单调减函数.docx
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单调减函数
1.若a>2，则函数f（x）=3x3-ax2+1在区间（0,2）上恰好有（）
3
B.1个零点
C.2个零点
D.3个零点
答案B
解析Tf'（x）=x2-2ax，且a>2,「.当x€（0,2）时,f，（x）<0,即f（x）在（0,2）上是单调减函数.
11
又•••f（0）=1>0,f
（2）=节-4a<0,「.f（x）在（0,2）上恰好有1个零点.故选B.
3
2.函数y=x2ex的图像大致为（）
答案A
x<—2或x>0时，y'>0，函数y=x2ex为
解析因为y'=2xex+x2ex=x（x+2）ex,所以当
增函数；当一20，所以排除D，故选A.
1xn
3.函数f（x）=徑（sinx+cosx）在区间［0,三］上的值域为（）
nn
11厅11壬
A.运，尹］B.（2，2e）
nn
22
C.［1,e］D.（1,e）
答案A
11n
解析f'（x）=^ex（sinx+cosx）+^ex（cosx—sinx）=excosx，当0wx<—时，f‘（x）>0.
口n
•••f（x）是［0,―］上的增函数.
n
n1—1
•f（x）的最大值为f（y）=2e2,f（x）的最小值为f（0）=2.
4.（2018•东陵县一中月考）已知函数f（x）=x2ex,当x€［—1,1］时，不等式f（x）则实数m的取值范围为（）
当00，函数f（x）单调递增，且f
（1）>f（—1）,故f（x）max=f
（1）=e,贝Um>e.故
选D.
5.f（x）是定义在R上的偶函数，当x<0时，f（x）+xf'（x）<0,且f（—4）=0,则不等式xf（x）>0
的解集为（）
是R上的奇函数，所以函数g（x）在区间（0,+s）上是减函数.因为f（—4）=0,所以f（4）=0,
答案B
31
A.—2■—-
答案C
解析由f（x）=ex（x3+3*2-6x+2）—2aex—xw0，得a》2x3+糸2-3x+1—寸^.
13x
令g（x）=2x3+4X2—3x+1—扃，贝yg1（x）=|x2+|x—3+x—=（x—1）（|x+3+右）.
当x€[—2,1）时，g'（x）<0，当x€（1,+^）时，g'（x）>0.
131
故g（x）在[—2,1）上是减函数，在（1,+）上是增函数.故g（x）min=g
（1）=+—3+1—=
242e
3131
—4—无，则实数a的最小值为—4—玉.故选c.
答案23
解析设正六棱柱的底面边长为
a,高为h，则可得
22
a2+-=9,即卩a2=9—-,
44
正六棱柱的
的值为
3h
体积V=（6X^a2）xh=|||x（9—-4）xh=|||x（——+9h）.令y=——+9h,则y'
+9，令y'=0，得h=23.易知当h=23时，正六棱柱的体积最大.
9.已知函数f（x）=ex—2x+a有零点，贝Va的取值范围是.
答案（一a,2ln2—2]
解析由原函数有零点，可将问题转化为方程ex—2x+a=0有解问题，即方程a=2x—ex
有解.
令函数g（x）=2x—ex,贝Ug'（x）=2—ex，令g'（x）=0,得x=In2,所以g（x）在（—a,ln2）
上是增函数，在（In2,+a）上是减函数，所以g（x）的最大值为g（ln2）=2ln2—2.因此，a的取值范围就是函数g（x）的值域，所以，a€（—a,2"2—2].
lnx
10.设I为曲线C:
y=——在点（1,0）处的切线.
x
（1）求I的方程；
⑵证明：
除切点（1,0）之外，曲线C在直线l的下方.
答案
（1）y=x—1
（2）略
解析
（1）设f（x）=l_nx，则f'（x）=12nx.
xx
所以f'
（1）=1.所以I的方程为y=x—1.
⑵令g（x）=x—1—f（x）,则除切点之外，曲线C在直线I的下方等价于g（x）>0（?
x>0,x丰1）.x?
—1+lnx
g（x）满足g
（1）=0,且g'（x）=1—f'（x）==.
当0当x>1时，x2—1>0,Inx>0，所以g'（x）>0，故g（x）单调递增.
所以g（x）>g（i）=0（?
x>0,xm1）.
所以除切点之外，曲线C在直线I的下方.
22
11.已知函数f（x）=x2—8lnx,g（x）=—x2+14x.
（1）求函数f（x）在点（1,f
（1））处的切线方程；
⑵若函数f（x）与g（x）在区间（a,a+1）上均为增函数，求a的取值范围；
⑶若方程f（x）=g（x）+m有唯一解，试求实数m的值.
答案
（1）y=—6x+7
（2）[2,6]（3）m=—16In2—24
解析⑴因为f'（x）=2x—8，所以切线的斜率k=f'
（1）=—6.
x
又f
（1）=1,故所求的切线方程为y—1=—6（x—1）.即y=—6x+7.
