小学奥数周期问题教师版.doc

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第八讲：

周期循环与数表规律

知识点说明

周期问题：

周期现象：

事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现；周期：

我们把连续两次出现所经过的时间叫周期；解决有关周期性问题的关键是确定循环周期.

分类：

1．图形中的周期问题；

2．数列中的周期问题；

3．年月日中的周期问题．

周期性问题的基本解题思路是：

首先要正确理解题意，从中找准变化的规律，利用这些规律作为解题的依据；其次要确定解题的突破口。

主要方法有观察法、逆推法、经验法等。

主要问题有年月日、星期几问题等。

⑴观察、逆推等方法找规律，找出周期．确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果就为周期里的最后一个；

例如：

1，2，1，2，1，2，…那么第18个数是多少？

这个数列的周期是2，，所以第18个数是2．

⑵如果比整数个周期多个，那么为下个周期里的第个；

例如：

1，2，3，1，2，3，1，2，3，…那么第16个数是多少？

这个数列的周期是3，，所以第16个数是1．

⑶如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续算．

例如：

1，2，3，2，3，2，3，…那么第16个数是多少？

这个数列从第二个数开始循环，周期是2，，所以第16个数是2．

板块一、图形中的周期问题

【例1】小兔和小松鼠做游戏，他们把黑、白两色小球按下面的规律排列：

●●○●●○●●○…

你知道它们所排列的这些小球中，第90个是什么球？

第100个又是什么球呢？

【解析】仔细观察图中球的排列，不难发现球的排列规律是：

2个黑球，1个白球；2个黑球，1个白球；……也就是按“2个黑球，1个白球”的顺序循环出现，因此，这道题的周期为3（2个黑球，1个白球）．再看看90、100里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，若是有整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个．因为，正好有30个周期，第90个是白球．…1，有33个周期还多1个，所以，第100个是黑球．

【巩固】美美有黑珠、白珠共102个，她想把它们做成一个链子挂在自己的床头上，她是按下面的顺序排列的：

○●○○○●○○○●○○○……

那么你知道这串珠子中，最后一个珠子应是什么颜色吗？

美美怕这种颜色的珠子数量不够，你能帮她算出这种颜色在这串珠子中共有多少个吗？

【解析】观察可以发现，这串珠子是按“一白、一黑、二白”4个珠子组成一组，并且不断重复出现的．我们先算出102个珠子可以这样排列成多少组，还余多少．我们可以根据排列周期判断出最后一个珠子的颜色，还可以求出有多少个这样的珠子．因为…2，所以最后一个珠子是第26个周期中的第二个，即为黑色．在每一个周期中只有1个黑珠子，所以黑色珠子在这串珠子中共有（个）

【例2】小倩有一串彩色珠子，按红、黄、蓝、绿、白五种颜色排列．

⑴第73颗是什么颜色的？

⑵第10颗黄珠子是从头起第几颗？

⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间（不包括这两颗红珠子）共有几颗珠子？

【解析】⑴这些珠子是按红、黄、蓝、绿、白的顺序排列，每一组有5颗．（组）……3（颗），第73颗是第15组的第3颗，所以是蓝色的．

⑵第10颗黄珠子前面有完整的9组，一共有（颗）珠子．第10颗黄珠子是第l0组的第2颗，所以它是从头数的第47颗．列式：

（颗）

⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间一共有14颗珠子．第8颗红珠子与第11颗红珠子之间有完整的两组（第9、10组），共l0颗珠子，第8颗红珠子后面还有4颗珠子，所以是14颗．列式：

（颗）．

【巩固】奥运会就要到了，京京特意做了一些“北京欢迎你”的条幅，这些条幅连起来就成了：

“北京欢迎你北京欢迎你北京欢迎你……”依次排列，第28个字是什么字？

【解析】这道题是按“北京欢迎你”的规律重复排列，即5个字为一个周期．因为…3，所以28个字里含有5个周期还多3个字，即第28个字就是所列一个周期中的第3个字，所以第28个字是“欢”字．

