考研数学三真题及解析.docx
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考研数学三真题及解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：
1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）已知当
时，
与
是等价无穷小，则（）
（A）k=1,c=4（B）k=1,c=
4（C）k=3,c=4（D）k=3,c=
4
【答案】（C）
【考点】无穷小量的比较，等价无穷小，泰勒公式
【难易度】★★★
【详解】
解析：
方法一：
当
时，
，故选择（C）.
方法二：
当
时，
故
，选（C）.
（2）已知函数
在x=0处可导，且
=0，则
=（）
（A）
2
（B）
（C）
（D）0.
【答案】（B）
【考点】导数的概念
【难易度】★★
【详解】
解析：
.
故应选（B）
（3）设
是数列，则下列命题正确的是（）
（A）若
收敛，则
收敛（B）若
收敛，则
收敛
（C）若
收敛，则
收敛（D）若
收敛，则
收敛
【答案】（A）
【考点】级数的基本性质
【难易度】★★
【详解】
解析：
由于级数
是级数
经过加括号所构成的，由收敛级数的性质：
当
收敛时，
也收敛，故（A）正确.
（4）设
，
，
，则
的大小关系是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】（B）
【考点】定积分的基本性质
【难易度】★★
【详解】
解析：
如图所示，因为
时，
，因此
，故选（B）
（5）设
为3阶矩阵，将
的第二列加到第一列得矩阵
，再交换
的第二行与第三行得单位矩阵，记
，
，则
=（）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】（D）
【考点】矩阵的初等变换
【难易度】★★
【详解】
解析：
由初等矩阵与初等变换的关系知
，
，
所以
，故选（D）
（6）设
为
矩阵，
是非齐次线性方程组
的
个线性无关的解，
为任意常数，则
的通解为（）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】（C）
【考点】线性方程组解的性质和解的结构；非齐次线性方程组的通解
【难易度】★★★
【详解】
解析：
为
的解，因为
线性无关，故
线性无关，
为
的解，故
的通解为
所以应选（C）.
（7）设
为两个分布函数，其相应的概率密度
与
是连续函数，则必为概率密度的是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
+
【答案】（D）
【考点】连续型随机变量概率密度
【难易度】★★
【详解】
解析：
故选（D）.
（8）设总体X服从参数为
的泊松分布，
为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量
和
，有（）
（A）
>
>
（B）
>
<
（C）
<
>
（D）
<
<
【答案】（D）
【考点】随机变量函数的数学期望；随机变量的数学期望的性质
【难易度】★★★
【详解】
解析：
由于
是简单随机样本，
，
，
且
相互独立，从而
，
故
又
，
，
故选（D）.
二、填空题：
9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）设
，则
.
【答案】
【考点】重要极限公式
【难易度】★★
【详解】
解析：
所以有
.
（10）设函数
，则
.
【答案】
【考点】多元复合函数的求导法
【难易度】★★
【详解】
解析：
两边取对数得
，
由一阶微分形式不变性，两边求微分得
将
，
，
代入得
（11）曲线
在点
处的切线方程为.
【答案】
【考点】隐函数微分法
【难易度】★★
【详解】
解析：
两边对
求导得
，
所以在点
处
，
从而得到曲线在点
处的切线方程为
.
（12）曲线
，直线
及
轴所围成的平面图形绕
轴旋转所成的旋转体的体积为.
【答案】
【考点】定积分的应用
【难易度】★★
【详解】
解析：
（13）设二次型
的秩为1，
中各行元素之和为3，则
在正交变换
下的标准形为.
【答案】
【考点】用正交变换化二次型为标准形
【难易度】★★★
【详解】
解析：
的各行元素之和为3，即
所以
是
的一个特征值.
又因为二次型
的秩
.
因此，二次型的标准形为：
.
（14）设二维随机变量
服从正态分布
，则
=.
【答案】
【考点】数学期望的性质；相关系数的性质
【难易度】★★
【详解】
解析：
因为
，所以
，
又因为
，所以
，
相互独立.
由期望的性质有
。
三、解答题：
15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
求极限
【考点】无穷小量的比较；洛必达法则
【难易度】★★★
【详解】
解析：
当
时，
（16）（本题满分10分）
已知函数
具有连续的二阶偏导数，
是
的极值，
.求
【考点】多元复合函数的求导法；二阶偏导数；多元函数的极值
【难易度】★★★
【详解】
解析：
为
的极值
（17）（本题满分10分）
求不定积分
【考点】不定积分的基本性质；不定积分的换元积分法与分部积分法
【难易度】★★★
【详解】
解析：
其中
是任意常数.
（18）（本题满分10分）
证明方程
恰有两个实根.
【考点】闭区间上连续函数的性质；函数单调性的判别
【难易度】★★★
【详解】
解析：
令
，
则
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
又因为
.
是函数
在
上唯一的零点.
又因为
且
由零点定理可知，
，使
方程
恰有两个实根.
（19）（本题满分10分）
设函数
在区间
具有连续导数，
，且满足
，求
的表达式.
【考点】二重积分的计算；一阶线性微分方程
【难易度】★★★★
【详解】
解析：
因为
，
.
两边对
求导，得
解齐次方程得
由
，得
.所以函数表达式为
.
（20）（本题满分11分）
设向量组
，
，
不能由向量组
线性表出.
（I）求
的值；
（II）将
，
，
用
，
，
线性表出.
【考点】向量组的线性相关与线性无关；矩阵的初等变换
【难易度】★★★
【详解】
解析：
（I）因为
，所以
线性无关，
又因为
不能由
线性表示，所以
，
所以
，
所以
（II）
=
故
，
，
（21）（本题满分11分）
为3阶实对称矩阵，
的秩为2，且
（I）求
的所有特征值与特征向量;
（II）求矩阵
.
【考点】矩阵的秩；矩阵的特征值和特征向量的概念、性质；实对称矩阵的特征值和特征向量
【难易度】★★★
【详解】
解析：
（I）因为
所以
，
，
所以
是
的特征值，
是对应的特征向量；
是
的特征值，
是对应的特征向量.
因
知
，所以
是
的特征值.
设
是
属于特征值
的特征向量，
因为
为实对称矩阵，
所以不同特征值对应的特征向量相互正交，即
解得
故矩阵
的特征值为
；特征向量依次为
，其中
均是不为0的任意常数.
（II）将
单位化得
，
，
令
，则
所以
.
（22）（本题满分11分）
设随机变量
与
的概率分布分别为
X
P
Y
1
P
且
.
（I）求二维随机变量
的概率分布；
（II）求
的概率分布；
（III）求
与
的相关系数
.
【考点】二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布；两个随机变量简单函数的分布；相关系数
【难易度】★★★
解析：
（I）因为
，所以
即
又因为
所以
的概率分布为
XY
-1
0
1
Y
0
0
0
1
0
X
1
（II）
的所有可能取值为-1，0，1.
的概率分布为
（Ⅲ）
，
，
，故
，从而
.
（23）（本题满分11分）
设二维随机变量
服从区域
上的均匀分布，其中
是由
与
所围成的三角形区域.
（I）求
的概率密度
；
（II）求条件概率密度
.
【考点】二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度；常见二维随机变量的分布
【难易度】★★★
【详解】
解析：
（I）因为
所以
的联合密度为
由于
当
或
时，
.
当
时，
；
当
时，
；
所以
（II）
当
或
时，
.
当
时，
；
所以
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