2（x+2）（x—2）
⑵因为f'（x）=严
又x>0，所以当x>2时，f'（x）>0;当0即f（x）在（2,+s）上单调递增，在（0,2）上单调递减.
又g（x）=—（x—7）2+49,所以g（x）在（—^，7）上单调递增，在（7，+上单调递减.
a>2,
欲使函数f（x）与g（x）在区间（a,a+1）上均为增函数，则解得2、a+1w7,
⑶原方程等价于2x2—8lnx—14x=m,
令h（x）=2x2—8lnx—14x，则原方程即为h（x）=m.
因为当x>0时原方程有唯一解，所以函数y=h（x）与y=m的图像在y轴右侧有唯一的交点.
82（x—4）（2x+1）
又h（x）=4x—-—14=，且x>0,
xx
所以当x>4时，h'（x）>0;当0即h（x）在（4,+s）上单调递增，在（0,4）上单调递减，故h（x）在x=4处取得最小值，从而当x>0时原方程有唯一解的充要条件是m=h（4）=—16ln2—24.
12.（2018湖北四校联考）已知函数f（x）=lnx—a（x—1）,g（x）=ex.
（1）求函数f（x）的单调区间；
⑵若函数h（x）=f（x+1）+g（x），当x>0时，h（x）>1恒成立，求实数a的取值范围.
答案
（1）当aw0时，f（x）的单调递增区间为（0,+^），无单调递减区间；当a>0时，f（x）的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为,+m）.
（2）（J2]
11ax
解析
（1）函数f（x）的定义域为（0,+）,f'（x）=-—a=——（x>0）
xx
①若aw0,对任意的x>0，均有f'（x）>0，所以f（x）的单调递增区间为（0,+^），无单调递减区间；
1
②若a>0，当x€（0,-）时，f'（x）>0，当
a
1
x€（a，+g）时，f‘（x）<0，所以f（x）的单调递增区
、11
间为（0,^），单调递减区间为（a，+g）.
11
调递增区间为（0,^）,单调递减区间为（a，+
aw2时，h'（x）>0，所以
所以h'（x）在（0,+g）上单调递增，h'（x）>h'（0）=2-a,①当h（x）在（0,+R）上单调递增，h（x）>h（0）=1恒成立，符合题意;
②当a>2时，h'（0）=2-a<0,h'（x）>h'（0），所以存在x°€（0,
+g），使得h'（x°）=0,
所以h（x）在（x°,+g）上单调递增，在（0,x°）上单调递减，又h（X0）1不恒成立，不符合题意.
综上，实数a的取值范围是（―g,2].
（第二次作业）
2
1.（2018皖南十校联考）设函数f（x）=lnx+ax+x-a-1（a€R）.
（1）当a=-*时，求函数f（x）的单调区间；
⑵证明：
当a>0时，不等式f（x）>x-1在［1,+g）上恒成立.答案
（1）增区间为（0,1+严］，减区间为I1+严，+g）
⑵略
11o1
解析
（1）当a=-2时，f（x）=lnx-?
x2+x-?
且定义域为（0,+g）,
（1-打、/1+命、
1（X-—^）（X-—
因为f'（x）=1-x+1=-
xx
当x€（0,^^5）时，f'（x）>0;当x€（1+^L5,+g）时，f'（X）<0,所以f（x）在（0,1+2J5］上是增函数；在［1+25,+g）上是减函数.
212ax2+1
（2）令g（x）=f（x）-x+1=lnx+ax2-a,贝Vg'（x）=1+2ax=,
XX
所以当a>0时，g'（x）>0在［1,+s）上恒成立，
所以g（x）在［1,+s）上是增函数，且g
（1）=0,所以g（x）>0在［1,+^）上恒成立，
即当a>0时，不等式f（x）>x—1在［1,+^）上恒成立.
12
2.（2018福建连城期中）已知函数f（x）=（a—2）x+Inx（a€R）.
（1）当a=1时，求f（x）在区间［1,e］上的最大值和最小值；
⑵若在区间［1,+^）上，函数f（x）的图像恒在直线y=2ax的下方，求实数a的取值范围.e21
答案
（1）f（x）max=f（e）=+~2,f（x）min=f
（1）=
⑵当a€［—2,2］时，在区间（1,）上函数f（x）的图像恒在直线y=2ax的下方
1o
解析
（1）当a=1时，f（x）=尹2+Inx,
当x€[1,e]时，f'（x）>0,所以f（x）在区间[1,e]上为增函数，所以f（x）max=f（e）=1+I,f（x）min=f
（1）=
12r
（2）令g（x）=f（x）—2ax=（a—?
）x—2ax+Inx,则g（x）的定义域为（0,+s
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