【巩固】节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯．也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯．那么第73盏灯是什么颜色的灯？

【解析】从第一盏白灯开始，每隔三盏彩灯就又出现一盏白灯，不难看出白灯的编号依次是：

1，5，9，13，……，这些编号被4除所得的余数都是1．，即73被4除的余数是1，因此第73盏灯是白灯．

【例3】节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接1盏黄灯，然后　又是5盏红灯、4盏蓝灯、1盏黄灯、……这样排下去．问：

⑴第150盏灯是什么颜色？

⑵前200盏彩灯中有多少盏蓝灯？

【解析】⑴街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接1盏黄灯，这样一个周期变化的，实际上一个周期就是（盏）灯．，150盏灯刚好15个周期，所以第150盏应该是这个周期的最后一盏，是黄色的灯．

⑵如果是200盏灯，就是的周期．每个周期都有4盏蓝灯，（盏）前200盏彩灯中有80盏蓝灯．

【巩固】在一根绳子上依次穿2个红珠、2个白珠、5个黑珠，并按此方式反复，如果从头开始数，直到第50颗，那么其中白珠有多少颗？

【解析】…5．（个）．

【巩固】小莉把平时积存下来的200枚硬币按3个1分，2个2分，1个5分的顺序排列起来．

⑴最后1枚是几分硬币

⑵这200枚硬币一共价值多少钱？

【解析】⑴每个周期有枚硬币，要求最后一枚，用这个数除以6，根据余数来判断

……2，所以最后一枚是1分硬币

⑵每个周期中6枚硬币共价值（分），用这个数乘以周期次数再加上余下的，就可以得到一共价值多少了（分），所以，这200枚硬币一共价值398分．

【巩固】桌子上摆了很多硬币，按一个一角，两个五角，三个一元的次序排列，一共19枚硬币．问：

最后一个是多少钱的？

第十四个是多少钱的？

【解析】…1,…2,所以,第19枚硬币是一角的,第14枚硬币是五角的．

【巩固】有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？

这249朵花中，什么花最多，什么花最少？

最少的花比最多的花少几朵？

【解析】这些花按5红、9黄、13绿的顺序轮流排列，它的一个周期内有（朵）花．因为……6，所以，这249朵花中含有9个周期还余下6朵花．按花的排列规律，这6朵花中前5朵应是红花，最后一朵应是黄花．在这一个周期里，绿花最多，红花最少，所以在249朵花中，自然也是绿花最多，红花最少．少几朵呢？

有两种解法：

（方法1）……6

红花有：

（朵）绿花有：

（朵）红花比绿花少：

（朵）

（方法2）……6，一个周期少的：

（朵），（朵），余下的6朵中还有5朵红花，所以（朵）.

【例4】如图所示，每列上、下两个字（字母）组成一组，例如，第一组是“我，”，第二组是“们，”……

我

们

爱

科

学

我

们

爱

科

学

我

……

……

⑴写出第62组是什么？

⑵如果“爱，”代表1991年，那么“科，”代表1992年……问2008年对应怎样的组？

【解析】

（1）要求第62组是什么数，我们要分别求出上、下两行是什么字（字母），上面一行是以“我们爱科学”五个字为一个周期，下面一行则是以“”七个字母为一个周期

……2,……6，所以第62组是“们，”

⑵2008是1991之后的第17组，现在上面一行按“科学我们爱”五个字为一个周期，下面一行则按“”七个字母为一个周期：

（组），……2

……3，所以2008年对应的组为“学，”．

【巩固】在图所示的表中，将每列上、下两个字组成一组，例如第一组为（新奥），第二组为（北林），那么第50组是什么？

新北京新奥运新北京新奥运新北京新奥运……

奥林匹克运动会奥林匹克运动会奥林匹克运动会……

【解析】要知道第50组是哪两个数，我们首先要弄清楚第一行和第二行的第50个字分别应该是什么．第一行“新北京新奥运”是6个字一个周期，…2，第50个字就是北．再看第二行“奥林匹克运动会”是7个字一个周期，…1，第50个字就是奥．把第一行和第二行合在一起，第50组就是“北奥”．

