是綈A的必要不充分条件；

②“

”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件；

③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件．

答案　①②

解析　易知①②正确．对于③，若x＝－1，则x2＝1，充分性不成立，故③错误.

题型一　命题及其关系

例1　（2016·

宿州模拟）下列命题：

①“若a2<

b2，则a<

b”的否命题；

②“全等三角形面积相等”的逆命题；

③“若a>

1，则ax2－2ax＋a＋3>

0的解集为R”的逆否命题；

④“若

x（x≠0）为有理数，则x为无理数”的逆否命题．

其中正确的命题是（　　）

A．③④B．①③C．①②D．②④

解析　对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；

对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；

对于③，当a>

1时，Δ＝－12a<

0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；

对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确．故选A.

思维升华　

（1）写一个命题的其他三种命题时，需注意：

①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；

②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．

（2）判断一个命题为真命题，要给出推理证明；

判断一个命题是假命题，只需举出反例．

（3）根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．

（1）命题“若x>

0，则x2>

0”的否命题是（　　）

A．若x>

0，则x2≤0

B．若x2>

C．若x≤0，则x2≤0

D．若x2≤0，则x≤0

（2）某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是（　　）

A．不拥有的人们会幸福

B．幸福的人们不都拥有

C．拥有的人们不幸福

D．不拥有的人们不幸福

答案　

（1）C　

（2）D

题型二　充分必要条件的判定

例2　

（1）（2015·

四川）设a，b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的（　　）

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

（2）已知条件p：

x>

1或x<

－3，条件q：

5x－6>

x2，则綈p是綈q的（　　）

答案　

（1）B　

（2）A

解析　

（1）∵3a>

3b>

3，∴a>

b>

1，此时loga3<

logb3正确；

反之，若loga3<

logb3，则不一定得到3a>

3，例如当a＝

，b＝

时，loga3<

logb3成立，但推不出a>

1.故“3a>

3”是“loga3<

logb3”的充分不必要条件．

（2）由5x－6>

x2，得2<

x<

3，

即q：

2<

3.

所以q⇒p，p⇏q，所以綈p⇒綈q，綈q⇏綈p，

所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.

思维升华　充分条件、必要条件的三种判定方法

（1）定义法：

根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．

（2）集合法：

根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．

（3）等价转化法：

根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．

（1）（2016·

四川）设p：

实数x，y满足x>

1且y>

1，q：

实数x，y满足x＋y>

2，则p是q的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

（2）已知p：

x＋y≠－2，q：

x，y不都是－1，则p是q的（　　）

答案　

（1）A　

（2）A

解析　

（1）当x>

1，y>

1时，x＋y>

2一定成立，即p⇒q，

当x＋y>

2时，可以x＝－1，y＝4，即q⇏p，

故p是q的充分不必要条件．

（2）（等价法）因为p：

x≠－1或y≠－1，

所以綈p：

x＋y＝－2，綈q：

x＝－1且y＝－1，

因为綈q⇒綈p但綈p⇏綈q，

所以綈q是綈p的充分不必要条件，

即p是q的充分不必要条件，故选A.

题型三　充分必要条件的应用

例3　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．

解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}，

由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.

则

∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．

引申探究

1．本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

解　若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，

∴

方程组无解，

即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

2．本例条件不变，若x∈綈P是x∈綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

解　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，

∵綈P是綈S的必要不充分条件，

∴P⇒S且S⇏P.

∴[－2,10][1－m,1＋m]．

或

∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞）．

思维升华　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：

（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解．

（2）要注意区间端点值的检验．

（1）已知命题p：

a≤x≤a＋1，命题q：

x2－4x<

0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________________．

2x2－3x＋1≤0，条件q：

x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．

答案　

（1）（0,3）　

（2）[0，

]

解析　

（1）令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<

0}＝{x|0<

4}．

∵p是q的充分不必要条件，∴MN，

解得0<

a<

3.故答案为（0,3）．

（2）命题p为{x|

≤x≤1}，

命题q为{x|a≤x≤a＋1}．

綈p对应的集合A＝{x|x>

}，

綈q对应的集合B＝{x|x>

a＋1或x<

a}．

∵綈p是綈q的必要不充分条件，

∴0≤a≤

.故答案为[0，

]．

1．等价转化思想在充要条件中的应用

典例　

（1）（2016·

湖北七校联考）已知p，q是两个命题，那么“p∧q是真命题”是“綈p是假命题”的（　　）

C．充分必要条件

x2＋2x－3>

0；

条件q：

a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是（　　）

A．[1，＋∞）B．（－∞，1]

C．[－1，＋∞）D．（－∞，－3]

思想方法指导　等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题，在解题中经常用到．本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化．

解析　

（1）因为“p∧q是真命题”等价于“p，q都为真命题”，且“綈p是假命题”等价于“p是真命题”，所以“p∧q是真命题”是“綈p是假命题”的充分不必要条件．

（2）由x2＋2x－3>

0，得x<

－3或x>

1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．

∴{x|x>

a}{x|x<

1}，∴a≥1.

1．命题“若α＝

，则tanα＝1”的否命题是（　　）

A．若α≠

，则tanα≠1

B．若α＝

C．若tanα≠1，则α≠

D．若tanα≠1，则α＝

2．命题“如果x≥a2