第三章 MATLAB符号运算Word文档格式.docx
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sym函数用来建立单个符号量，一般调用格式为：
符号量名=sym（'
符号字符串'
）
该函数可以建立一个符号量，符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式。
应用sym函数还可以定义符号常量，使用符号常量进行代数运算时和数值常量进行的运算不同。
例：
>
A=sym（'
[a,2*b;
3*a,0]'
A=
[
a,2*b]
[3*a,
0]
这就完成了一个符号矩阵的创建。
注意：
符号矩阵的每一行的两端都有方括号，这是与MATLAB数值矩阵的一个重要区别。
把字符表达式转换为符号变量。
y=sym（'
2*sin（x）*cos（x）'
y=
2*sin（x）*cos（x）
y=simple（y）
sin（2*x）
2、syms函数
函数sym一次只能定义一个符号变量，使用不方便。
MATLAB提供了另一个函数syms，一次可以定义多个符号变量。
syms函数的一般调用格式为：
syms符号变量名1符号变量名2…符号变量名n
用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符（‘），变量间用空格而不要用逗号分隔。
①用符号计算验证三角等式
。
symsfai1fai2;
y=simple（sin（fai1）*cos（fai2）-cos（fai1）*sin（fai2））
sin（fai1-fai2）
②求矩阵
的行列式值、逆和特征根。
symsa11a12a21a22;
A=[a11,a12;
a21,a22]
[a11,a12]
[a21,a22]
DA=det（A）,IA=inv（A）,EA=eig（A）
DA=
a11*a22-a12*a21
IA=
[a22/（a11*a22-a12*a21）,-a12/（a11*a22-a12*a21）]
[-a21/（a11*a22-a12*a21）,a11/（a11*a22-a12*a21）]
EA=
[1/2*a11+1/2*a22+1/2*（a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21）^（1/2）]
[1/2*a11+1/2*a22-1/2*（a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21）^（1/2）]
第二节因式分解、展开和简化
一、因式分解
1、factor指令的使用
symsax;
f1=x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6;
factor（f1）
ans=
（x-1）*（x-2）*（x-3）*（x+1）
f2=x^2-a^2;
factor（f2）
-（a-x）*（a+x）
2、对多项式进行嵌套型分解
clear;
symsax;
horner（f1）
-6+（5+（5+（-5+x）*x）*x）*x
二、多项式展开
clear;
expand（ans）
x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6
三、多项式简化
①简化
symsx;
f=（1/x^3+6/x^2+12/x+8）^（1/3）;
sfy1=simplify（f）,sfy2=simplify（sfy1）
sfy1=
（（2*x+1）^3/x^3）^（1/3）
sfy2=
g1=simple（f）,g2=simple（g1）
g1=
（2*x+1）/x
g2=
2+1/x
②简化
symsx;
ff=cos（x）+sqrt（-sin（x）^2）;
ssfy1=simplify（ff）,ssfy2=simplify（ssfy1）
ssfy1=
cos（x）+（-1+cos（x）^2）^（1/2）
ssfy2=
gg1=simple（ff）,gg2=simple（gg1）
gg1=
cos（x）+i*sin（x）
gg2=
exp（i*x）
第三节符号微积分
一、极限
limit函数的调用格式为：
limit（f,x,a）：
求符号函数f（x）的极限值。
即计算当变量x趋近于常数a时，f（x）函数的极限值；
limit（f,a）：
由于没有指定符号函数f（x）的自变量，则使用该格式时，符号函数f（x）的变量为函数findsym（f）确定的默认自变量，即变量x趋近于a；
limit（f）：
符号函数f（x）的变量为函数findsym（f）确定的默认变量；
没有指定变量的目标值时，系统默认变量趋近于0，即a=0的情况；
limit（f,x,a,'
right'
）：
求符号函数f的极限值。
'
表示变量x从右边趋近于a；
limit（f,x,a,‘left’）：
‘left’表示变量x从左边趋近于a。
symsamx;
f=（x*（exp（sin（x））+1）-2*（exp（tan（x））-1））/（x+a）;
limit（f,x,a）
1/2*（a-2*exp（tan（a））+a*exp（sin（a））+2）/a
symsxt;
limit（（1+2*t/x）^（3*x）,x,inf）
exp（6*t）
f=x*（sqrt（x^2+1）-x）;
limit（f,x,inf,'
left'
1/2
f=（sqrt（x）-sqrt
（2）-sqrt（x-2））/sqrt（x*x-4）;
limit（f,x,2,'
-1/2
二、符号导数
diff函数用于对符号表达式求导数。
该函数的一般调用格式为：
diff（s）：
没有指定变量和导数阶数，则系统按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求一阶导数；
diff（s,'
v'
以v为自变量，对符号表达式s求一阶导数；
diff（s,n）：
按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求n阶导数，n为正整数；
n）：
以v为自变量，对符号表达式s求n阶导数。
求
、
和
symsatx;
f=[a,t^3;
t*cos（x）,log（x）];
df=diff（f）
dfdt2=diff（f,t,2）
dfdxdt=diff（diff（f,x）,t）
df=
[
0,
[-t*sin（x）,1/x]
dfdt2=
0,6*t]
dfdxdt=
[0,0]
[-sin（x）,0]
三、符号积分
符号积分由函数int来实现。
int（s）：
没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分；
int（s,v）：
以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分；
int（s,v,a,b）：
求定积分运算。
a,b分别表示定积分的下限和上限。
该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。
a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷（inf）。
当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果。
当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。
当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。
①求
演示：
积分指令对符号函数矩阵的作用。
symsabx;
f=[a*x,b*x^2;
1/x,sin（x）];
int（f）
[1/2*a*x^2,1/3*b*x^3]
log（x）,
-cos（x）]
②求积分
内积分上下限都是函数。
symsxyz
F2=int（int（int（x^2+y^2+z^2,z,sqrt（x*y）,x^2*y）,y,sqrt（x）,x^2）,x,1,2）
VF2=vpa（F2）
F2=
1610027357/6563700-6072064/348075*2^（1/2）+14912/4641*2^（1/4）+64/225*2^（3/4）
VF2=
224.92153573331143159790710032805
四、数值积分
1、数值积分基本原理
求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生（Simpson）法、牛顿－柯特斯（Newton-Cotes）法等都是经常采用的方法。
它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。
这样求定积分问题就分解为求和问题。
2、数值积分的实现方法
基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。
该函数的调用格式为：
[I,n]=quad（'
fname'
a,b,tol,trace）
其中fname是被积函数名。
a和b分别是定积分的下限和上限。
tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。
trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。
返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。
，其精确值为
（1）符号解析法
IS=int（'
exp（-x*x）'
'
x'
0,1）
vpa（IS）
IS=
1/2*erf
（1）*pi^（1/2）
.74682413281242702539946743613185
（2）数值法
fun=inline（'
exp（-x.*x）'
）;
Isim=quad（fun,0,1）,IL=quadl（fun,0,1）
Isim=
0.746824180726425
IL=
0.746824133988447
第四节符号方程求解
一、符号代数方程求解
在MATLAB中，求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现，其调用格式为：
solve（s）：
求解符号表达式s的代数方程，
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