二阶线性微分方程解的结构.docx

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二阶线性微分方程解的结构

附录A线性常微分方程

本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。

把包含未知函数和它的j阶导数的方程称为常微分方程。

线性常微分方程的标准形式

（A.1）

其中n称为方程的阶数，和是给定的函数。

可微函数在区间I上满足方程（A.1），则称其为常微分方程（A.1）在I上的一个解。

，称为方程（A.1）的自由项，当自由项时方程（A.1）称为是齐次方程，否则称为非齐次方程。

一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合，解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。

在本附录里，我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。

A.1一阶线性常微分方程

一阶线性常微分方程表示为

.（A.2）

当，方程退化为

（A.3）

假设不恒等于零，则上式等价于

而，从而（A.3）的通解为

（A.4）

对于非齐次一阶线性常微分方程（A.2），在其两端同乘以函数

注意到上面等式的左端

因此有

两端积分

其中C是任意常数。

进一步有

综上有如下结论

定理A.1假设上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的通解具有如下形式

（A.5）

其中C是任意常数。

观察（A.4）式和（A.5）式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的解等于一阶线性齐次常微分方程（A.2）的通解加上函数。

容易验证，是方程（A.1）的一个特解。

这符合线性方程解的结构规律。

例1求解一阶常微分方程

解此时,由（A.5）式，解为

其中C是任意常数。

A.2二阶线性常微分方程

将具有以下形式的方程

，（A.6）

称为二阶线性常微分方程，其中都是变量x的已知连续函数。

称

　　　　　　　　（A.7）

为与（A.6）相伴的齐次方程.

A．2．1二阶线性微分方程解的结构

首先讨论齐次方程（A.7）解的结构。

定理A.2　如果函数是线性齐次方程（A.7）的两个解，则函数仍为该方程的解，其中是任意的常数。

定理1说明齐次线性常微分方程（A.7）的解如果存在的话，一定有无穷多个。

为了说明齐次线性常微分方程（A.7）通解的结构，首先给出函数线性无关的定义。

定义A.1设函数是定义在区间I上的n个函数，如果存在n个不全为零的常数，使得在区间I上恒成立，则称函数在区间上线性相关，否则称为线性无关。

例如函数在整个数轴上是线性相关的，而函数在任何区间内是线性无关的。

特别的，对于两个函数的情形，它们线性相关与否，只需要看它们的比值是否为常数即可，比值为常数，那么它们线性相关，否则线性无关。

有了函数线性无关的概念，就有如下二阶线性齐次微分方程（A.7）通解结构的定理。

定理A.3假设线性齐次方程（A.7）中，函数在区间上连续，则方程（A.7）一定存在两个线性无关的解。

类似于代数学中齐次线性方程组，二阶线性齐次常微分方程的解集合也存在基础解系。

定理A.4　若是二阶线性齐次常微分方程（A.7）的两个线性无关的特解，则是该方程的通解，其中是任意的常数。

从定理A.4可以看出二阶线性齐次常微分方程（A.7）的任何两个线性无关的特解构成其基础解系。

关于二阶线性非齐次常微分方程（A.6）的通解，有如下结论

定理A.5　若函是方程（A.6）的一个特解，是方程（A.6）相伴的齐次方程的通解，则是二阶线性非齐次常微分方程（A.6）的通解。

从定理A.4,A.5可以得到求解二阶线性非齐次常微分方程（A.6）的通解的一般步骤：

（1）求解与（A.6）相伴的齐次方程（A.7）的线性无关的两个特解，得该齐次方程的通解；

（2）求二阶线性非齐次常微分方程（A.6）的一个特解，那么方程（A.6）的通解为

对于一些相对复杂的问题，如下的线性微分方程的叠加原理是非常有用的。

定理A.6　设二阶线性非齐次常微分方程为

　　　　　（A.8）

且分别是

和

的特解，则是方程（A.8）的特解。

A．2．1二阶常系数线性常微分方程的解法

如果二阶线性常微分方程为

　　　　　　　　　　（A.9）

其中均为常数，则称为二阶常系数线性常微分方程。

以下分两种情形讨论方程（A.9）的解法。

一、二阶常系数线性齐次方程的解法

此时问题为

　　　　　　　　　（A.10）

考虑到方程中的系数均为常数，可以猜想该方程具有形如的解，其中r为待定常数，将和及代入方程得，

由于，因此，只要r满足方程

（A.11）

即只要r是上述一元二次方程的根时，就是（A.10）的解，方程（A.11）称为方程（A.10）的特征方程，它的根称为特征根。

关于特征方程（A.11）的根与微分方程（A.10）的解的关系有如下结论。

1．特征方程具有两个不相等的实根，即。

此时函数都是微分方程（A.10）的解，且因常数，所以线性无关，因而常微分方程的通解为

.

2．特征方程具有两个相等的实根，即。

这时函数是微分方程（A.11）的一个特解，还需另找一个与之线性无关的特解。

为此设，其中为待定的函数，将及其一、二阶导数代入方程（A.10）得，

，

注意到是特征方程的根，且，因此只要满足，则就是微分方程（A.10）的解。

特别地取，此时微分方程（A.11）的通解为

.

3．特征方程具有一对共轭复根，。

这时两个线性无关的特解是两个复数解。

为了便于在实数范围内讨论问题，我们再构造两个线性无关的实数解。

由欧拉公式，可得

，,

于是由定理１知，函数

，

是微分方程（A.10）的解，容易验证它们线性无关，所以这时方程的通解可以表示为

.

