高中数学离散型随机变量及其分布列全章复习题型完美Word文档格式.docx

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的数学名词来源解释。

几何分布（Geometricdistribution）是离散型机率分布。

其中一种定义为：

在第n次伯努利试验，才得到第一次成功的机率。

详细的说，是：

n次伯努利试验，前n-1次皆失败，第n次才成功的机率。

【知识与方法】

一．离散型随机变量的定义

1定义：

在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．

①随机变量是一种对应关系；

②实验结果必须与数字对应；

③数字会随着实验结果的变化而变化.

2.表示：

随机变量常用字母X，Y，ξ，η，表示．

3.所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量（discreterandomvariable）.

4.连续型随机变量：

对于随机变量可能取的值，可以取某一区间或某几个区间内的一切值，这样的变量就叫做连续

型随机变量

5.注意：

（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，0，表示正面向上，1，表示反面向上

（2）若是随机变量，ab,a,b是常数，则也是随机变量

离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:

离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；

但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量

的结果不可以一一列出

二．离散型随机变量的分布列

1.一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，，xi，，xn,X取每一个值xi（i=1,2，，

n）的概率P（X=xi）=pi，则称表：

Xx1

x2xi

xn

Pp1

p2pi

pn

为离散型随机变量X的概率分布列，

简称为X的分布列．

用等式可表示为P（X=xi）=pi，i=1,2，

2.离散型随机变量的分布列的性质

，n,也可以用图象来表示

X的分布列．

n

①pi≥0，i=1,2，，n；

②pi1．

i1

分布列的优缺点：

[优点]离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且也能看出取每一个值的概率的大小，从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况．

[缺点]

（1）分布列不能表示X的平均水平；

（2）分布列不能表示X的波动程度．三．两个特殊分布

1.两点分布

X~B（1,P）

X01

P1-pp

若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p=P（X=1）为成功概率．

注意：

随机变量X只有发生和不发生两种情况才叫两点分布，且X的取值只能是0和1.

2.超几何分布X~H（N,M,n）

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P（X=k）=

knk

CC

MNM

C

*

nN

，k=0,1,2，，

m，其中m=min

M,n

，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N.

X01m

C0Cn0

PMNM

1n1

mnm

MNM

nnn

NNN

如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．

【例题与变式】

题型一随机变量

【例1】判断正误：

（1）随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．（）

（2）在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．（）（3）随机变量是用来表示不同试验结果的量．（）

（4）试验之前可以判断离散型随机变量的所有值．（）

【例2】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．

（1）北京国际机场候机厅中2016年5月1日的旅客数量；

（2）2016年5月1日至10月1日期间所查酒驾的人数；

（3）2016年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；

（4）体积为1000cm3的球的半径长．

【变式1】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．

（1）某天腾讯公司客服接到咨询电话的个数；

（2）标准大气压下，水沸腾的温度；

（3）在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；

（4）体积为64cm3的正方体的棱长．

【例3】指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．

（1）某座大桥一天经过的车辆数X；

（2）某超市5月份每天的销售额；

（3）某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；

（4）江西九江市长江水位监测站所测水位在（0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.

【变式2】下列变量中属于离散型随机变量的有．（填序号）

（1）在2017张已编号的卡片（从1号到2017号）中任取1张，被取出的编号数为X；

（2）连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数X；

（3）在广州至武汉的电气化铁道线上，每隔50m有一电线铁塔，从广州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号，其中某一电线铁塔的编号；

（4）投掷一枚骰子，六面都刻有数字8，所得的点数X.

题型二随机变量的可能取值及试验结果

【例1】口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，则X的所有可能取值有哪些？

【例2】

（2017春?

清河区月考）设b，c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数．设随机变量ξ=b|-c|，求随机变量ξ的取值情况．

【变式】（2017春?

大武口区期中）袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球的1分，现在从袋中随机摸出4个球，列出所得分数X的所有可能.

题型三分布列及其性质的应用

a

【例1】设随机变量X的分布列为P（X=i）=i（i=1,2,3,4），求：

（1）P（X=1或X=2）；

（2）P（1X2

7）.

2

文昌月考）设随机变量X的分布列为

P（X

i）k,i25

1,2,3,4,5,则P（1X

5

）等于（）

A．2B．

15

2C．

1D．1

515

【例3】已知数列

an是等差数列，随机变量X的分布列如下表：

Xx1x2x3x4x5

Pa1

a2a3

a4a5

求a3.

【变式1】若离散型随机变量X的分布列为：

求常数a．

P4a1

3a2a

【变式2】

秦都区月考）设随机变量X的分布列为

P（Xi）

a

（2）i,i3

1,2,3,，则a的值为（）

A．17B．

27C．17D．27

38381919

【变式3】

（2017春?

武陵区月考）若离散型随机变量X的分布列为：

P10a2a

26a

则实数a的值为．

【例4】设离散型随机变量X的分布列为：

X

1

3

4

求：

（1）2X+1的分布列；

P

0.2

0.1

0.3

m

（2）|X-1|的分布列.

【变式4】（2017·

南宁二模）设随机变量X的概率分布列如下表，则P（|X-2|=1）=（）

X1234

A.712

B.1

6

C.5

12

11

43

D.1

题型四求离散型随机变量的分布列

【例1】口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列．

（2017春?

清河区月考）设b，c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数．

（1）设A

xx2

bx2c

0,x

R，求A的概率；

（2设随机变量ξ=b|-c|，求ξ的分布列．

【例3】

（2016·

天津卷节选）某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.

（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；

（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列.

【变式1】将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列．

【变式2】某商店试销某种商品20天，获得如下数据：

日销售量（件）

频数

9

试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.

（1）求当天商店不进货的概率；

（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列.

题型五两点分布

【例1】

（1）利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些有什么共同点？

（2）只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？

【例2】在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖

券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列.

【变式】设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P（ξ=0）等于（）

A．0B．1

C1D2

．

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题型六超几何分布

【例1】在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1