高中数学《三角函数模型的简单应用》教案5 新人教A版必修4Word文件下载.docx

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因此，三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了。

本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习后继内容和高等数学的基础，三角函数是数学中重要的数学模型之一，是研究度量几何的基础，又是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具。

三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其他学科联系紧密。

（2）本章知识结构

三角函数的图象与性质

任意角的三角函数

角度制与弧度制

任意角的概念

已知三角函数值求角

诱导公式

同角三角函数关系

扇形的弧长与面积

3．本单元的教学内容总体教学目标

1）知识和技能目标

（1）任意角、弧度

　　了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。

（2）三角函数

①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

　②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（

，能画出

的图象，了解三角函数的周期性。

　　③借助图象理解正弦函数、余弦函数在，正切函数在上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与轴交点等）。

④理解同角三角函数的基本关系式：

⑤结合具体实例，了解的实际意义；

能借助计算器或计算机画出的图象，观察参数对函数图象变化的影响。

⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

2）过程与方法目标

①用运动变化的观点了解角的概念的推广是解决现实生活和生产中实际问题的需要，通过对各种角的表示法的训练，提高分析、抽象、概括的能力。

②正确理解三角函数是以实数为自变量的函数，通过研究三角函数的性质和图象，进一步体会数形结合的思想方法。

③通过图象变换的学习，培养运用数形结合思想分析、理解问题的能力；

培养利用联系、变化的辨证唯物主义观点去分析问题的能力。

④结合有关内容（如角度与弧度的换算，已知角求它的三角函数值，已知三角函数值求角）进行算法的基本训练，鼓励学生运用计算器，计算机求函数值，作函数图象，探索和解决问题。

3）情感，态度和价值观目标

①通过对角的概念的推广，培养学生学习数学的兴趣；

理解并认识角度制与弧度制是辨证统一的，不是孤立的、割裂的。

②通过对同角三角函数的基本关系的学习，揭示事物之间普遍联系的规律，培养辨证唯物主义思想。

③通过图象变换的学习，培养从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。

4．本单元的教学内容重点和难点分析

①本单元教学内容的重点：

任意角三角函数的概念，同角三角函数的关系式，诱导公式，正弦函数的性质与图象，函数的图象和正弦函数图象的关系。

（2）本单元教学内容的难点：

弧度制和周期函数的概念，正弦型函数的图象变换，综合运用公式进行求值、化简和证明等。

二、与本单元教学内容相适应的教学方法和教学方法概述

合理选用启发式讲授、探究性学习、合作学习等多种教学方法，结合教材特点、学生基础确定切合教学实际的教法。

三、本单元所需教学资源的概述

几何画板、Excel、scilab等辅助教学软件、人教社网站，相关资料包（光盘、试题、等）

四、本单元学时建议

1.1任意角的概念与弧度制2课时

1.2任意角的三角函数7课时

1.3三角函数的图象与性质6课时

本章小结1课时

（共计16学时，仅供参考）

1.1.1角的概念的推广——任意角、终边相同的角、象限角

教学目标

『知识与技能』

1．认识角扩充的必要性，了解任意角的概念，与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分；

2．能用集合和数学符号表示终边相同的角，体会终边相同角的周期性；

3．能用集合和数学符号表示象限角；

4．能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.

『过程与方法』

1.通过角的概念的扩充，让学生体会动态与静态数学观的差异，进一步理解旋转变换的作用；

2.通过角合成的算法，终边相同角的表示方法及其推广让学生体会在数学学科中，将概念的形式化、数量化的过程与方法，借此进一步体会数形结合的思想、方法，这是本节课的重点内容；

『情感、态度和价值观』

通过掌握角合成的算法，终边相同角的表示方法及其推广的过程与方法，让学生体会数学的抽象化、形式化等学科特点.

知识的重点

形成任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、象限角的概念，掌握终边相同的角的表示方法和判定方法

知识的难点

终边相同的角的概念、其符号表示、集合表示

教学方法

本节教学方法采用教师引导下的讨论法，通过多媒体课件在教师的带领下，学生发现就概念、就方法的不足之处，进而探索新的方法，形成新的概念，突出数形结合思想与方法在概念形成与形式化、数量化过程中的作用，是一节体现数学的逻辑性、思想性比较强的课.

教学过程

环节

教学内容

师生互动

设计意图

情境引入

复习静态数学观下，按图形组合方式定义角.

复习动态的数学观指导下，按“图形（旋转）变换”的方式定义角.