【例5】如右图，是一片刚刚收割过的稻田，每个小正方形的边长是1米，A、B、C三点周围的阴影部分是圆形的水洼。

一只小鸟飞来飞去，四处觅食，它最初停留在0号位，过了一会儿，它跃过水洼，飞到关于A点对称的1号位；不久，它又飞到关于B点对称的2号位；接着，它飞到关于C点对称的3号位，再飞到关于A点对称的4号位，……，如此继续，一直对称地飞下去。

由此推断，2004号位和0号位之间的距离是多少米？

【解析】0米。

根据题上给出的条件，动手画出，就可以了！

四次再次回到0号位置！

2004是4的倍数，所以第2004号位和0号位之间的距离是0米。

板块二、数列中的周期问题

【例6】小和尚在地上写了一列数：

7，0，2，5，3，7，0，2，5，3…

你知道他写的第81个数是多少吗？

你能求出这81个数相加的和是多少吗？

【解析】⑴从排列上可以看出这组数按7，0，2，5，3依次重复排列，那么每个周期就有5个数．81个数则是16个周期还多1个，第1个数是7，所以第81个数是7，…1

⑵每个周期各个数之和是：

．再用每个周期各数之和乘以周期次数再加上余下的各数，即可得到答案．，所以，这81个数相加的和是279．

【巩固】根据下面一组数列的规律求出51是第几个数？

1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17……

【解析】观察题目可知数列个位数字每九个数一组，十位数字依次增加，0～4共五个数，则可列式为：

5×9＋1=46，即51为第46个数。

【例7】⑴……（25个4），积的个位数是几？

⑵24个2相乘，积末位数字是几？

【解析】⑴按照乘数的个数，积的末位数字的规律是：

4，6，4，6，4，6，……，奇数个4相乘得数的末位数字是4，偶数个4相乘得数的末位数是6，所以…1，25个4相乘，积的末位数字是4．

⑵按照乘数的个数，末位数字的规律是2，4，8，6，2，4，8，6，……，4个一组，所以24个2相乘，积末位数字是6．

【巩固】紧接着1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数．例如，，在9后面写2，，在2后面写8……得到一串数字：

19892868…，问：

这串数字从1开始，往右数，第l999个数字是几？

这1999个数字的和是多少？

【解析】⑴根据题意，写出这列数的前面部分数字：

19892868842868842……“286884”这6个数字重复出现，周期是6．

⑵第1999个数字是：

因为，所以，第l999个数字是6．

⑶这1999个数字的和是：

【例8】12个同学围成一圈做传手绢的游戏，如图．

　　⑴从1号同学开始，顺时针传l00次，手绢应在谁手中？

　　　⑵从1号同学开始，逆时针传l00次，手绢又在谁手中？

　　⑶从1号同学开始，先顺时针传l56次，然后从那个同学开始逆时针传143次，再顺时针传107次，最后手绢在谁手中？

【解析】⑴因为一圈有l2个同学，所以传一圈还回到原来同学手中，现在，从1号开始，顺时针传l00次，我们先用除法求传了几圈、还余几次．（圈）……4（次）从1号同学顺时针传4次正好传到5号同学手中．

⑵与第一小题的道理一样，先做除法．（圈）……4（次）这4次是逆时针传，正好传到9号同学手中（如图）．

⑶先顺时针传156次，然后逆时针传l43次，相当于顺时针传（次）；再顺时针传l07次，与13次合并，相当于顺时针传（次），（圈），手绢又回到l号同学手中．

【巩固】8