考研数三真题及答案解析完整版Word文件下载.docx

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xlnx

【详解】当xlnx0时，x1e1~xlnx

，

x1xlnx

limf（x）limlim

xx（x1）ln

0xx

x0xxln

1

，所以x0是函数f（x）的可去间断点．

x1x（x1）lnx2ln

1xx

xx0

，所以x1是函数f（x）的可去间断点．

x

（1）ln

1x（x1）lnxx

x1x1

，所以所以x1不是函数f（x）的

可去间断点．

故应该选（C）．

３．设

2y

D是圆域D（x,y）|x1的第k象限的部分，记

k

Ik（yx）dxdy，则

D

（）

（A）0

I（B）I20（C）I30（D）I40

【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知

I

k1

k（yx）dxdy2d（sincosrdr（sinsin）d

）

（k1）3

D22

3

sincos

|

所以

22

I1I0,I2,I4，应该选（B）．

４．设

a为正项数列，则下列选择项正确的是（）

n

（A）若

ana，则

n1

（1）

n1a收敛；

（B）若

（

na收敛，则

1）

ana；

（C）若

p

a收敛．则存在常数P1，使limnan存在；

（D）若存在常数P1，使

limna存在，则

a收敛．

【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D）正确，故应选（Ｄ）．

此小题的（A）（B）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A），但少一

条件lima0，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，

选项（B）也不正确，反例自己去构造．

５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则

（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价．

（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．

（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价．

（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．

【详解】把矩阵A，C列分块如下：

A1,2,,n,C1,2,,，由于ＡＢ＝Ｃ，

则可知（1,2,,）

ibi1bibinnin，得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的

122

列向量组线性表示．同时由于B可逆，即

ACB，同理可知矩阵A的列向量组可用矩阵

C的列向量组线性表示，所以矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．应该选（B）．

1a1200

6．矩阵aba0b0相似的充分必要条件是

与矩阵

1a1000

（A）a0,b2（B）a0，b为任意常数

（C）a2,b0（D）a2，b为任意常数

2001a1200

【详解】注意矩阵0b0是对角矩阵，所以矩阵A=aba0b0相

0001a1000

似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．

1a1

EAaba（

2bba

（2）22

从而可知2b2a22b，即a0，b为任意常数，故选择（B）．

7．设X1,X2,X3是随机变量，且X1~N（0,1）,X~N（0,2）,X~N（5,3），

23

PiP2Xi2，则

（A）P1P2P3（B）P2P1P3

（C）P3P2P1（D）P1P3P2

X

【详解】若X~N（,2），则~N（0,1）

P2

（2）1，PP2X2P112

（1）1，

P

P2X2P

5

7

P3P13

（1）23

（1）0．

故选择（A）．

8．设随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率分布分别为

X0123P

P1/21/41/81/8

Y-101

P1/31/31/3

则PXY2（）

（A）

12

（B）

8

（C）

6

（D）

【详解】

PXY2PX1,Y1PX2,Y0PX3,Y1

24

，故选择（C）．

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把

答案填在题中横线上）

9．设曲线yf（x）和yxx

在点1,0处有切线，则

lim

nf

n2

．

【详解】由条件可知f10,f'

（1）1．所以

f1f

（1）

nn2

limnflim2f

2n2

n2n

n22n

'

（1）2

10．设函数zzx,y是由方程zyxy

【详解】

z

确定，则|（1,2）

设Fxyzzyxy

,（），则

xx1

Fxx,yzzyzyyFxyzxzy，

（）l）,（,n,）（）（

当x1,y2时，z0，所以|（1,2）22ln2

lnx

11．dx

1

（1）2

lnx1lnx1

dxlnxd|dxln

12x

（1x1x1x1x（1

）1x）

ln2

12．微分方程0

yyy的通解为．

4

r，两个特征根分别为

【详解】方程的特征方程为0

解为2

y（C1Cx）e，其中C1,C2为任意常数．

1，所以方程通

13．设

Aa是三阶非零矩阵，A为其行列式，Aij为元素aij的代数余子式，且满足

ij

Aijaij0（i,j1,23），则A=．

T

【详解】由条件Aija0（i,j1,2,3）可知*0

AA，其中A*为A的伴随矩阵，从ij

而可知

A

T31

*

*AAA，所以A可能为1或0．

n,r（A）n

但由结论

*T

r（A）1,r（A）n1可知，AA*0可知r（A）r（A*）,伴随矩阵的秩只

0,r（A）n1

能为3，所以A1.

14．设随机变量X服从标准正分布X~N（0,1），则EXe2X．

E

2X

Xe

222

x（x2）（x2）

1xe

2x2

xeeedx（x22）e

2dx

dx

e

te

t

dt

E（X

2e

所以为

2e．

三、解答题

15．（本题满分10分）

当x0时，1cosxcos2xcos3x与

ax是等价无穷小，求常数a,n．

【分析】主要是考查x0时常见函数的马克劳林展开式．

2ox2

【详解】当x0时，（）