『提问』角是数学中最常见的基本图形之一，按图形组合的方式来看，角是由哪些基本的图形组成的呢？

『解答』有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.

『提问』不加任何描述条件，两条共端点的射线组成几个角？

这两个角之间有什么关系？

它们的取值范围是多少？

『解答』两个，和为360°

，0°

～360°

（大于等于0°

且小于360°

）.

『提问』在图上我们如何区分这两个角？

『解答』标示、添加描述条件等

『提示』『演示』

为了解决上述问题，我们看另一种定义方式.即，一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一位置所形成的图形叫做角.

『提问』两种定义方式有什么异同之处？

『解答』

角

组合式

旋转式

边

两条射线

一条射线，另一边是其经过旋转变换的结果

顶点

公共端点

旋转中心

个数

两个

？

范围

0°

『思考』在旋转式定义方式下，我们会产生这样的质疑：

1．一次旋转而得的角有几个？

2．两条射线一次组合产生的两个角，如何用旋转的方式表示？

3．当旋转超过一周时，如何描述旋转量？

发现静态数学观下，按“图形组合”的方式定义角的概念有很大的局限性.

比较两种角的定义，发现差异，为角的概念的推广做准备

概念形成

按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；

按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；

当射线没有旋转时，叫做零角.

在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量.旋转生成的角，又常叫做转角.

任意角的图示方法

如图（课本图1－1），射线OA绕端点O旋转到OB的位置所成的角，记作∠AOB，其中OA叫做∠AOB的始边，OB叫做∠AOB的终边.以OB为始边，OA为终边的角记作∠BOA.

显然，当我们用旋转的方式定义角时，原有的角的范围必须被扩充.

一．任意角的概念

我们用旋转变换的观点来扩充角的概念，即解决旋转变换的三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量）对角的概念有什么影响？

（1）旋转方向：

旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么质疑一中提到的问题就可以解决了；

（2）旋转量：

当旋转超过一周时，旋转量即超过360°

，角度的绝对值可大于360°

.这样质疑二中的问题就可以解决了；

（3）旋转中心：

作为角的顶点.

『板书』『画图』

例：

∠AOB＝120°

，∠BOA＝－120°

.

以旋转变换的要素为线索，发现旋转式定义是如何扩充角的概念的

应用举例

『例题』如图（课本图1－2），射线’OA绕端点O旋转，旋转的绝对量超过了周角，按照图中箭头所指的方向和弧线表示的周数，可以表示角的度数.

『练习』读角练习

教师讲解，学生练习

在实践中巩固所学概念

概念应用

角的合成与运算问题

各角和的旋转量等于各角旋转量的和.

二．角的合成与运算

『例题』课本P4

『小结』各角和的旋转量等于各角旋转量的和.

根据已有的定义，我们可以发现：

如果把度数相同的角看成是一个角，那么角和实数之间可以形成一一对应的关系.

于是，角的合成可以用实数运算来表示.

『练习』

1．课本P7.练习A.5题

2．课本P6练习A.2题（3）

让学生体会数形结合思想的应用

如果当角与角的始边重合时，它们的终边也重合，那么我们称角与角是终边相同的角.

一般地，如果是终边相同的角，那么我们记

，

当k＝0时，两个角相同.

终边相同的角的集合形式：

设表示任意角，所有与终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合可记为

如果我们固定角的始边，因其终边可以任意旋转，故而可以构成任意度数的角，而通过观察我们可以发现，这些角中有很多角的边是重合的.

因此我们定义：

三．终边相同的角

1．定义

2．表示方法

『思考』终边相同的角度数相等么？

反之，度数相等的角终边相同么？

『解答』终边相同的角度数不一定相等；

而度数相等的角终边一定相同？

『思考』终边相同的两个角的度数有什么关系？

『解答』终边相同的两个角的位置关系是——两边重合，数量关系是——差是360°

的整数倍.

『思考』设是终边相同的两个角，如何用符号语言表示其数量关系？

『解答』，通过变形可以得到

『小结』一般地，如果是终边相同的角，那么我们记

『说明』

我们来总结一下，如何把终边相同的角的图形变换特性转化为数量关系形式的.

从角的旋转式定义看，终边相同角的本质特征是：

每旋转360°

的整数倍后两角重合.

旋转初值

整数k形式化旋转次数

360°

单位旋转量

3．终边相同的角的集合

集合中的每一个元素都与的终边相同，当k＝0时，对应元素为.

定义终边相同的角

引导学生发现终边相同的角的表示方法

借助终边相同的角的表示方法，研究旋转变