上述求解二阶常系数线性齐次方程的方法称为特征根法，其具体步骤可总结如下

（１）写出所给微分方程的特征方程；

（２）求出特征根；

（３）根据特征根的三种不同情况求得对应的特解，并写出其通解。

特征方程的两个根

微分方程的通解

两个不相等的实根

两个相等的实根，即

一对共轭复根，

例2求解二阶齐次常微分方程

（1）；

（2）.

解

（1）特征方程为，其根为，所以微分方程的两个线性无关的解为，所以通解可以表示为。

又，因而也是微分方程的解，并且它们也是线性无关的，因此也可以构成微分方程的基础解系，即方程的通解也可以表示为，这种表示方法在讨论某些问题时更加方便。

（2）特征方程为，其根为，所以微分方程的两个线性无关的解为，所以通解可以表示为。

在实际应用中，我们经常遇到带有一些条件的微分方程，如或等，这些问题称为初值问题或边值问题。

例3　求方程的满足初始条件的特解

解的特征方程为，有重根，其对应的两个线性无关的特解为

所以通解为

求导得

将代入以上两式得

解之得，即得初值问题为

.

例4求含参数方程（为实数）满足边界条件的特解。

解微分方程的特征方程为，为实数，分以下三种情形进行讨论：

1当时，特征方程有两个互不相等的实根，此时微分方程的两个线性无关的特解为，因此其通解为

其中是任意常数。

由条件,得

解之得,,从而，也即方程没有非零解。

2当时，方程退化为其特征方程有两个相等的实根，此时微分方程的两个线性无关的特解为，因此其通解为

.

其中是任意常数（当然这个通解也可以直接由积分两次得到）。

由条件,得，此时，方程没有非零解。

3当时，特征方程有两个互为共轭的复根，于是微分方程的两个线性无关的特解为，因此其通解为

其中是任意常数。

代入边界条件，得

由于，所以，故，要使不恒等于零，须，因此必有，从而，也即

，

相应的解为

其中为任意的数。

例5求解如下带有周期条件的常微分方程问题

.

解首先与上例同理可得常微分方程在参数取不同值时的通解为

.

结合周期条件，可求得参数，，而相应的解为

.

二、二阶常系数线性非齐次常微分方程的解法

由定理A.5,线性非齐次常微分方程

的解可由其相伴齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解之和构成。

因此，求解二阶常系数线性非齐次常微分方程的关键就在于确定它的一个特解。

确定特解的方法很多，下面介绍常用的待定系数法，该方法的基本思想是：

利用右端项的具体形式确定特解的结构，然后代入到非齐次方程中确定其中系数。

下面分几种情形来讨论特解的求法。

1．自由项为多项式，即

设二阶常系数线性非齐次常微分方程

（A.12）

其中为x的n次多项式。

由于方程中系数都是常数，且多项式的导数仍为多项式，所以可设（A.12）的特解为

其中是与同阶的多项式，k是一个常数，当系数时，k取０，当时，k取１，当时，k取２。

例6求非齐次方程的一个特解。

解使用待定系数法。

由于该方程中自由项是二次多项式，且，故取，所以设特解为，代入方程，合并同类项后有

比较两端系数可得。

于是求得特解为。

2.自由项为型

设二阶常系数线性非齐次常微分方程

　　　　　　　　　　　（A.13）

其中均为常数。

考虑到都是常数，且指数函数的导数仍为指数函数，所以可设（A.13）的特解为

其中为待定的系数，当不是（A.13）的相伴齐次方程的特征根时，k取０；当是（A.13）的相伴齐次方程的单特征根时，k取１；当是（A.13）的相伴齐次方程的重特征根时，k取２。

例7　求方程的通解。

解非齐次方程的相伴齐次方程的特征方程为，其特征根为，所以齐次方程的通解为

又不是特征方程的特征根，取，所以设特解为，代入方程得

比较系数得，故原方程的一个特解为。

因此的通解为.

3．自由项为型

设二阶常系数线性非齐次常微分方程

　　　　　　（A.14）

其中均为常数。

考虑到指数函数的导数仍为指数函数，三角函数的导数仍为三角函数，所以可设（A.14）的特解为

.

其中为待定的系数，当不是方程（A.14）的相伴齐次方程的特征根时，k取０；否则，k取１。

将代入非齐次方程确定系数。

例8求方程的一个特解。

解非齐次方程的自由项为，且不是相伴的齐次方程的特征根，故特解可设为

.

代入方程，合并同类项得

即

比较两端系数得

解之得，故所求特解为

.

例9求方程的通解。

解非齐次方程的自由项为，且是相伴的齐次方程的特征根，故特解可设为

代入方程，合并同类项得

比较两端系数得，故所求特解为

而对应的齐次方程的通解为

故所求的通解为

.

A．2．2二阶变系数线性常微分方程的解法

定理A.4，定理A.5给出了二阶线性微分方程（A.6）

的通解

其中是微分方程（A.6）相伴的齐次方程的通解，是它的一个特解。

在上一小节中，我们给出了自由项为一些特殊结构的函数的常系数微分方程的求解方法。

对于变系数微分方程，一般情况下处理起来比较困难，这里我们给出两种方法分别用以求齐次方程的通解和非齐次方程的特解。

一、求二阶齐次线性微分方程的特解

对于二阶齐次线性微分方程（A.7）

其通解为，这里的是任意常数，是齐次方程的两个线性无关的解。

现假设我们已知二阶齐次线性微分方程的一个非零特解，利用A.1小节中的定理A.1，可以证明如下结论［　］。

定理A.7假设在方程（A.7）中，函数连续，是（A.7）的一个非零特解，则

是（A.7）的与线性无关的特解。

例１０　已知是二阶齐次常微分方程的一个特解，求该方程的通解。

解　由定理A.7，可以得到

所以方程的通解为

.

二、参数变异法

　　　参数变异法可以从相